初中数学人教八年级下册第十七章 勾股定理 数学活动：探折纸，找原理 教学设计（表格式）
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| 名称 | 初中数学人教八年级下册第十七章 勾股定理 数学活动：探折纸，找原理 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 647.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-07 15:11:17 | ||
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文档简介
教学设计
课程基本信息
学科 数学 年级 八年级 学期 春季
课题 数学活动：探折纸，找原理
教学目标
1. 经历折出60°，30°，15°的角，会用折角的原理及方法。 2.了解黄金矩形、黄金螺线的定义及它在生活中的应用，会用折边的原理及方法。 3.通过折纸活动，加深对轴对称、全等三角形、特殊的三角形、四边形等知识的认识，积累数学活动经验，发展学生的空间观念，建立几何直观，发展数学推理和运算能力。
教学内容
教学重点： 1. 会折自己想要的角、边，认识黄金矩形、黄金螺线。
2. 掌握折纸的数学原理、方法。
教学难点： 1. 制作黄金矩形、画出黄金螺线。
2. 掌握折纸的数学原理、方法。
教学过程
引言： 图１ 折纸剪纸是我国一项传统的民间艺术，承载着我们童年的记忆。每逢春节、婚庆时，贴窗花、帖喜字是我们常见的一种民俗活动，被称为中华第一灯的仙居县针刺无骨花灯、不断创新的临海市张秀娟剪纸，成为浙江非遗文化传承中璀璨的明珠。它是中华民族伟大复兴中文化自信的生动体现。 同学们，今天让我们用数学的眼光来看一看折纸，在折纸探研的过程中，利用我们学过的特殊四边形、特殊三角形的边、角、对角线的性质和判定，寻找折纸背后的数学原理。 师生活动：教师讲解，学生倾听。 设计意图：从文化传承的角度出发，认识折纸剪纸；从学生生活出发，感受折纸文化；从民族复兴、文化自信出发，感受中国传统文化的博大精深；从折纸与数学的联系出发，旨在引导学生会用数学的眼光看世界。 一、探折角、找原理 １.折一折 问题1:利用矩形纸片，你能折出45°角吗？并说明理由。 图２ 师生活动：学生试着去折，小组交流、总结。教师总结强调对折操作：点A落在矩形的另一边上，直角被平分成相等的两个角。 设计意图：从学生熟悉的生活体验出发，感知数学知识。 追问: 回顾你折出45°角的思考过程。 师生活动：各小组代表讲解思考过程，教师作好引导。根据矩形的性质，它的四个角都是直角，而45°是直角的一半，所以我们将折45°角转化为折出90°角的角平分线来处理。教师总结强调我们发现转化是一种重要的数学方法 设计意图：通过学生熟悉的直角对折得出45°，让学生回忆思考过程，引出对折问题一般转化为折角平分线的问题。 问题2 ：利用矩形纸片，你能折出60°,30°,15°的角吗？ 师生活动：通过学生自主探究，动手去折。教师观察、引导、参与讨论。 设计意图：通过学生自主探究，小组之间的讨论，找到想要折出的角的基本思路，然后动手折角，并验证正确性。 追问1:说说你是如何折出60°角的？ 图3 师生活动：让学生讲解60°角的折纸过程，体会对折，会产生相等的边。利用等边三角形的判定、性质（三线合一），垂直平分线的性质，获得我们想要的角。 若学生从“在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半”这个性质考虑边之间的关系，先推出30°也可。 设计意图：通过60°典型角的折叠，让学生体会、得出折出想要角的思考、折叠过程，并能类比到其他角的折出。 追问2:说说你是如何折出30°，15°角？ 师生活动：学生讲解，讨论。 设计意图：通过60°,30°,15°的折叠，让学生体会、得出对折是两等分一个角。 ２.找原理 问题3:利用矩形是轴对称图形，折45°、60°、30°、15°角，我们发现了什么原理？ 师生活动：通过学生小组之间的探讨、归纳，总结，得出：对折可以平分一个角，还可以把一个角分成2n 等份，同时通过角的和差得到相关的度数. 设计意图：要学生通过合作学习，得出折角主要的方法和规律。 问题4:回顾折角的过程中，你们用了哪些数学知识？ 师生活动：通过小组合作讨论得出折角用到的数学知识，如：正方形和矩形的性质及判定、直角三角形的性质、勾股定理、角平分线、、等边三角形的性质…… 设计意图：通过小组合作，让学生实践联系理论，深挖折角背后的数学原理。 