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北师大版2023-2024七年下数学期中测试卷03
考试范围（第一-----第四单元）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、单选题
1．下列各图中，与是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据同位角的意义，结合图形进行判断即可．
【详解】解：A．选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意；
B．选项中的两个角符合同位角的意义，符合题意；
C．选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意；
D．选项中的两个角不是两条直线被一条直线所截出现的角，不符合题意；
故选：B．选项
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，判断是否是同位角，必须符合三线八角中，在截线的同侧，并且在被截线的同一方的两个角是同位角．
2．下列多项式中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的特点是解题的关键．
平方差公式的形式是，平方差公式的特点是两个数的和乘以两个数的差，逐一判断四个选项，即可求解．
【详解】解：A、，不可以用平方差公式计算．
B、，可以用平方差公式计算；
C、，不可以用平方差公式计算；
D、，不可以用平方差公式计算．
故选：B．
3．在学习“认识三角形”一节时，嘉嘉用四根长度分别为的小棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此逐个分析即可作答．
【详解】解：A、当三边为，则周长为，故该选项不符合题意；
B、当三边为，则周长为，但，不能构成三角形，故该选项是符合题意的；
C、当三边为，则周长为，故该选项不符合题意；
D、当三边为，则周长为，故该选项不符合题意；
故选：B
4．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】三角形的高线的定义可得，D选项中线段BE是△ABC的高．
故选：D
5．如图，观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图的作图依据是（ ）
A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．
由作图过程得，，，得到三角形全等，即可求解．
【详解】解：由作图过程得：，，，
，
（全等三角形的对应角相等）．
故选：A．
6．下列说法中：①同角或等角的补角相等；②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④从直线外一点到这条直线的垂线，叫做点到直线的距离，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据补角的性质判定①；根据垂线公理判定②；根据垂线段最短判定③；根据点到直线的距离概念判定④．
【详解】解：①同角或等角的补角相等，故①正确；
②在同一平面内，过直线上（或直线外）一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故②错误；
③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故③正确；
④从直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离，故④错误；
∴正确的有①③，共2个，
故选：B．
【点睛】本题考查补角的性质，垂线公理，垂线段最短，点到直线的距离概念．熟练掌握相关性质定理及概念是解题的关键．
7．如图所示，，，，结论：①；②；③；④，其中正确的是有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据已知的条件，可由AAS判定△AEB≌△AFC，进而可根据全等三角形得出的结论来判断各选项是否正确．
【详解】解：∵，
∴△AEB≌△AFC；（AAS）
∴∠FAM=∠EAN，
∴∠EAN-∠MAN=∠FAM-∠MAN，即∠EAM=∠FAN；（故③正确）
又∵∠E=∠F=90°，AE=AF，
∴△EAM≌△FAN；（ASA）
∴EM=FN；（故①正确）
由△AEB≌△AFC知：∠B=∠C，AC=AB；
又∵∠CAB=∠BAC，
∴△ACN≌△ABM；（故④正确）
由于条件不足，无法证得②CD=DN；故正确的结论有：①③④；
故选：C．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质与判别，考查了学生根据图形分析问题，解决问题的能力．其中全等三角形的判别方法有：SSS，SAS，ASA，AAS及HL．学生应根据图形及已知的条件选择合适的证明全等的方法．
8．如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，过作平面镜，可得，，而，再建立方程，可得，从而可得答案．
【详解】解：如图，过作平面镜，
∴，，
而，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查的是垂直的定义，角的和差运算，角平分线的含义，属于跨学科题，熟记基础概念是解本题的关键．
9．若AB∥CD，∠CDE＝∠CDF，∠ABE＝∠ABF，则∠E：∠F＝（ ）
A．1：2 B．1：3 C．3：4 D．2：3
【答案】C
【分析】根据平行线的性质和角的和差即可得到结论．
【详解】解：过点E、F分别作AB的平行线EG、FH，由平行线的传递性可得AB∥EG∥FH∥CD，
∵AB∥FH，∴∠ABF＝∠BFH，
∵FH∥CD，∴∠CDF＝∠DFH，
∴∠BFD＝∠DFH+∠BFH＝∠CDF+∠ABF；
同理可得∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠ABE+∠CDE；
