9.3 三角形的角平分线、中线和高 课件 (共30张PPT) 2023-2024学年数学冀教版七年级下册

(共30张PPT)
第九章 三角形
9.3 三角形的角平分线、中线和高
学习目标
1.理解三角形的角平分线、中线、高线的概念.
2.会画出已知三角形的角平分线、中线和高.
3.掌握“三线”的性质，并能应用进行计算.
学习重难点
掌握“三线”的性质，并能应用进行计算.
掌握“三线”的性质，并能应用进行计算.
难点
重点
复习导入
上节课我们学习三角形按角分为哪几类？
1．锐角三角形；2．直角三角形；3．钝角三角形。
新知引入
知识点1 三角形的角平分线
1.复习用量角器或折纸的办法画出或折出一个角的平分线。
角平分线的定义及画法：
从一个角的顶点引出的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
A
B
C
D
定义：在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫三角形的角平分线。
角平分线的符号语言：
∵ AD是△ABC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD= ∠BAC
2.什么是三角形的角平分线？
3.想一想，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形分别有几条角平分线？画出它们的角平分线，观察它们有什么特点
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
①三角形的角平分线是一条线段，而角平分线是一条射线。
②任何三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部交于一点。
例题示范
要知道DO 是不是△DEF 的角平
分线，只需要知道∠EDO 与
∠FDO 是否相等．若相等，根
据三角形的角平分线的定义即
可判定．
例1
如图，△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，DE∥AC，DF∥AB，EF 交AD 于点O，请问DO 是△DEF 的角平分线吗？说明理由．
导引：
DO 是△DEF 的角平分线．理由如下：
因为AD是△ABC 的角平分线，
所以∠DAB＝∠DAC (角平分线定义)．
因为DE∥AC，DF∥AB，
所以∠DAC＝∠ADE，∠DAB＝∠ADF (两直线平行，内错角相等)，所以∠ADE＝∠ADF (等量代换)，
所以DO 是△DEF 的角平分线．
解：
总结
本例在解题过程中，先利用角平分线的定义，得出相等的角，再结合相关条件(如平行等)推出新的一组相等的角，最后由角平分线的定义说明角平分线，它经历了定义→条件→定义的过程，这就是定义法．
知识点2 三角形的中线
1.复习线段中点的定义：
把一条线段分成两条相等的线段的点。
A
B
C
D
.
定义：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做这个三角形的中线。
三角形中线的符号语言：
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD=
1
2
BC
2.什么是三角形的中线？
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
E
F
D
D
E
F
E
F
O
O
O
3.想一想，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形分别有几条中线？画出它们的中线，观察它们有什么特点
①三角形的中线是一条线段。
②任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部交于一点，这个交点叫做这个三角形的重心。
4．用薄厚均匀的硬纸板裁出一个三角形，画出这个三角形的三条中线，在它们的交点处钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，三角形硬纸板处于什么状态？这种现象说明了什么？
三角形硬纸板处于平衡状态，这种现象说明了重心能使物体保持平衡。
例2
张大爷的两个儿子都长大成人了，也该分家了．于是张大爷准备把如图所示的一块三角形田地平均分给两个儿子，两个儿子要求分成的两块田地的形状仍然是三角形，请你帮助张大爷提出一种平分的方案．
根据等底同高的三角形的面积相
等，要等分三角形的面积，只需
要作出一条边上的中线即可.
导引：
解：
根据要求，平分田地的直线必须经过三角形的顶点．画△ABC 的中线AD (如图)，则AD 就把△ABC 的面积平分成两份．这是因为AD 是△ABC 的中线，所以BD＝DC.过点A 作AE⊥BC 于点E.在△ABD 和△ACD 中，因为BD，CD 边上的高都是AE，所以由三角形的面积计算公式，知△ABD 和△ACD 的面积相等，因此，要把△ABC 平分成两个三角形，只需画中线AD 即可，这是一种平分方法．(本题答案不唯一，作AB，AC 边上的中线也可以)
总结
(1)三角形的任意一条中线都能把三角形分成面积相
等的两部分，即等底同高的三角形面积相等；
(2)拓展：在两个三角形中：底、高、面积这三个量，
如果有其中的两个量相等，那么第三个量也相等.
