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人教版七年级数学下册课件
第六章 实数
6.1 平方根
（2课时）
第1课时 算术平方根
自主学习
自主导学
1.算术平方根:如果一个______的平方等于，即 ，那么这个正数
叫做的算术平方根.的算术平方根记为____，读作“根号”， 叫做被
开方数.规定: 0的算术平方根是___,即 .
正数
0
2.无限不循环小数:指小数位数______，且小数部分________的小数.
无限
不循环
典例分享
例 是的整数部分，是 的小数部分，则下列表述正确的是
( ) .
A
A.， B.，
C.， D.，
[解析] 因为，即 ，
所以， ，故选A.
方法感悟
1.确定一个无限不循环小数的整数部分和小数部分，先要确定这个
数是在哪两个连续整数之间.
2.在两个连续整数之间的较小的整数就是该小数的整数部分，用原
数减去整数部分就得到小数部分.
轻松达标
1.9的算术平方根是( ) .
A
A.3 B. C. D.
2. 的值等于( ) .
A
A.0.3 B. C.0.03 D.
3.下列说法正确的是( ) .
D
A.的算术平方根是 B.的算术平方根是
C.的算术平方根是 D.0的算术平方根是0
4. 的算术平方根是( ) .
B
A.4 B.2 C. D.
5.已知，，，则，， 的大小关系是( ) .
C
A. B. C. D.
6.估算 的值在( ) .
C
A.0到1之间 B.1到2之间 C.2到3之间 D.3到4之间
7.若，则 的值为( ) .
D
A. B. C. D.2
8.一个自然数的算术平方根是 ，则下一个自然数的算术平方根是
( ) .
A
A. B. C. D.
9. 的值等于 __；
的算术平方根为 ___.
10.若，是9的算术平方根，则 的值是 _______.
3
8或
11.已知的算术平方根是3，，求 的算术平方根.
解：已知的算术平方根是3，所以m-3=32,m=12.
.m-n=12-3=9,即.
能力提升
12.电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻
（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位： ）满足
.
（1）若导线电阻为 ，电流为，则通电时间为 时导线产生的
热量是多少？
解：
（2）若导线电阻为 ，通电时间为时导线产生的热量是 ，则
电流 的值是多少？
解：
中考链接
13.（2022·洪江）规定表示一对数对，给出如下定义： ，
.将与称为数对 的一对“对称数对”.
例如：数对的一对“对称数对”为与 .
（1）数对 的一对“对称数对”是 ________________.
与
（2）若数对的一对“对称数对”相同，则 的值是多少？
[答案]
（3）若数对的一个“对称数对”是，则 的值是多少？若数
对的一个“对称数对”是，求， 的值.
[答案] 或
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第六章 实数
知识梳理、真题剖析
单元练习
知识梳理
有关 概念 1.算术平方根：一般地，如果一个______ 的平方等于
，即，那么这个______叫做的算术平方根. 的算术
平方根记为____.规定：___的算术平方根是0，即 .
2.无限不循环小数：指小数______无限，且小数部分
________的小数.
3.平方根：一般地，如果一个数的______等于 ，即
，那么这个数叫做的平方根或二次方根.________
的平方根记作 .
4.开平方：求一个数 的________的运算，叫做开平方.
正数
正数
0
位数
不循环
平方
非负数
平方根
有关 概念 5.立方根：一般地，如果一个数的______等于 ，那么这
个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果 ，那
么叫做的立方根，记作____，读作“三次根号 ”，其中___
是被开立方数，___是根指数.
6.开立方：求一个数的________的运算，叫做开立方.
7.无理数：____________小数叫做无理数.
8.实数：______数和______数统称实数.
立方
3
立方根
无限不循环
有理
无理
续表
有关 性质 9.平方根的性质：____数有两个平方根，它们互为_____
___.___的平方根是0.____数没有平方根.
10.立方根的性质：____数的立方根是正数，____数的立
方根是负数，___的立方根是0.
