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2023-2024学年八年级（下）月考数学试卷（5月份）
【沪科版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2024八年级·河南商丘·阶段练习）若式子的运算结果是有理数，那么“”中的运算符号可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了有理数的定义，二次根式的混合运算，将符号代入式子分别计算，再根据有理数的定义进行判断即可．
【详解】解：A、，是无理数，不符合题意；
B、，1是有理数，符合题意；
C、，是无理数，不符合题意；
D、，是无理数，不符合题意；
故选：B．
2．（3分）（2024八年级·山东济南·期末）如图，平行四边形中，E，F是对角线上不同的两点，下列不能得出四边形一定为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质与判定方法逐一分析各选项即可得到答案．
【详解】四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
，，
，
∴，
四边形是平行四边形．故A不符合题意；
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
；
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．故B不符合题意；
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形．故D不符合题意；
∵，，，
不能证明与全等，
∴不能得到与平行，
∴添加不能证明四边形是平行四边形．故C符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定方法．
3．（3分）（2024八年级·广东佛山·阶段练习）若关于的方程有一个根为，则另一个根的值为（ ）
A． B．2 C．2或 D．0
【答案】B
【分析】首先将代入原方程，解得，然后解方程即可获得答案．
【详解】解：根据题意，关于的方程有一个根为，
∴将代入原方程，可得 ，
解得，
∴原方程为，
解该方程，得 ，，
∴该方程的另一个根的值为2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解以及解一元二次方程，掌握相关知识是解题关键．
4．（3分）（2024八年级·广东湛江·阶段练习）直角三角形的斜边为，两条直角边之比为，则最短的直角边长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．设两条直角边长分别为和，再利用勾股定理建立方程求解即可得．
【详解】解：由题意，设两条直角边长分别为和，
则，
解得或（不符合题意，舍去），
则最短的直角边长是，
故选：C．
5．（3分）（2024八年级·云南昭通·阶段练习）如图所示，的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及四边形内角和定理，根据三角形内和定理得是解题的关键．
【详解】解：由三角形内角和可知，
∵，
∴，
则
，
故选：B．
6．（3分）（2024八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，在菱形中，点A的坐标为，点C的纵坐标为2，直线的表达式为，交y轴于点E，若，则菱形的面积为（ ）
A．24 B．26 C．30 D．32
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理的应用，求得和的长是解题的关键．
连接交与点，根据菱形的性质得出直线，且，，即可求得直线的解析式为，进而求得的坐标，从而求得的坐标以及的长，把的坐标代入，求得的值，即可求得的坐标，根据勾股定理求得，根据，即可得到，然后根据菱形的面积公式即可求得．
【详解】解：连接交于点，如图所示．
在中
令，得到，
，
令，得到，
，
，
，
，
四边形是菱形，
直线，
，
过点C作轴于点H，
，
，
设的表达式为，
将和代入得：
解得：
直线的解析式为，
四边形是菱形，
且平分，
Q为的中点，
，，
，，
，
把的坐标代入得，，解得，
直线为，
，
，
，，
，
，
，
菱形的面积为，
故选：D．
7．（3分）（2024八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据证明得，，，结合三角形外角的性质可判断①；根据勾股定理逆定理可判断②；根据可判断③；根据勾股定理可判断④．
【详解】∵和都是等腰直角三角形，
∴，，，
∴，即：，
∴，
∴，，，
∵，
∴，故①正确；
若，则，而不一定成立，故②不正确；
，故③正确；
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，故④正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