∵∠CDE＝∠CDF，∠ABE＝∠ABF，
∴∠BED＝∠DEG+∠BEG＝∠CDE+∠ABE＝（∠ABF+∠CDF）＝∠BFD，
∴∠BED：∠BFD＝3：4．
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
10．如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形．则下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③∠AHC=60°；④△BFG是等边三角形；⑤HB平分∠AHD．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】由题中条件可得△ABE≌△CBD，得出对应边、对应角相等，进而得出△BGD≌△BFE，△ABF≌△CGB，再由边角关系即可求解题中结论是否正确，进而可得出结论．
【详解】∵△ABC与△BDE为等边三角形，
∴AB=BC,BD=BE,
∴∠ABE=∠CBD，
即AB=BC，BD=BE，∠ABE=∠CBD
∴△ABE≌△CBD，
∴S△ABE=S△CBD，AE=CD，∠BDC=∠AEB，
又∵
∴△BGD≌△BFE，
∴BG=BF,
故①②正确；
∵△ABE≌△CBD，
∴∠EAB=∠BCD，
∵
∴ ∴③正确；
∵BF=BG,
∴△BFG是等边三角形，∴④正确；
∴
∴FG∥AD，
∵BF=BG,AB=BC,，
∴△ABF≌△CBG，
∴∠BAF=∠BCG，
∴
∴
∵
∴B、G、H、F四点共圆，
∵FB=GB，
∴∠FHB=∠GHB，
∴BH平分∠GHF，
∴⑤正确；
故选D.
【点睛】考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，等边三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
11．已知，则 ．
【答案】．
【分析】计算，从而得到，然后先求原式的倒数，从而求解．
【详解】解：∵
∴
∴
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查倒数，完全平方公式的运用及分式的化简求值，掌握完全平方公式的结构以及分式的化简计算是解题关键．
12．如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可．
【详解】解：∵F是的中点，，
∴，
∵D为的中点，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵D为的中点，
∴，
故答案为：．
13．已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了完全平方公式和代数式求值，先求出，进而利用完全平方公式得到，据此利用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．
【答案】3
【分析】证明，得到，即可得解．
【详解】解： ∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中：
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：3．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．利用同角的余角相等和等腰三角形的两腰相等证明三角形全等是解题的关键．
15．一副三角板按如图所示（共顶点A）叠放在一起，若固定三角板，改变三角板的位置（其中A点位置始终不变），当 时，．
【答案】30或150
【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键．根据平行线判定，作出图形，分两种情况：①内错角相等两直线平行；②同旁内角互补两直线平行，数形结合求解即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
①如图，
当时，可得；
②如图，
当时，可得，
则．
故答案为：30或150．
16．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，请根据阅读理解解答下列各题：
(1)________；
(2)计算：；
(3)已知实数，满足行列式，则代数式的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了新定义运算，二次根式混合运算，整式混合运算，求代数式的值；
（1）由二阶行列式的运算法则展开，即可求解；
（2）由二阶行列式的运算法则展开，即可求解；
（3）先用二阶行列式的运算法则展开，化简后可得，将代数式化简后代入求值，即可求解；
理解新定义，能根据二阶行列式的运算法则进行运算是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
故答案：；
（2）解：原式
；
（3）解：由得，
，
整理得：，
原式
，
当时，
原式
．
17．作图题：
(1)在图①中，作过点P作直线，垂足为H：作直线；
(2)请直接写出图①中三角形的面积是 平方单位；
(3)在图②中过点P作直线（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
【答案】(1)见解析；
(2)11；
(3)见解析
【分析】本题考查了两直线平行的判定，尺规作图作出相等角的作法，熟记平行线的判定定理，尺规作图的步骤是解题关键．
（1）利用网格的特点作出图形即可；
（2）利用割补法即可求解；
（3）根据同位角相等，两直线平行，过点P利用尺规作出即可解决问题．
【详解】（1）解：直线和直线即为所作，
；
（2）解：三角形的面积=
平方单位；
故答案为：11；
（3）解：如图，直线即为所求．
．
18．阅读下面的解题过程：已知，求的值．
解：由知，所以，即．
所以，故的值为．
该题的解法叫做“倒数求值法”，请你利用“倒数求值法”解下面的题目：
(1)若，求的值．