数的分 类 （按定 义分）
正
相反数
0
负
正
负
0
续表
实数与 数轴的 对应关 系 11.当数从有理数扩充到实数以后，实数与数轴上的点是
______对应的.
实数的 运算 12.根据平方根和立方根的意义可以对实数进行估算.
13.实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为
0）、乘方运算，而且正数和0还可以进行开平方运算，任何
一个实数都可以进行开立方的运算.
一一
续表
实数的 运算 14.有理数的运算法则、运算性质及运算律在实数范围内
同样适用.
15.当数从有理数扩充到实数以后，有理数关于相反数、
绝对值和倒数的意义同样适用于实数.在进行实数的运算时，
有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
续表
真题剖析
考点1 平方根和算术平方根
例1 （2022·雅安） ___.
2
[解析] ， .
故答案为2.
考点1 变式
（2022·宜宾）4的平方根是( ) .
C
A.2 B. C. D.16
考点2 立方根
例2 （2023·泸州）8的立方根是___.
2
[解析] ， 的立方根是2.
故答案为2.
考点2 变式
（2023·邵阳） 的立方根是___.
2
考点3 实数的有关运算
例3 （2022·武汉）计算 的结果是 ___.
2
[解析] 方法一： ；
方法二： .
故答案为2.
考点3 变式
（2023·连云港）计算： ___.
5
考点4 估计一个无理数的大致范围
例4 （2022·重庆）估计 的值在( ) .
D
A.6到7之间 B.5到6之间 C.4到5之间 D.3到4之间
[解析] ， ，
的值在3到4之间.
故选D.
考点4 变式
（2023·临沂）在实数，，中，若， ，则
有下列结论：①；②；③；④ .其中正确的个数
有( ) .
A
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
单元练习
一、选择题
1.64的平方根是( ) .
B
A.8 B. C.4 D.
2.下列说法正确的是( ) .
A
A.4是16的一个平方根 B. 一定没有平方根
C.16的平方根是4 D.的平方根是
3.点在数轴上的位置如图1所示，则点 表示的无理数可以是( ) .
图1
D
A. B. C.0 D.
4.若无理数，则估计无理数 的范围正确的是( ) .
D
A. B. C. D.
5.下列各式中，正确的是( ) .
A
A. B. C. D.
6.一个正偶数的算术平方根是 ，那么与这个正偶数相邻的下一个正偶
数的算术平方根是( ) .
C
A. B. C. D.
7.若实数，满足，则 的立方根为
( ) .
D
A. B.3 C. D.
8.有一个数值转换器，原理如图2，当输入的值为9时，输出的 的值为
( ) .
图2
B
A. B. C. D.3
9.已知数，， 在数轴上的位置如图3，则化简：
的结果是( ) .
图3
A
A. B. C. D.0
图4
10.在如图4的方格中，若要使横、竖、斜对角的3个
实数相乘都得到同样的结果，则 代表的实数为
( ) .
B
A. B. C. D.
二、填空题
11. 的平方根是____.
12.的相反数是 _______，的绝对值是 _______，___
（比较大小）.
13.已知，为两个连续整数，且，则 ___.
7
14.已知，则 ____.
15.观察分析下列数据：0，，，，，，， ，
根据数据排列的规律得到第16个数据应是_______（结果需化简）.
16.我们用表示大于的最小整数，如：， ，
；用表示不大于的最大整数，如： ，
， .
如果整数满足关系式：，则 _____.
202
三、解答题
17.计算
（1） ；
[答案] 2
（2） .
[答案]
18.求下列各式中 的值.
（1） ；
[答案]
（2） .
[答案]
19.已知的平方根是， 的立方根是2，求
的算术平方根.
解：的平方根是， ，
的立方根是2， ，
，
的算术平方根为4， 的算术平方根为4
20.我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，
若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”.
例如：，，这三个数，， ，
，其结果6，3，2都是整数，所以，， 这三
个数称为“完美组合数”.
（1），， 这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由.
