11.1 因式分解 课件 (共22张PPT) 2023-2024学年数学冀教版七年级下册

(共22张PPT)
11.1 因式分解
第十一章 因式分解
学习目标
1.理解因式分解的概念，掌握因式分解与整式乘法之间的区别与联系 .
2.能判断因式分解的正误,会进行简单的因式分解.
3.感受因式分解在解决相关问题中的作用.
学习重难点
能判断因式分解的正误,会进行简单的因式分解.
能判断因式分解的正误,会进行简单的因式分解.
难点
重点
复习导入
观察下面几个多项式的乘法算式:
m(a＋b)=ma＋mb
(a＋b)(a－b)=a2－b2
(a＋b)2=a2＋2ab＋b2
(a－b)2=a2－2ab＋b2
多项式乘法是把几个整式的乘积化为一个多项式.反过来，你能将一个多项式分解成几个整式乘积的形式吗
新知引入
知识点1 因式分解的定义
观察下面计算20112－2011×2010和372－362的过程，哪种更简便
问题1
小明的方法
20112－2011×2010
=4044121－4042110
=2011.
372－362
=1369－1296
=73.
小亮的方法
20112－2011×2010
=2011×(2011－2010)
=2011.
372－362
=(37－36)×(37－36)
=73.
(1)小明用的什么方法
(2)小亮的第一个算式用了什么方法
(3)小亮的第二个算式用了什么方法
根据乘方的意义直接进行计算.
乘法对加法的分配律的逆用.
平方差公式.
(1)观察下面三个算式:
x(x－2)=x2－2x，(x＋y)(x－y)=x2－y2，(x＋1)2=x2＋2x＋1.
(2)上面三个算式能反过来，写成整式乘积的形式吗
问题2
可以.x2－2x=x(x－2)，
x2－y2=(x＋y)(x－y)，
x2＋2x＋1=(x＋1)2.
归纳
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做
多项式的因式分解，也叫做将多项式分解因式.其中每
个整式都叫做这个多项式的因式.
例题示范
下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(　　)
A．a 2＋1＝　　　　　
B．(x＋1)(x－1)＝x 2－1
C．a 2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x 2y＋xy 2＝xy (x＋y)
例1
D
紧扣因式分解的定义进行判断，因为 不是整式，
所以a 2＋1＝ 不是因式分解，故A错误；
因为(x＋1)(x－1)＝x 2－1不是和差化积，
因此不是因式分解，而是整式乘法，B错误；
因为a 2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1结果不是积的形式，
因此不是因式分解，C错误；
x 2y＋xy 2＝xy (x＋y )符合因式分解的概念，因此是因
式分解，D正确．
导引：
总结
因式分解的结果应该是整式的积，否则就不是因式分解．
知识点2 因式分解与整式乘法的关系
1. 多项式相乘的结果是什么？
2. 一个多项式进行因式分解的结果是什么？
多项式的因式分解与乘法运箅是不同的.多项式的
因式分解是把一个多项式化成几个整式的乘积，而多
项式的乘法运算是把几个整式的乘积化成一个多项式.
多项式的因式分解与多项式的乘法运算是相反的变形过程.
多项式x 2－y 2分解为x＋y 与x－y 的乘积
x 2－y 2=(x＋y )(x－y )
多项式x＋y 与x－y 的乘积为x 2－y 2
(x＋y )(x－y )=x 2－y 2
归纳
整式乘法与因式分解的关系：整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形．
即：多项式 整式乘积．
对下列各式所进行的因式分解正确的是(　　)
A．3x 2－6xy－3x＝3x (x－2y )
B．ab－a－b＋1＝(a＋1)(b－1)
C．2x 2－5xy－3y 2＝(2x－y )(x＋3y )
D．a 2－4＝(a＋2)(a－2)
例2
D
检验因式分解是否正确，只要看等式右边几个整
式相乘的积与左边的多项式是否相等．A中，
∵3x (x－2y )＝3x 2－6xy ≠3x 2－6xy－3x，∴A不正
确；B中，∵(a＋1)(b－1)＝ab－a＋b－1≠ab－a－
b＋1，∴B不正确；C中，∵(2x－y )(x＋3y )＝2x 2
＋5xy－3y 2≠2x 2－5xy－3y 2，∴C不正确；D中，
∵(a＋2)(a－2)＝a 2－4，∴D正确.
导引：
总结
因式分解的检验方法是利用整式乘法将因式的乘积化为多项式的形式，看与分解前的多项式是否相等．
随堂练习
1
下列各式中，从等号左边到右边的变形，哪些是因式分解？
(1) (m＋n)(m－n)=m 2－n 2 ；
(2) m 2－n 2=(m＋n)(m－n)
(3) 5a＋10b=5(a＋2b)；
(4) x 2－2x＋1=x (x－2)＋1.
(2)(3)是因式分解．
解：
请将下列等式左边多项式的另一个因式填在括号里：
(1) 2x＋4 = 2( )；
(2) x－xy=x ( )；
(3) 16x 2－1 = (4x＋1)( )；
(4) a 2＋6a＋9=(a＋3)( ).
2
x＋2
x－y
4x －1
a＋3
拓展提升
下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是(　　)
A．a (m＋n)＝am＋an
B．a 2－b 2－c 2＝(a－b)(a＋b)－c 2
C．10x 2－5x＝5x (2x－1)
D．x 2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
C
1
2
计算下列各式：
(1)(a＋b)(a－b)＝__________；
(2)(a＋b)2＝ ；
(3)8y (y＋1)＝__________；
(4)a (x＋y＋1) ＝__________ .
根据上面的算式将下列多项式进行因式分解：
(5)ax＋ay＋a；　　　　 (6)a 2－b 2；
(7)a 2＋2ab＋b 2 ； (8)8y 2＋8y.
a 2－b 2
a 2＋2ab＋b 2
8y 2＋8y
ax＋ay＋a
(5)ax＋ay＋a＝a (x＋y＋1)．
(6)a 2－b 2＝(a＋b)(a－b)．
(7)a 2＋2ab＋b 2＝(a＋b)2.
(8)8y 2＋8y＝8y (y＋1)．
解：
归纳小结
知识总结
知识方法要点 关键总结 注意事项
因式分解 将一个多项式化成几个整式乘积的形式 左边必须是一个多项式，右边必须是几个整式的乘积
因式分解与整式乘法 因式分解与整式乘法互为变形 正确理解二者的区别与联系
方法规律总结
本节主要内容是因式分解的定义及判断一个变形是否是因式分解，一是看结果是否是积的形式，二是要看积中的每个因式是否都是整式.根据因式分解的意义，我们知道因式分解与整式乘法互为逆过程，因此，把分解后的因式展开后，一定会和原来的多项式相等，在解题时，往往要用到这一点.