知识点3 三角形的高
1. 复习“过一点作已知直线的垂线”：
A
B
C
定义：三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。
D
三角形高的符号语言：
∵AD是△ABC的高
∴AD⊥BC或∠ADC=∠ADB=90°
2.什么是三角形的高线？
3.想一想，锐角三角形、直角三角形、钝角三角形分别有几条高线？画出它们的高线，观察它们有什么特点
①三角形的高是一条线段。
②任何三角形有三条高，三条高（或高的延长线)相交于一点。可分为锐角三角形（内部），直角三角形（直角顶点），钝角三角形（外部）。
画出图中△ABC 的三条高．(要标明字母，不写画法)
例3
导引：
“作一边上的高”，即可看作“过一点(这边所对角的顶点)作已知直线(这边所在的直线)的垂线．”按照“过一点作已知直线的垂线”进行作图，顶点与垂足之间的线段即为该边上的高；需注意AB，BC 边上的高在三角形的外部，作高时先延长AB 与CB.
解：
如图所示.
总结
(1)作三角形的高时，找准顶点和对边是关键，作高的步骤就是“过一点作已知直线的垂线”的步骤：
一靠(三角尺的一条直角边靠在要作高的边上)、
二找(移动三角尺使另一条直角边通过要作高的顶点)、三画线(画垂线段)，如图.
(2)注意：高是线段，垂线是直线．
随堂练习
1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC的高( )
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A.
B.
C.
D.
2、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形
B
D
3、如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的周长为35 cm，BC=11 cm，且△ABD与△ACD的周长之差为3 cm，求AB与AC的长.
A
C
D
B
解：∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD.
∵△ABC的周长为35cm，BC=11cm，
∴AC+AB=35-11=24(cm).
又∵△ABD与△ACD的周长之差为3cm,
∴AB-AC=3，
∴AB=13.5cm,AC=10.5cm.
拓展提升
能把三角形平分成两个面积相等的三角形的线段是(　　)
A．三角形的中线
B．三角形的高
C．三角形的角平分线
D．以上三种情况都正确
A
1
如图，AD 是∠CAB 的平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF 交AD 于点O.
请问：
(1)DO 是∠EDF 的平分线吗？
如果是，请给予证明；
如果不是，请说明理由．
(2)若将“DO 是∠EDF 的平分线”与“AD 是∠CAB 的平分线”，“DE∥AB ”，“DF∥AC ”三个条件中的任一条件交换，所得说法正确吗？若正确，请选择一个说明理由．
2
(1)DO 是∠EDF 的平分线．
证明如下：∵AD是∠CAB 的平分线，
∴∠EAD＝∠FAD.
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠EDA＝∠FAD，∠FDA＝∠EAD.
∴∠EDA＝∠FDA.
∴DO 是∠EDF 的平分线．
解：
(2)与三个条件中的任一条件交换，所得说法都正确.
若和“DE∥AB ”交换．
理由如下：∵DF∥AC，∴∠FDA＝∠EAD.
∵AD 是∠CAB 的平分线，
∴∠EAD＝∠FAD.∴∠FAD＝∠FDA.
∵DO 是∠EDF 的平分线，
∴∠EDA＝∠FDA.∴∠EDA＝∠FAD.
∴DE∥AB.
(答案不唯一)
如图，在△ABC 中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别
为D，E，若BC＝10，AC＝8，BE＝ ，求AD 的长.
4
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴S△ABC＝ ·BC·AD＝ ·AC·BE.
∴BC ·AD＝AC ·BE.
又∵BC＝10，AC＝8，BE＝ ，
∴10AD＝8× .
∴AD＝6.8.
解：
归纳小结
三角形的 重要线段 概念 图示 表述方式
三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,_____和_____之间的 _____
三角形 的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边 ____的 ____，三条中线的交点叫做_____
三角形的 角平分线 三角形一个内角的________与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的_____
顶点
垂足
线段
中点
线段
平分线
线段
A
B
D
C
A
B
D
C
∵ AD是△ABC的中线
∴ BD=CD= BC
∵AD是△ABC的高线
∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°
∵.AD是∠BAC的平分线
∴ ∠1=∠2= ∠BAC
A
B
D
C
1
2
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
1
2
重心