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2023-2024学年七年级（下）月考数学试卷（5月份）
【沪科版】
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．(3分)（2024七年级·浙江杭州·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据算术平方根与立方根的意义逐项判断即可．
【详解】解：A. ＝2，故该选项正确，符合题意；
B. ＝2，故该选项错误，不符合题意；
C. ，故该选项错误，不符合题意；
D. ，故该选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查算术平方根的意义及立方根的意义，灵活运用、是解题关键．
2．(3分)（2024七年级·湖南永州·阶段练习）关于x的不等式（m－1）x＞m－1可变成形为x＜1，则（ ）
A．m＜－1 B．m＞－1 C．m＞1 D．m＜1
【答案】D
【分析】根据不等式的基本性质求解即可．
【详解】解：∵关于x的不等式（m-1）x>m-1的解集为x<1，
∴m-1<0，
则m<1，
故选：D．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质．
3．(3分)（2024七年级·陕西咸阳·阶段练习）已知，，，那么、、之间满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据可得，再根据得到，最后根据同底数幂的乘法可得出结论．熟练掌握它们的运算法则及性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
即：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
4．(3分)（2024七年级·浙江·自主招生）已知a，b为实数，且，设，则M，N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【分析】先将的值进行化简，再进行比较．
【详解】解： ，，
∵，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查异分母的分式的加减．熟练掌握异分母分式加减的运算法则，利用整体思想代入求值，是解题的关键．
5．(3分)（2024七年级·河北邯郸·阶段练习）若的结果为整数，则整数n的值不可能是（ ）
A．44 B．55 C．66 D．77
【答案】D
【分析】将和各选项进行因式分解，依次判断，即可求解，
本题考查了，因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解．
【详解】解：，
A、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
B、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
C、，是的因子，可使结果为整数，不符合题意，
D、，不是的因子，不可使结果为整数，符合题意，
故选：D．
6．(3分)（2024七年级·河南南阳·阶段练习）已知关于m的不等式组，且m为整数，则关于x的分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解，解分式方程，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解，即m的值，然后解分式方程即可得到答案．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∵m为整数，
∴，
∴原分式方程为，
去分母得：，
去括号得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
故选：C
7．(3分)（2024七年级·湖南衡阳·阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．12
【答案】C
【分析】根据，则，所以，把代入计算即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴
∵
∴
∴
故选：C．
【点睛】本题考查完全平方公式的应用．熟练掌握运用完全平方公式计算是解题的关键．
8．(3分)（2024七年级·北京·期中）已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题分别计算的x值，找到满足条件的x值即可．
【详解】解：当时，，，不合题意；
当时，，当时，，不合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，不合题意，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数大小比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用．
9．(3分)（2024七年级·浙江宁波·期末）如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（ ）
A．长方形纸片的周长和面积 B．长方形纸片长和宽的差
C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差
【答案】D
【分析】
设正方形的边长为，分别求出、①和②的面积、长方形纸片的面积与周长，再逐项判断即可得．
【详解】解：如图，设正方形的边长为，
则，
，
，
∵长方形纸片的周长为，面积为，
∴若知道长方形纸片的周长和面积或长方形纸片长和宽的差，能求出，即选项A、B不符合题意；
图中①的面积为，
②的面积为，
∴①和②的面积差为，
∴若知道①和②的面积差，能求出，即选项C不符合题意；
∵长方形纸片和①的面积差为，
∴若知道长方形纸片和①的面积差，不能求出，即选项D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了整式乘法、完全平方公式在图形中的应用，熟记运算法则是解题的关键．
10．(3分)（2024七年级·重庆·阶段练习）对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的个数为（ ）
①；
②，则；