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案；
（2）根据“倒数求值法”的解题思路即可求出答案．
【详解】（1）解：∵，且，
∴，
∴，
∴；
∴．
（2）解：∵，且
∴
∵
∴．
【点睛】本题考查分式的运算，完全平方公式，解题的关键正确理解题目给出的解答思路．
19．如图1，一条笔直的公路上有A，B，C三地，甲，乙两辆汽车分别从A，B两地同时开出，沿公路匀速相向而行，驶往B，A两地，甲、乙两车到C地的距离y1、y2（千米）与行驶时间 x（时）的关系如图2所示．
(1)A，B两地之间的距离为 千米；
(2)图中点M代表的实际意义是什么？
(3)分别求出甲，乙两车的速度，并求出他们的相遇点距离点C多少千米．
【答案】(1)150
(2)点M代表的实际意义是乙到达C的时间
(3)甲车的速度为60千米/小时，乙车的速度为75千米/小时，他们的相遇点与点C的距离为千米
【分析】（1）由图象可知AC=60，CB=90，据此来求解；
（2）由图象可知点M代表的实际意义是乙到达C的时间；
（3）根据图像分别解出甲车和乙车的速度，用总路程除以甲乙两车的速度和就等于他们相遇的时间小时，再用乙车到达C点时的路程减去汽车行驶小时的路程即为所求．
【详解】（1）解：由图象可知AC=60，BC=90，
∴A、B两地距离为60+90=150km；
∴A、B两地距离为150千米；
故答案为：150．
（2）解：由图象可知，点M代表的实际意义是：乙到达C的时间．
（3）解：由图象可知：甲乙两车匀速运动，AC=60，BC=90，
∴甲车的速度：60÷1=60(千米/小时)，
乙车的速度为：150÷2= 75(千米/小时)，
设经过x小时甲乙两车相遇，根据题意列方程，得
(60+75)x=150
解得x=；
由图像知已到达C的距离为90千米，那么
他们的相遇点与点C的距离为：90-75×=(千米)．
∴他们的相遇点与点C的距离为千米．
【点睛】此题考查了行程问题（一元一次方程的应用）和用图象表示变量间的关系，解题的关键是看清横轴、纵轴的含义，通过分析找到变量之间的关系求解．
20．已知：如图，在中，是的平分线，E为上一点，且于点F．若，，求的度数．
【答案】
【分析】先根据，可得出的度数，再由三角形外角的性质得出的度数，根据角平分线的定义得出的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，
∴．
∵是的平分线，
∴，
∴．
21．如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．
（1）证明，由全等三角形的性质得出结论；
（2）由三角形外角的性质求出，即可得到答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
22．【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C． AAS D．ASA
(2)AD的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
【答案】(1)B
(2)C
(3)见解析
【分析】（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延长AD到M，使AD=DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根据AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根据等腰三角形的性质求出即可．
【详解】（1）∵在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选B；
（2）∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE=AC=6，AE=2AD，
∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故选：C．
（3）延长AD到点M，使AD＝DM，连接BM．
∵AD是△ABC中线
∴CD＝BD
∵在△ADC和△MDB中
∴
∴BM＝AC（全等三角形的对应边相等）
∠CAD＝∠M（全等三角形的对应角相等）
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE（等边对等角）
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠M，
∴BF＝BM（等角对等边）
又∵BM＝AC，
∴AC＝BF．
【点睛】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
23．(1)问题发现:如图1, 和均为等边三角形，点在同一直线上，连接
①求证:; ②求的度数.
(2)拓展探究:如图2, 和均为等腰直角三角形，,点在同一直线上为中边上的高，连接
①求的度数:
②判断线段之间的数量关系(直接写出结果即可).
解决问题:如图3，和均为等腰三角形，,点在同一直线上，连接.求的度数(用含的代数式表示，直接写出结果即可).
【答案】（1）①证明见解析；②60°；（2）①90°；②BE=CE+2AF；（3）∠AEC=90°+.
【分析】（1）根据等边三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=60°,根据SAS进一步证明△BAD≌△CAE,依据其性质可得，再根据对应角相等求出的度数；
（2）根据等腰直角三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=90°，根据SAS进一步证明△BAD≌△CAE，根据对应角相等求出的度数；因为DE=2AF,BD=EC,结合线段的和差关系得出结论；
（3）根据等腰三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=n°，根据SAS进一步证明△BAD≌△CAE，根据对应角相等求出得出∠ADB=的度数,结合内角和用n表示∠ADE的度数，即可得出结论.