8．（3分）（2024八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，点是边上的一点，点是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，则的长度为（ ）
A． B．4 C． D．3
【答案】C
【分析】如图，作于K，过E点作于P．可得，可得点E到的距离是，证明；可得，设，则，，由勾股定理得，再求解即可．
【详解】解：如图，作于K，过E点作于P．
∵，，
∴，，
∵C到的距离和E到的距离都是平行线、间的距离，
∴点E到的距离是，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
由折叠可知，，，，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∴，
由折叠可知，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
由勾股定理得，
解得，
∴，
∴．
故选C．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，轴对称的性质，平行四边形的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
9．（3分）（2024八年级·浙江绍兴·阶段练习）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2018 D．2019
【答案】D
【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的定义，理解题目中的新定义是解题的关键；利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．
【详解】与是“同族二次方程”，
，
，
，解得：，
，
当时，能取的最小值是2019，
故选：．
10．（3分）（2024八年级·浙江杭州·阶段练习）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP=EF；②△APD一定是等腰三角形；③AP⊥EF；④PD=EF．其中正确结论的番号是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②④
【答案】C
【分析】过P作PG⊥AB于点G，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明△AGP≌△FPE后即可证明①AP=EF；在此基础上，根据正方形的对角线平分对角的性质，在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，求得，即可得到答案．
【详解】证明：过P作PG⊥AB于点G，
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，
∴GP=EP，
在△GPB中，∠GBP=45°，
∴∠GPB=45°，
∴GB=GP，
同理，得PE=BE，
∵AB=BC=GF，
∴AG=AB-GB，FP=GF-GP=AB-GB，
∴AG=PF，
∴△AGP≌△FPE，
∴AP=EF；故①正确；
延长AP到EF上于一点H，
∴∠PAG=∠PFH，
∵∠APG=∠FPH，
∴∠PHF=∠PGA=90°，
即AP⊥EF；故③正确；
∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP=45度，
∴当∠PAD=45度或67.5度或90度时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，故②错误．
∵GF∥BC，
∴∠DPF=∠DBC，
又∵∠DPF=∠DBC=45°，
∴∠PDF=∠DPF=45°，
∴PF=EC，
∴在Rt△DPF中，DP2=DF2+PF2=EC2+EC2=2EC2，
∴，故④错误．
∴正确的选项是①③；
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用．本题难度较大，综合性较强，在解答时要认真审题．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2024八年级·黑龙江大庆·阶段练习）方程的两个根是等腰三角形的两边长，则该等腰三角形的周长是 ；
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形三边的关系，熟知因式分解法解一元二次方程是解题的关键．利用因式分解法求出方程的解得到的值为或，分两种情况考虑：当为腰，为底边时，不满足三角形三边关系；当为底，为腰时，求出周长即可．
【详解】解：方程，
分解因式得：，
可得或，
解得：，
当为等腰三角形的腰时，为底边，此时三角形三边分别为，，，不满足两边之和大于第三边，舍去；
当为等腰三角形的腰时，为底边，此时三角形三边分别为，，，符合三角形三边的关系，则周长为，
故答案为：．
12．（3分）（2024八年级·江苏泰州·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查同类二次根式的概念，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同是同类二次根式，先化简，根据最简二次根式被开方数相等，由此可得出关于x的方程，求出x的值即可．