解：，， 这三个数是“完美组合数”. 理由如下，
，， ，
，， 这三个数是“完美组合数”
（2）若三个数，， 是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算
术平方根为12，求 的值.
解：， 分两种情况讨论：
①当 时，，；
②当时， ，（不符合题意，舍去）.
综上，的值是
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第六章 实数
6.1 平方根
（2课时）
第2课时 平方根
自主学习
自主导学
1.平方根:如果一个数的平方等于，那么这个数叫做 的________或二次
方根.即如果 ,那么___叫做___的平方根.
2.开平方:求一个数 的________的运算，叫做开平方.平方与________互
为逆运算.
3.平方根的性质:
（1）正数有2个平方根，它们互为相反数.
（2）0的平方根是___.
（3）负数没有平方根.
平方根
平方根
开平方
0
典例分享
例 求下列各数的平方根：
（1） ；
解： 因为，所以的平方根是 ；
（2） ；
解： 因为,，所以的平方根是 ；
（4） .
解：因为，所以的平方根是 .
（3）0.36；
解：因为，所以0.36的平方根是 ；
方法感悟
1.求一个数的平方根，先要判断被开方数是否是非负数,再计算.
2.求一个带分数的平方根，应先将带分数化为假分数，再计算.
3.求一个运算式的平方根，应先算出这个算式的具体数值，再计算.
轻松达标
1.化简 的值为( ) .
D
A.6 B. C. D.
2.下列各数中，没有平方根的数是( ) .
A
A. B.0 C.0.5 D.2
3.9的平方根是( ) .
B
A. B. C.3 D.
4.若和都是7的平方根，则 的值为( ) .
C
A.14 B.7 C.0 D.
5.有平方根，则下列 的值满足的是( ) .
D
A. B. C. D.
6. 的平方根是____.
7.若实数满足，则 _______.
6或
8.有下列说法：
①是 的平方根；
②只有正数才有平方根；
③是 的平方根；
④的平方根是 .其中正确的是____.（填序号）
9.若一个正数的平方根分别是和 ，则这个正数是____.
④
49
10.求下列各数的平方根：
（1）121；
解：
（2）0.01；
解：
（3） ；
解：
（4） .
解：
11.求下列各式中 的值.
（1） ；
解：
（2） ；
解：
（3） ；
解： 或1
（4） .
解： 或
12.如图6.1-1，将2个边长为 的小正方形纸片沿虚线裁剪后，拼成
一个大的正方形.
图6.1-1
（1）则大正方形的边长是___ ；
4
（2）若将此大正方形纸片的局部剪掉，能不能剩下一个长宽之比为
且面积为 的长方形纸片，若能，求出剩下的长方形纸片的长和宽；
若不能，请说明理由.
[答案] 不能
图6.1-1
能力提升
13.【观察】，；， .
【推理】
（1）若，则 ____；
（2）若，则 ____.
【应用】
（3）已知， .
①求， 的值；
[答案] 或;
②若，同号，求 的值.
[答案] 或2
中考链接
14.（2023·广安） 的平方根是____.
15.（2022·天津）估计 的值在( ) .
C
A.3和4之间 B.4和5之间 C.5和6之间 D.6和7之间
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第六章 实数
6.3 实数
（2课时）
第1课时 实数的概念和性质
自主学习
自主导学
1.无理数____________小数叫做无理数.
2.实数:有理数和________统称实数.
3.数 的相反数是____.
4.一个正实数的绝对值是它______；一个负实数的绝对值是它的
________；0的绝对值是___.
无限不循环
无理数
本身
相反数
0
典例分享
例 求下列各数的相反数、绝对值：
（1） ；
解： 的相反数是，绝对值是 ；
（2） ；
解： ，它的相反数是，绝对值是 ；
（3） .
解： 的相反数是，， 的绝对值是 .
方法感悟
1.在实数范围内求一个数的相反数、倒数和绝对值，与在有理数范
围内求数的相反数、倒数和绝对值的方法相同.