追问1:你觉得折角问题解决的思路是什么？ 师生活动：通过小组合作总结得出：折角问题往往转化为特殊四边形、特殊三角形的知识来解决。 设计意图：通过小组合作，总结出：折角问题，我们该如何去设计折角的步骤，并折出我们想要的角。 3.小练习－你能折出你想要的角吗？ 师生活动：学生实践操作，教师观察、指导。 设计意图：学生通过以自主探究、合作学习为主的课堂小练习，运用数学知识，设计折角的方案，并能验证其正确性。 二、探折角、找原理 (一)黄金螺线 图4：巴特农神庙 古希腊巴特农神庙，呈现出了非常舒服、非常和谐的矩形美，通过测量，我们发现它的宽和长的比是 （约为0.618）．这就是黄金矩形。黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。 图5：黄金矩形的应用 师生活动：教师介绍（被评选为"世界新七大奇迹"的印度泰姬陵，它的设计处处体现了黄金矩形的设计风格。再比如说张秀娟老师的虎年作品，也体现了黄金矩形的设计理念。而达芬奇的不朽名著《蒙娜丽莎》，其构图更是黄金矩形的完美展示。黄金矩形，也是发型师打造个人发型的精准依据。），学生对照课本学习。 设计意图：通过丰富多彩的生活应用，进一步了解黄金矩形的定义。 1.折一折（黄金矩形） 问题1：利用矩形纸片，你能折出黄金矩形吗？说说你的折纸思路？ 师生活动：学生思考折纸思路。教师提示学生，可以通过阅读课本，了解折黄金矩形的方案，引导学生讨论得出折黄金矩形的关键点。 设计意图：通过阅读课本，了解折黄金矩形的步骤，引导学生讨论得出折黄金矩形的关键点，如何折出，结合矩形纸条，我们可以将其转化为两直角边为1和2的直角三角形的斜边，并点出折黄金矩形每一步的主要目的。 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用下图的方法折出一个正方形，然后把纸片展平。 图6 点明：利用轴对称构建正方形。 第二步：如下图，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平； 图7 点明：利用轴对称构建了长宽为两倍关系的矩形。 第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并把AB 折到下AD 处； 图8 点明：利用轴对称构建了关键直角三角形的斜边和黄金矩形的关键边。 第四步：展平纸片，按照所得的点D 折出DE，得到矩形BCDE就是黄金矩形。 图9 点明：利用矩形的判定画出了黄金矩形。 2.探原理 问题2: 这样折出的矩形BCDE是黄金矩形吗？也就是说，宽CD与长BC 的比值是否为 ？ 图10 解题思路：假设矩形纸条的宽为２，则BC=2, 那么AC=1,根据勾股定理可得AB=。由对折可得AD=AB=,CD=AD-AC=－１，得到 。 师生活动：学生小组合作，证明矩形BCDE是黄金矩形。教师聆听、参加讨论。 设计意图：引导学生通过观察、猜想、证明，这样一个方法证明矩形BCDE是黄金矩形。 问题3: 矩形MNDE是黄金矩形吗？请说明理由． 图11 解题思路：由上题可知：NM=2，AB=AD=，AN=1,所以ND=+１ ∴宽比长=利用平方差公式，分母有理化得，∴矩形MNDE是黄金矩形 师生活动：学生小组合作，证明矩形MNDE是黄金矩形。教师聆听、参加讨论。 设计意图：引导学生通过观察、猜想、证明，这样一个方法证明矩形MNDE是黄金矩形,培养学生的发散思维，并为研究黄金螺线埋下伏笔。 (二)黄金螺线 1.折一折 问题4：矩形BCDE、矩形MNDE都是黄金矩形，那么四边形NCBM是什么图形？ 师生活动：通过师生问答的形式，得出黄金矩形MNDE的宽为边长的正方形。 追问：在黄金矩形BCDE中，你能快速地折出多少个新的黄金矩形？ 图12 师生活动：通过数学推理，师生问答引导学生得出理论上讲可以折出无数个新的黄金矩形。 设计意图：通过黄金矩形中快速折黄金矩形，为下面引出黄金螺线作铺垫。 2.画一画 问题5：将这些正方形内的四分之一圆弧连接起来，你会发现什么新的图形？ 图13 师生活动：学生动手操作及画图，得出新的图形是一条平滑的螺线，即黄金螺线。教师观察引导。 设计意图：通过观察、猜想、证明，并通过学生动手操作，画出黄金螺线，引出其定义，培养学生几何直观、数学推理。 图13 黄金螺线在现实生活中非常常见，如建筑物的楼梯，拍照时的构图，大到宇宙中的银河，超级台风的台风眼，小到海螺，花、草的生长情况，所以黄金螺线又被称为生长螺线。 