【详解】解：
由题意可得：，
解得：．
当时，与是同类二次根式．
故答案为：4．
13．（3分）（2024八年级·江西九江·阶段练习）如图，在四边形中，对角线，垂足为O，E，F，G，H分别为，，，的中点，若，，则四边形的面积为 ．
【答案】6
【分析】根据三角形中位线定理和矩形的判定证明四边形为矩形，再根据矩形的面积公式计算即可求解．
【详解】解：∵点O，E，F，G，H分别为，，，的中点，
∴是的中位线，是的中位线，是的中位线，
∴，，，，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
故答案为：6．
【点睛】本题考查中点四边形、三角形中位线定理、矩形的判定及平行四边形的判定，熟练掌握角形中位线定理和矩形的判定是解题的关键．
14．（3分）（2024·陕西西安·二模）如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和矩形ABFG，则∠EAG＝ ．
【答案】18°
【分析】根据四边形ABFG是矩形，得到∠GAB=90°，根据五边形ABCDE是正五边形，得到∠EAB=108°，利用∠EAG＝∠EAB-∠GAB计算即可．
【详解】∵四边形ABFG是矩形，
∴∠GAB=90°，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠EAB=108°，
∴∠EAG＝∠EAB-∠GAB
=108°-90°
=18°,
故答案为:18°．
【点睛】本题考查了矩形的性质,正五边形的内角和定理，熟练掌握正五边形和矩形的内角和是解题的关键．
15．（3分）（2024八年级·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，以为斜边在上方作等腰直角，连接，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，以为直角边构造等腰直角三角形，，连接，证明，得到，根据，求出的最大值，进而得到的最大值即可．
【详解】解：以为直角边构造等腰直角三角形，，，连接，
∵以为斜边在上方作等腰直角，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为8，
∵，
∴的最大值为；
故答案为：．
16．（3分）（2024八年级·山东临沂·期中）在中，，厘米，厘米，点P从点A开始沿AB边向B点以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，则经过 秒后，P，Q两点间距离为厘米．
【答案】
【分析】设经过秒后，P，Q两点间距离为厘米，先根据运动路程和速度求出的取值范围，再分、和三种情况，然后分别在中，利用勾股定理建立关于的一元二次方程，解方程即可得出答案．
【详解】设经过秒后，P，Q两点间距离为厘米，
由题意得：点P从点A开始沿AB边运动到点B所需时间为秒，
点Q从点B开始沿BC边运动到点C所需时间为秒，
因此，分以下三种情况：
（1）当点Q到达点C之前，即时，则厘米，厘米，
厘米，
厘米，
则在中，，即，
整理得：，
解得或（不符题设，舍去）；
（2）当点Q到达点C，点P继续向点B移动，即时，则厘米，
由得：，
整理得：，
解得或（均不符题设，舍去）；
（3）当点Q到达点C，点P到达点B，即时，
则厘米，不符题意；
综上，经过秒后，P，Q两点间距离为厘米，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用等知识点，依据题意，正确分三种情况讨论，并建立方程是解题关键．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2024八年级·湖南邵阳·阶段练习）（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）；（2）2
【分析】本题考查了算术平方根的非负性、二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）由题意得出，，再利用完全平方公式将式子变形为，代入计算即可得出答案；
（2）由二次根式有意义的条件得出且，从而得出，代入得出，利用完全平方公式将式子展开，再将的值代入计算即可得出答案．
【详解】解∶（1）∵，，
∴，，
；
（2）根据题意得且，
∴，
∴，
∴．
18．（6分）（2024八年级·浙江绍兴·阶段练习）解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和配方法是解本题的关键．
（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，；
（2）解：，
，
，
或，
，．
19．（8分）（2024八年级·吉林·阶段练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)画线段且使，连接；
(2)线段的长为 ；
(3)的形状为 ；
(4)求的面积.