2.求实数的相反数、倒数和绝对值时，能化简的要把实数化简再求.
3.求如 这类数的绝对值时，要先判断这个数的正负.
轻松达标
1.下列说法正确的是( ) .
D
A.无限小数是无理数 B.1的任何次方根都是1
C.任何数都有平方根 D.实数可分为有理数和无理数
2.在《九章算术》一书中，对开方开不尽的数起了一个名字，叫做“面”.
这是中国传统数学对无理数的最早记载.下面符合“面”的描述的数是
( ) .
C
A. B. C. D.
3.如图6.3-1，下列选项中，被污渍覆盖的无理数可能是( ) .
图6.3-1
C
A. B. C. D.
4.若 为实数，则下列式子中一定是正数的是( ) .
A
A. B. C. D.
5.实数，，0，，，， 中，有理数的个数
为，无理数的个数为，则 的值是( ) .
B
A.1 B.3 C.5 D.7
6.相反数为 的数是_ ____.
7.已知整数满足，则 的值是___.
6
8.有一个数值转换器，原理如图6.3-2，当输入的值为16时，输出 的值
是____.
图6.3-2
9.规定用符号表示一个实数的整数部分，例如： ，
.按此规定，则 ___.
3
10.把下列各数相应的序号填入相应的横线内：①0，②，③ ，
④，⑤，⑥20，⑦，⑧，⑨ .
负有理数集合：{______…}；
正分数集合：{________…}；
非负整数集合：{______…}；
无理数集合：{______…}.
②④
⑤⑧⑨
①⑥
③⑦
11.若是的整数部分，是的小数部分，则 的平方
根是____.
[解析] ，的整数部分为9，即 ；
，的整数部分为1，小数部分为 ，
即；.
的平方根是，的平方根为
能力提升
12.实数， 在数轴上的位置如图6.3-3，则化简
的结果是( ) .
图6.3-3
B
A. B. C. D.0
13.（1）已知和互为相反数，求 的值；
解：
（2）已知，都是实数，且，求 的平方根.
解：
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第六章 实数
6.3 实数
（2课时）
第2课时 实数的运算与大小比较
自主学习
自主导学
1.实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运
算，而且正数及0可以进行开______运算，任意一个实数可以进行开
______运算.
2.在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以
按照所要求的精确度用相应的近似有限______去代替无理数，再进行计算.
3.比较大小:与规定有理数的大小一样，对于数轴上的任意两个点，
右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数____.
平方
立方
小数
大
典例分享
例 .
解: 原式
.
方法感悟
1.实数运算顺序与有理数的运算顺序相同，即先算乘除,再算加减，
有括号的要先算括号里面的.
2.能用运算律的要运用运算律以简化运算.
3.当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的
精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算.
轻松达标
1.下列各数中最大的数是( ) .
D
A. B. C. D.10
2.下列说法正确的个数为( ) .
①有理数与无理数的差都是有理数；
②无限小数都是无理数；
③无理数都是无限小数；
④两个无理数的和不一定是无理数；
⑤无理数分为正无理数、零、负无理数.
A
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3.有理数，在数轴上的位置如图6.3-4，则数，，， 的大小关
系为( ) .
图6.3-4
B
A. B.
C. D.
4.下列各数中，与 的和为有理数的是( ) .
B
A. B. C. D.
5.圆的面积增加到原来的 倍，则它的半径增加到原来的( ) .
C
A.倍 B.倍 C.倍 D. 倍
6.比较大小：___ .
7.请写出一个小于而大于 的无理数_____________________.
8.若对于实数,定义一种新运算：，则
___.
（答案不唯一）
4
9.下列各式是求个位数为5的整数的算术平方根的运算： ，
，，， ，
，…，观察这些运算都有规律，试利用该规律直接写出
运算的结果为______.
9 995
10.计算：
（1） ；
解：
（2） ；
解：
（3） .
解：
11.比较下列各组数的大小：
（1）， , 4；
解：
（2）， .