③；
④对任意大于3的正整数，有．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题考查了代数式求值、解分式方程、数字类规律题等知识点，找出相关规律是解题的关键．
将代入即可判断①，解方程，即可判断②，分别计算，，， ，……即可判断③，同理分别求得，找到规律，进而即可判断④．
【详解】解：∵，
当时，，故①错误，
∵，即，解得：，经检验是原方程的解，故②正确；
∵，，， ，……
∴，故③正确；
∵，，，……
∴
，故④错误，
综上，正确的有2个．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．(3分)（2024七年级·辽宁沈阳·阶段练习）在实数﹣1.414，，π，，2+，3.212212221…，3.14中，无理数的有 个．
【答案】4
【分析】无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根（2）特定结构的无限不循环小数（3）含有π的绝大部分数，如2π．
【详解】解：-1.414是有限小数，是有理数，是无理数，π是无理数，无限循环小数是有理数，2+是无理数，3.212212221…是无限不循环小数是无理数，3.14有限小数是有理数．共有4个
故答案为：4
【点睛】本题主要考查的是无理数的认识，掌握无理数的常见类型是解题的关键．
12．(3分)（2024七年级·安徽合肥·期中）已知3a=2、3b=5、3c=，那么a、b、c之间满足的等量关系是 ．
【答案】3a+b-c=2
【分析】由题意知，则有，化简求解即可．
【详解】解：由题意知
∴
∴
∴
∴a、b、c之间满足的等量关系是
故答案为：．
【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法．解题的关键在于熟练掌握同底数幂乘法、同底数幂的除法的运算法则．
13．(3分)（2024七年级·广西钦州·阶段练习）若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是 ．
【答案】/
【分析】先根据第一个不等式的解集求出，，，再代入第二个不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】解： ，
，
关于x的不等式的解集是，
，，
，，
，，
∵，
∴，而，
∴，
关于x的不等式的解集为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，求出是解此题的关键．
14．(3分)（2024七年级·安徽滁州·阶段练习）在实数范围内定义运算“※”：．请解决下列问题：
（1） ；
（2）若，则 ．
【答案】
【分析】（1）根据定义的运算代入计算；
（2）根据定义运算得到等式，运用分式的运算法则化简求值．
【详解】解：（1）；
（2）
∴
∴则．
【点睛】本题考查分式的运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
15．(3分)（2024七年级·山东淄博·阶段练习）对于，计算结果的个位数字是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了平方差公式，原式变形后，利用平方差公式计算得到结果，归纳总结即可确定出结果的个位数字．
【详解】解：
，
∵，
∴其结果个位数以2，4，8，6循环，
∵，
∴的计算结果的个位数字为6，
即原式计算结果的个位数字为4．
故答案为：4．
16．(3分)（2024七年级·江苏宿迁·阶段练习）已知实数p、q满足，且，则 ．
【答案】13
【分析】本题考查了因式分解的应用．解题时，注意“整体代入”数学思想的应用．
根据已知条件得到：，利用因式分解法分别求得、的值，然后代入所求的代数式进行求值即可．
【详解】解：由得：．
由得：，
，
则，
，
，
，
，
．即．
故答案为：13．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．(6分)（2024七年级·河南郑州·阶段练习）（1）计算：；
（2）计算：；
【答案】（1）；（2）
【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键.
（1）原式先计算单项式乘以单项式，积的乘方和幂的乘方以及同底数幂的除法，再合并即可；
（2）原式根据平方差公式和单项式乘以多项式运算法则将括号展开后再合并即可.
【详解】解：（1）
；
（2）
.
18．(6分)（2024七年级·新疆乌鲁木齐·阶段练习）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）0；（2），
【分析】
本题考查了实数混合运算，分式的化简求值，涉及零指数幂，立方根的求解，化简绝对值，平方差以及完全平方公式的运用，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）根据零指数幂，绝对值，立方根，乘方的运算法则运算出各项，再加减即可；
（2）先将括号里的通分相加，再算乘法约分即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
当时，原式．
19．(8分)（2024七年级·山西太原·阶段练习）阅读下列解题过程：
；
；
；…
（1）________．
（2）按照你所发现的规律，请你写出第个等式：________．
（3）利用这一规律计算：
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）仿照已知等式确定出所求即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；
（3）原式变形后，仿照上式得出结果即可．
【详解】解：（1）；
故答案为：；
（2）观察上面的解题过程，发现的规律为：
，
故答案为：；
（3）
．
【点睛】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．
20．(8分)（2024七年级·山东潍坊·阶段练习）易通汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．去年3月份销售总额为100万，今年A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，售出的A款汽车的数量与去年相同，但是销售总额比去年同期减少10万．