3.小练习——画一条黄金螺线 师生活动：学生实践操作，教师观察、指导。 设计意图：学生通过以自主探究、合作学习为主的课堂小练习，运用数学知识，动手操作，选取最佳方案，并能验证其正确性。 4.找原理 折边用到的数学知识有： 矩形的性质及判定，直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的定义、平行线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的性质及判定…… 折边学到的思想方法有： 勾股定理是折边问题的关键 折边问题可以转化为特殊四边形，特殊三角形的知识和方法来解决。 数形结合的思想，转化的思想 师生活动：师生共同讨论，归纳总结，要折出自己想要的边的方法、规律。 设计意图：通过阶段性小结，得出折边的方法规律。 课堂小结 纸活动的基本思路： １.折纸活动的研究内容是什么？ ２.折纸活动的研究步骤是什么？ ３.折纸活动的研究方法是什么？ 师生活动：通过师生之间讨论、交流，教师要引导学生进行课堂小结。 （本堂课通过研究折角、折边，对特殊四边形、特殊三角形的相关知识，作了一个深入的回顾、复习、应用，现在我想请大家说说，你们有什么新的收获。 折纸活动的基本思路： 我们从研究的内容看：我们研究了四边形与三角形之间的角、边的关系（重点讲了对折将角平分成2n等份，黄金矩形、黄金螺线） 我们从研究的步骤看：先折纸，再证明，后应用 我们从研究的方法看：转化的思想、数形结合的思想） 设计意图：通过小结的形式，引导学生得出数学活动——折纸的研究内容、步骤、方法，这是几何研究的基本思路，也是本章平行四边形研究的基本思路。 四、布置作业 同学们，传统文化源远流长传承不息，我们对折纸的探索也永不停息。这是我们今天的作业： 作业： 1.探究黄金三角形； 2.你还能折出新的作品并说明这样折的道理吗？ 师生活动：教师布置作业，学生聆听。 设计意图：给学生更大的研究空间，希望学生传承折纸、剪纸文化，继续深挖折纸背后数学原理。
课程基本信息
学科 数学 年级 八年级 学期 春季
课题 数学活动：探折纸，找原理
教学目标
1. 经历折出60°，30°，15°的角，会用折角的原理及方法。 2.了解黄金矩形、黄金螺线的定义及它在生活中的应用，会用折边的原理及方法。 3.通过折纸活动，加深对轴对称、全等三角形、特殊的三角形、四边形等知识的认识，积累数学活动经验，发展学生的空间观念，建立几何直观，发展数学推理和运算能力。
教学内容
教学重点： 1. 会折自己想要的角、边，认识黄金矩形、黄金螺线。
2. 掌握折纸的数学原理、方法。
教学难点： 1. 制作黄金矩形、画出黄金螺线。
2. 掌握折纸的数学原理、方法。
教学过程
引言： 图１ 折纸剪纸是我国一项传统的民间艺术，承载着我们童年的记忆。每逢春节、婚庆时，贴窗花、帖喜字是我们常见的一种民俗活动，被称为中华第一灯的仙居县针刺无骨花灯、不断创新的临海市张秀娟剪纸，成为浙江非遗文化传承中璀璨的明珠。它是中华民族伟大复兴中文化自信的生动体现。 同学们，今天让我们用数学的眼光来看一看折纸，在折纸探研的过程中，利用我们学过的特殊四边形、特殊三角形的边、角、对角线的性质和判定，寻找折纸背后的数学原理。 师生活动：教师讲解，学生倾听。 设计意图：从文化传承的角度出发，认识折纸剪纸；从学生生活出发，感受折纸文化；从民族复兴、文化自信出发，感受中国传统文化的博大精深；从折纸与数学的联系出发，旨在引导学生会用数学的眼光看世界。 一、探折角、找原理 １.折一折 问题1:利用矩形纸片，你能折出45°角吗？并说明理由。 图２ 师生活动：学生试着去折，小组交流、总结。教师总结强调对折操作：点A落在矩形的另一边上，直角被平分成相等的两个角。 设计意图：从学生熟悉的生活体验出发，感知数学知识。 追问: 回顾你折出45°角的思考过程。 师生活动：各小组代表讲解思考过程，教师作好引导。根据矩形的性质，它的四个角都是直角，而45°是直角的一半，所以我们将折45°角转化为折出90°角的角平分线来处理。教师总结强调我们发现转化是一种重要的数学方法 设计意图：通过学生熟悉的直角对折得出45°，让学生回忆思考过程，引出对折问题一般转化为折角平分线的问题。 问题2 ：利用矩形纸片，你能折出60°,30°,15°的角吗？ 师生活动：通过学生自主探究，动手去折。教师观察、引导、参与讨论。 