解：
能力提升
12.阅读下面的材料：
如果一个数的（是大于1的整数）次方等于，这个数就叫做的
次方根，即若，则叫做的次方根.如， ，则
2和是16的4次方根，或者说16的4次方根是2和；再如 ，
则叫做的5次方根，或者说的5次方根是 .请回答下列问题.
（1）81的4次方根是____； 的7次方根是____；0的20次方根是___.
0
（2）归纳一个数的 次方根的情况.
答: 当是偶数时，正数有两个次方根，它们互为相反数；
当 是奇数时，实数有一个次方根，0的 次方根是0
中考链接
13.（2023·嘉兴、舟山）下面四个数中，比1小的正无理数是( ) .
A
A. B. C. D.
14.（2023·重庆）估计 的值应在( ) .
A
A.4和5之间 B.5和6之间 C.6和7之间 D.7和8之间
15.（2023·自贡）请写出一个比 小的整数_________________.
16.（2023·安徽）计算： ___.
4（答案不唯一）
3
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第六章 实数
6.2 立方根
（1课时）
自主学习
自主导学
1.立方根:如果一个数的______等于，那么这个数叫做 的立方根或三次
方根.如果,那么叫做的立方根，记作“____”，读作“三次根号 ”，
其中 是________数，3是______数.
立方
被开方
根指
2.开立方:求一个数的________的运算叫做开立方.
3.立方根的性质:正数的立方根是______，负数的立方根是______，0的
立方根是___.
立方根
正数
负数
0
典例分享
例 已知：的平方根是，的立方根是3，求 的
算术平方根.
解： 因为的平方根是，所以，所以 .
因为的立方根是3，所以.把 的值代入，
解得.所以 的算术平方根为10.
方法感悟
1.任何数都有立方根，立方根的正负性与原数的正负性相同，一个
数的立方根只有一个.
2.求一个数的立方根,关键在于确定哪个数的立方等于这个数.求带
分数的立方根,必须先将其化为假分数.
轻松达标
1.实数 的立方根是( ) .
B
A.3 B. C. D.
2.下列各式中，正确的是( ) .
D
A. B. C. D.
3.下列说法正确的是( ) .
A
A.5是25的一个平方根 B.8的立方根是
C.9的平方根是3 D.的平方根是
4. 的平方根是( ) .
C
A.2 B. C. D.
5.若，则 的值为( ) .
A
A. B.15 C.25 D.5
6.若，，则 的值为( ) .
C
A.0 B. C.0或10 D.
7.平方根等于本身的是___，算术平方根等于本身的数是______，
立方根等于本身的数是__________.
0
0，1
0，1，
8.已知，，则 ______.（结果保留
小数点后两位）
9.如果正方体A的体积是正方体B的体积的8倍，正方体A的棱长是 ，
那么正方体B的棱长是___ .
19.02
1
10.计算：
（1） ;
解：-2+3=1
（2） .
解：0.3+1-=0.8
11.求 的值：
（1） ；
解：
（2） .
解： 2
12.若,都是实数，且，求 的立方根.
解：，
解得，将 代入原式，得，
，即 的立方根为3
能力提升
13.已知是的算术平方根， 是
的立方根，求 的立方根.
解：是的算术平方根，
，解得，
是 的立方根，
，即 ，解得
，
的立方根是2
14.若一个正方体的体积是 ，现在要在它的8个角上分别截去8
个大小相同的小正方体，使截去后余下的体积是 ，截得的每个
小正方体的棱长是多少？
解：设截得的每个小正方体的棱长是 ，依题意得
，， ，
答：截得的每个小正方体的棱长是
中考链接
15.（2023·嘉兴、舟山） 的立方根是( ) .
A
A. B.2 C. D.不存在
16.（2022·攀枝花）下列说法中正确的是( ) .
C
A.0.09的平方根是0.3 B.
C.0的立方根是0 D.1的立方根是
17.（2023·邵阳） 的立方根是 ___.
2
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