【答案】(1)见解析
(2)
(3)直角三角形
(4)5
【分析】此题主要考查了作图，勾股定理以及勾股定理的逆定理．
（1）根据画图要求，结合网格进行画图即可；
（2）利用勾股定理即可求解；
（3）根据勾股定理来求、的长度，利用勾股定理的逆定理证得是直角三角形；
（4）利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：所作图形如图，
；
（2）解：由网格可得，；
故答案为：
（3）解：∵，，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
（4）解：．
20．（8分）（2024八年级·江苏扬州·阶段练习）（1）一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2160°，求原多边形的边数．
（2）小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的结果为2024°，求它的边数及少算的内角的度数．
【答案】（1）13或14或15；（2）边数为14，内角为
【分析】
本题考查多边形的内角和与切割问题：
（1）先根据多边形的内角和公式，求出现在多边形的边数，再分三种情况讨论即可；
（2）根据多边形的内角和为的整数倍，用2024°除以的结果中的整数加1再加2即为边数，再求出多边形的内角和减去2024°，即可．
【详解】解：（1）设新的多边形的边数为，由题意，得：，
∴，
∵切去一角有如图所示的三种切法，切完后新多边形的边数可以比原多边形多一条边，相等，少一条边，三种情况，
故：原多边形的边数为13或14或15；
（2）设多边形的边数为，
∵，
∴，
∴，
∴少算的内角的度数为，
故多边形的边数为14，少算的内角度数为．
21．（8分）（2024八年级·河南漯河·阶段练习）如图，在四边形中，、相交于点．
(1)如图1，求证四边形为矩形；
(2)如图2，E是边上任意一点，分别是垂足，若，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）先证明四边形是平行四边形，再由对角线相等得到四边形为矩形；
（2）由、分别是和 的高，利用即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形。
（2）连接，
由（1）得四边形是矩形，
，，
，，
，
∵
∴
∴；
22．（8分）（2024八年级·山东聊城·阶段练习）如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点之间的距离为，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖．
(1)求点到点的距离；
(2)蚂蚁从点爬到点的最短路程是多少？
【答案】(1)点到点的距离为
(2)
【分析】考查平面展开-最短路径问题，勾股定理，解题的关键是注意分类讨论，画出示意图．
（1）过点B作长方体宽的垂线，垂足为H，连接，根据勾股定理求解即可；
（2）分三种情况讨论：把左侧面展开到水平面上，连接，如图1 ；把右侧展开到正面上，连接，如图2 ；把向上的面展开到正面上，连接，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的，比较即可．
【详解】（1）解：如图，过点B作长方体宽的垂线，垂足为H，连接，
由长方体的性质得到：，
，
，
点到点的距离为；
（2）解：如图1，把左侧面展开到水平面上，连接，
由题意可得：，
，
在中，根据勾股定理得：，
如图2，把右侧展开到正面上，连接，
由题意得：，
在中，根据勾股定理得：
则需要爬行的最短距离是；
如图3，把向上的面展开到正面上，连接，
由题意可得：，
在中，根据勾股定理得：；
同理，把向上的面展开到后面时，；
∵，
∴则需要爬行的最短距离是．
23．（8分）（2024八年级·辽宁丹东·阶段练习）在正方形中，点在直线上，过点做交直线于点，以、为边构造矩形．
(1)当点在延长线上时，如图①，求证：矩形是正方形；
(2)当点在线段上时，如图②：试写出线段、与之间的数量关系，并证明；
(3)过点做直线，垂足为，若，则______．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
(3)或
【分析】（1）作延长线于P，于Q．利用证，得出，即可证明矩形是正方形；
（2）作于P，于Q，则，根据正方形性质得到，推出四边形是矩形，根据，得到，推出，推出矩形是正方形，得到，根据四边形是矩形，得到，推出，结合，推出，得到，推出矩形是正方形；根据正方形性质得到，，，推出，推出．得到，根据，即可得到；
（3）先证得为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，可得，，，然后分当点E在线段CA延长线上时和当点E在线段AC上时，两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，作延长线于P，于Q．
则，，
又∵四边形是正方形中，
∴四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，即，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形；
（2）
证明：如图，作于P，于Q．
则，
∵在正方形中，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形，
∵正方形和正方形中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴、为等腰直角三角形，
∴，，，
如图，当点在线段延长线上时，结合（1）中作图，，，
∴，，
∴，
此时；
如图，当点在线段上时，结合（2）中作图，，，
∴，，
∴，
∴；
综上所述，或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了正方形、全等三角形、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握知识点、作图推理证明是解题的关键．