问题：
(1)今年3月份A款汽车每辆售价多少万元？
(2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的款汽车．已知A款汽车每辆进价为7.5万元，款汽车每辆进价为6万元，售价7万．公司总部预计用至多105万元购入两款汽车共15辆，且要求利润不少于19万元，共有几种进货方案？
【答案】(1)今年3月份A款汽车每辆售价9万元；
(2)共有3种进货方案．
【分析】本题考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的数量关系，列方程和不等式组求解．
（1）设今年3月份A款汽车每辆售价x万元，根据题意可得，去年销售额100万元与今年销售额万元所卖的车辆数量相等，据此列方程求解；
（2）设A款汽车能购进y辆，则B款汽车能购进辆，根据购车资金不多于105万元，利润不少于19万元，列不等式组求解．
【详解】（1）解：设今年3月份A款汽车每辆售价x万元，则去年同期每辆售价万元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
答：今年3月份A款汽车每辆售价9万元；
（2）解：设A款汽车能购进y辆，则B款汽车能购进辆，
由题意得：，
解得：．
∵y是整数，
故y可以取值：8、9、10．
答：共有3种进货方案．
21．(8分)（2024七年级·陕西西安·阶段练习）阅读下面的材料，然后解决问题：
苏菲·热门，19世纪法国数学家，他在数学研究上造诣颇深．下面是他写的数学著作中的一个问题：因式分解时，因为该式只有两项，而且属于平方和的形式，即，所以要使用公式就必须添加一项，同时减去，即 ．人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．请你依照苏菲·热门的做法，将下列各式因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查因式分解，掌握添项构造完全平方公式是解题的关键．
（1）原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解可得；
（2）原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解可得；
（3）原式变形为，再利用完全平方公式和提取公因式分解可得．
【详解】（1）解：
；
（2）
；
（3）解：
．
22．(8分)（2024七年级·四川巴中·阶段练习）如图a是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图b的形状，拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法① ．方法② ；
(2)观察图b，请你写出三个代数式，，mn之间的等量关系是 ；
(3)若，，利用（2）题中提供的等量关系计算： ；
(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来解释，如图C，它表示了，现有一个代数恒等式，请用一个几何图形的面积来解释它的正确性．
【答案】(1)，
(2)
(3)
(4)见解析
【分析】（1）根据阴影部分的面积可以看作正方形的面积减去四个长方形的面积或边长为的正方形的面积，即可列式；
（2）根据阴影部分的面积相等可得答案；
（3）由（2）可得，代入，求值即可；
（4）根据等式的意义画出符合要求的图形即可．
【详解】（1）解：方法①：大正方形的面积减去四个长方形的面积，即阴影部分的面积为，方法②：看作边长为的正方形的面积，即阴影部分的面积为，
故答案为：，
（2）根据阴影部分的面积相等可得：，即，，mn之间的等量关系是：，
故答案为：
（3）由（2）可得，
若，，
则，
∴，
故答案为：
（4）如图所示，
图形面积可以表示为长为，宽为的大长方形的面积，即；还可看作四个正方形的面积与四个小长方形的面积之和，即，
∴．
【点睛】此题主要考查了整式的乘法与几何图形面积之间的联系，从几何的图形来解释多项式乘法的意义．解此类题目的关键是正确的分析图形，找到组成图形的各个部分，并用面积的两种求法作为相等关系列式子．
23．(8分)（2024七年级·湖南长沙·阶段练习）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．
阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．
将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：，这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)若分式的值为非负整数，则整数的值为______．
(2)求分式的取值范围；
(3)若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：（整式部分对应等于，真分式部分对应等于），求的最小值．
【答案】(1)或或
(2)
(3)27
【分析】本题考查分式的化简以及完全平方公式．
（1）根据题干中的方法，将分式进行变形，再进行求解即可；
（2）先将分式转化为一个整数和一个分式的和的形式，进而求出取值范围即可；
（3）先将分式转化为一个整数和一个分式的和的形式，然后将代数式转化为完全平方公式的形式，求出最大值即可．
掌握分式的变形方法，是解题的关键．
【详解】（1）解：∵的值为非负整数，
∴，
∴；
故答案为：或或；
（2），
∵，
∴，
∴，即：；
（3）∵，
又，
∴，，
∴，
∴，
∴
；
∵，
∴；
∴的最小值为．
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2023-2024学年七年级（下）月考数学试卷（5月份）
【沪科版】
考试时间：60分钟；满分：100分；考试范围：第6~9章
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．(3分)（2024七年级·浙江杭州·阶段练习）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．(3分)（2024七年级·湖南永州·阶段练习）关于x的不等式（m－1）x＞m－1可变成形为x＜1，则（ ）
A．m＜－1 B．m＞－1 C．m＞1 D．m＜1