【详解】（1）①∵△ABC和△ADE均为等边三角形(如图1)，
∴ AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴ ∠BAD=∠CAE.
∴ △BAD≌△CAE（SAS）
∴ BD=CE.
② 由△CAE≌△BAD，
∴ ∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°.
∴ ∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°.
（2）①∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形(如图2)，
∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，
∵ ∠BAC=∠DAE=90°，
∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴ ∠BAD=∠CAE.
∴ △BAD≌△CAE（SAS）.
∴ BD=CE，∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=135°.
∴ ∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°.
② BE=CE+2AF.
（3）如图3：∠AEC=90°+，理由如下，
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，
∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=n°，
∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴ ∠BAD=∠CAE.
∴ △BAD≌△CAE（SAS）.
∴ ∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=180°- .
∴∠AEC=90°+.
【点睛】本题考查等边三角形、等腰直角三角形的性质及旋转型三角形全等，掌握全等常见模型及由特殊到一般找出解题规律是解答此题的关键.
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考试范围（第一-----第四单元）
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
一、单选题
1．下列各图中，与是同位角的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列多项式中，可以用平方差公式计算的是（ ）
A． B．
C． D．
3．在学习“认识三角形”一节时，嘉嘉用四根长度分别为的小棒摆三角形，那么所摆成的三角形的周长不可能是（ ）
A． B． C． D．
4．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（ ）
A．B．
C． D．
5．如图，观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图的作图依据是（ ）
A．边边边 B．边角边 C．角边角 D．角角边
6．下列说法中：①同角或等角的补角相等；②过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④从直线外一点到这条直线的垂线，叫做点到直线的距离，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图所示，，，，结论：①；②；③；④，其中正确的是有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图1，汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（ ）
A． B． C． D．
9．若AB∥CD，∠CDE＝∠CDF，∠ABE＝∠ABF，则∠E：∠F＝（ ）
A．1：2 B．1：3 C．3：4 D．2：3
10．如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形．则下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③∠AHC=60°；④△BFG是等边三角形；⑤HB平分∠AHD．其中正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．已知，则 ．
12．如图，在中，已知点分别为边的中点，且，则 ．
13．已知，则的值为 ．
14．如图，在中，，，点D为上一点，连接．过点B作于点E，过点C作交的延长线于点F．若，，则的长度为 ．
15．一副三角板按如图所示（共顶点A）叠放在一起，若固定三角板，改变三角板的位置（其中A点位置始终不变），当 时，．
16．阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如，请根据阅读理解解答下列各题：
(1)________；
(2)计算：；
(3)已知实数，满足行列式，则代数式的值．
17．作图题：
(1)在图①中，作过点P作直线，垂足为H：作直线；
(2)请直接写出图①中三角形的面积是 平方单位；
(3)在图②中过点P作直线（要求：尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．）
18．阅读下面的解题过程：已知，求的值．
解：由知，所以，即．
所以，故的值为．
该题的解法叫做“倒数求值法”，请你利用“倒数求值法”解下面的题目：
(1)若，求的值．
(2)若，求的值．
19．如图1，一条笔直的公路上有A，B，C三地，甲，乙两辆汽车分别从A，B两地同时开出，沿公路匀速相向而行，驶往B，A两地，甲、乙两车到C地的距离y1、y2（千米）与行驶时间 x（时）的关系如图2所示．
(1)A，B两地之间的距离为 千米；
(2)图中点M代表的实际意义是什么？
(3)分别求出甲，乙两车的速度，并求出他们的相遇点距离点C多少千米．
20．已知：如图，在中，是的平分线，E为上一点，且于点F．若，，求的度数．
21．如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
22．【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C． AAS D．ASA
(2)AD的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
23．(1)问题发现:如图1, 和均为等边三角形，点在同一直线上，连接
①求证:; ②求的度数.
(2)拓展探究:如图2, 和均为等腰直角三角形，,点在同一直线上为中边上的高，连接
①求的度数:
②判断线段之间的数量关系(直接写出结果即可).
解决问题:如图3，和均为等腰三角形，,点在同一直线上，连接.求的度数(用含的代数式表示，直接写出结果即可).
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