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2023-2024学年八年级（下）月考数学试卷（5月份）
【沪科版】
考试时间：60分钟；满分：100分；考试范围：第16~19章
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2024八年级·河南商丘·阶段练习）若式子的运算结果是有理数，那么“”中的运算符号可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）（2024八年级·山东济南·期末）如图，平行四边形中，E，F是对角线上不同的两点，下列不能得出四边形一定为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）（2024八年级·广东佛山·阶段练习）若关于的方程有一个根为，则另一个根的值为（ ）
A． B．2 C．2或 D．0
4．（3分）（2024八年级·广东湛江·阶段练习）直角三角形的斜边为，两条直角边之比为，则最短的直角边长是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（3分）（2024八年级·云南昭通·阶段练习）如图所示，的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2024八年级·江苏无锡·阶段练习）如图，在菱形中，点A的坐标为，点C的纵坐标为2，直线的表达式为，交y轴于点E，若，则菱形的面积为（ ）
A．24 B．26 C．30 D．32
7．（3分）（2024八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（3分）（2024八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，在平行四边形中，，，，点是边上的一点，点是边上一点，将平行四边形沿折叠，得到四边形，点的对应点为点，点的对应点为点，则的长度为（ ）
A． B．4 C． D．3
9．（3分）（2024八年级·浙江绍兴·阶段练习）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”，现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最小值是（ ）
A．2023 B．2024 C．2018 D．2019
10．（3分）（2024八年级·浙江杭州·阶段练习）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP=EF；②△APD一定是等腰三角形；③AP⊥EF；④PD=EF．其中正确结论的番号是（ ）
A．①③④ B．①②③ C．①③ D．①②④
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）（2024八年级·黑龙江大庆·阶段练习）方程的两个根是等腰三角形的两边长，则该等腰三角形的周长是 ；
12．（3分）（2024八年级·江苏泰州·阶段练习）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为 ．
13．（3分）（2024八年级·江西九江·阶段练习）如图，在四边形中，对角线，垂足为O，E，F，G，H分别为，，，的中点，若，，则四边形的面积为 ．
14．（3分）（2024·陕西西安·二模）如图，以AB为边，在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和矩形ABFG，则∠EAG＝ ．
15．（3分）（2024八年级·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，以为斜边在上方作等腰直角，连接，则的最大值为 ．
16．（3分）（2024八年级·山东临沂·期中）在中，，厘米，厘米，点P从点A开始沿AB边向B点以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，如果点P，Q分别从A，B两点同时出发，则经过 秒后，P，Q两点间距离为厘米．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）（2024八年级·湖南邵阳·阶段练习）（1）已知，，求的值；
（2）已知，求的值．
18．（6分）（2024八年级·浙江绍兴·阶段练习）解方程：
(1)
(2)
19．（8分）（2024八年级·吉林·阶段练习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)画线段且使，连接；
(2)线段的长为 ；
(3)的形状为 ；
(4)求的面积
20．（8分）（2024八年级·江苏扬州·阶段练习）（1）一个多边形的纸片，小明将这个多边形纸片剪去一个角后，得到的新多边形的内角和为2160°，求原多边形的边数．
（2）小明在算另一个多边形纸片的内角和时不小心少算了一个内角，得到的结果为2024°，求它的边数及少算的内角的度数．
21．（8分）（2024八年级·河南漯河·阶段练习）如图，在四边形中，、相交于点．
(1)如图1，求证四边形为矩形；
(2)如图2，E是边上任意一点，分别是垂足，若，求的值．
22．（8分）（2024八年级·山东聊城·阶段练习）如图，长方体的长为，宽为，高为，点与点之间的距离为，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点去吃一滴蜜糖．
(1)求点到点的距离；
(2)蚂蚁从点爬到点的最短路程是多少？
23．（8分）（2024八年级·辽宁丹东·阶段练习）在正方形中，点在直线上，过点做交直线于点，以、为边构造矩形．
(1)当点在延长线上时，如图①，求证：矩形是正方形；
(2)当点在线段上时，如图②：试写出线段、与之间的数量关系，并证明；
(3)过点做直线，垂足为，若，则______．
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