3．(3分)（2024七年级·陕西咸阳·阶段练习）已知，，，那么、、之间满足的关系是（ ）
A． B． C． D．
4．(3分)（2024七年级·浙江·自主招生）已知a，b为实数，且，设，则M，N的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
5．(3分)（2024七年级·河北邯郸·阶段练习）若的结果为整数，则整数n的值不可能是（ ）
A．44 B．55 C．66 D．77
6．(3分)（2024七年级·河南南阳·阶段练习）已知关于m的不等式组，且m为整数，则关于x的分式方程的解是（ ）
A． B． C． D．不能确定
7．(3分)（2024七年级·湖南衡阳·阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．12
8．(3分)（2024七年级·北京·期中）已知表示取三个数中最小的那个数．例如：当时，，当时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．(3分)（2024七年级·浙江宁波·期末）如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖部分用阴影表示，图1和图2中阴影部分的面积分别记为和．若知道下列条件，仍不能求值的是（ ）
A．长方形纸片的周长和面积 B．长方形纸片长和宽的差
C．①和②的面积差 D．长方形纸片和①的面积差
10．(3分)（2024七年级·重庆·阶段练习）对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的个数为（ ）
①；
②，则；
③；
④对任意大于3的正整数，有．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．(3分)（2024七年级·辽宁沈阳·阶段练习）在实数﹣1.414，，π，，2+，3.212212221…，3.14中，无理数的有 个．
12．(3分)（2024七年级·安徽合肥·期中）已知3a=2、3b=5、3c=，那么a、b、c之间满足的等量关系是 ．
13．(3分)（2024七年级·广西钦州·阶段练习）若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是 ．
14．(3分)（2024七年级·安徽滁州·阶段练习）在实数范围内定义运算“※”：．请解决下列问题：
（1） ；
（2）若，则 ．
15．(3分)（2024七年级·山东淄博·阶段练习）对于，计算结果的个位数字是 ．
16．(3分)（2024七年级·江苏宿迁·阶段练习）已知实数p、q满足，且，则 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．(6分)（2024七年级·河南郑州·阶段练习）（1）计算：；
（2）计算：；
18．(6分)（2024七年级·新疆乌鲁木齐·阶段练习）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
19．(8分)（2024七年级·山西太原·阶段练习）阅读下列解题过程：
；
；
；…
（1）________．
（2）按照你所发现的规律，请你写出第个等式：________．
（3）利用这一规律计算：
20．(8分)（2024七年级·山东潍坊·阶段练习）易通汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．去年3月份销售总额为100万，今年A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，售出的A款汽车的数量与去年相同，但是销售总额比去年同期减少10万．
问题：
(1)今年3月份A款汽车每辆售价多少万元？
(2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的款汽车．已知A款汽车每辆进价为7.5万元，款汽车每辆进价为6万元，售价7万．公司总部预计用至多105万元购入两款汽车共15辆，且要求利润不少于19万元，共有几种进货方案？
21．(8分)（2024七年级·陕西西安·阶段练习）阅读下面的材料，然后解决问题：
苏菲·热门，19世纪法国数学家，他在数学研究上造诣颇深．下面是他写的数学著作中的一个问题：因式分解时，因为该式只有两项，而且属于平方和的形式，即，所以要使用公式就必须添加一项，同时减去，即 ．人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”．请你依照苏菲·热门的做法，将下列各式因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
22．(8分)（2024七年级·四川巴中·阶段练习）如图a是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图b的形状，拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法列代数式表示图②中阴影部分的面积．方法① ．方法② ；
(2)观察图b，请你写出三个代数式，，mn之间的等量关系是 ；
(3)若，，利用（2）题中提供的等量关系计算： ；
(4)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来解释，如图C，它表示了，现有一个代数恒等式，请用一个几何图形的面积来解释它的正确性．
23．(8分)（2024七年级·湖南长沙·阶段练习）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．
阅读材料：在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．
将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：，这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
(1)若分式的值为非负整数，则整数的值为______．
(2)求分式的取值范围；
(3)若分式拆分成一个整式与一个真分式（分子为整数）的和（差）的形式为：（整式部分对应等于，真分式部分对应等于），求的最小值．
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