设计意图：通过学生自主探究，小组之间的讨论，找到想要折出的角的基本思路，然后动手折角，并验证正确性。 追问1:说说你是如何折出60°角的？ 图3 师生活动：让学生讲解60°角的折纸过程，体会对折，会产生相等的边。利用等边三角形的判定、性质（三线合一），垂直平分线的性质，获得我们想要的角。 若学生从“在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半”这个性质考虑边之间的关系，先推出30°也可。 设计意图：通过60°典型角的折叠，让学生体会、得出折出想要角的思考、折叠过程，并能类比到其他角的折出。 追问2:说说你是如何折出30°，15°角？ 师生活动：学生讲解，讨论。 设计意图：通过60°,30°,15°的折叠，让学生体会、得出对折是两等分一个角。 ２.找原理 问题3:利用矩形是轴对称图形，折45°、60°、30°、15°角，我们发现了什么原理？ 师生活动：通过学生小组之间的探讨、归纳，总结，得出：对折可以平分一个角，还可以把一个角分成2n 等份，同时通过角的和差得到相关的度数. 设计意图：要学生通过合作学习，得出折角主要的方法和规律。 问题4:回顾折角的过程中，你们用了哪些数学知识？ 师生活动：通过小组合作讨论得出折角用到的数学知识，如：正方形和矩形的性质及判定、直角三角形的性质、勾股定理、角平分线、、等边三角形的性质…… 设计意图：通过小组合作，让学生实践联系理论，深挖折角背后的数学原理。 追问1:你觉得折角问题解决的思路是什么？ 师生活动：通过小组合作总结得出：折角问题往往转化为特殊四边形、特殊三角形的知识来解决。 设计意图：通过小组合作，总结出：折角问题，我们该如何去设计折角的步骤，并折出我们想要的角。 3.小练习－你能折出你想要的角吗？ 师生活动：学生实践操作，教师观察、指导。 设计意图：学生通过以自主探究、合作学习为主的课堂小练习，运用数学知识，设计折角的方案，并能验证其正确性。 二、探折角、找原理 (一)黄金螺线 图4：巴特农神庙 古希腊巴特农神庙，呈现出了非常舒服、非常和谐的矩形美，通过测量，我们发现它的宽和长的比是 （约为0.618）．这就是黄金矩形。黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计。 图5：黄金矩形的应用 师生活动：教师介绍（被评选为"世界新七大奇迹"的印度泰姬陵，它的设计处处体现了黄金矩形的设计风格。再比如说张秀娟老师的虎年作品，也体现了黄金矩形的设计理念。而达芬奇的不朽名著《蒙娜丽莎》，其构图更是黄金矩形的完美展示。黄金矩形，也是发型师打造个人发型的精准依据。），学生对照课本学习。 设计意图：通过丰富多彩的生活应用，进一步了解黄金矩形的定义。 1.折一折（黄金矩形） 问题1：利用矩形纸片，你能折出黄金矩形吗？说说你的折纸思路？ 师生活动：学生思考折纸思路。教师提示学生，可以通过阅读课本，了解折黄金矩形的方案，引导学生讨论得出折黄金矩形的关键点。 设计意图：通过阅读课本，了解折黄金矩形的步骤，引导学生讨论得出折黄金矩形的关键点，如何折出，结合矩形纸条，我们可以将其转化为两直角边为1和2的直角三角形的斜边，并点出折黄金矩形每一步的主要目的。 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用下图的方法折出一个正方形，然后把纸片展平。 图6 点明：利用轴对称构建正方形。 第二步：如下图，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平； 图7 点明：利用轴对称构建了长宽为两倍关系的矩形。 第三步：折出内侧矩形的对角线AB，并把AB 折到下AD 处； 图8 点明：利用轴对称构建了关键直角三角形的斜边和黄金矩形的关键边。 第四步：展平纸片，按照所得的点D 折出DE，得到矩形BCDE就是黄金矩形。 图9 点明：利用矩形的判定画出了黄金矩形。 2.探原理 问题2: 这样折出的矩形BCDE是黄金矩形吗？也就是说，宽CD与长BC 的比值是否为 ？ 图10 解题思路：假设矩形纸条的宽为２，则BC=2, 那么AC=1,根据勾股定理可得AB=。由对折可得AD=AB=,CD=AD-AC=－１，得到 。 师生活动：学生小组合作，证明矩形BCDE是黄金矩形。教师聆听、参加讨论。 设计意图：引导学生通过观察、猜想、证明，这样一个方法证明矩形BCDE是黄金矩形。 问题3: 矩形MNDE是黄金矩形吗？请说明理由． 图11 解题思路：由上题可知：NM=2，AB=AD=，AN=1,所以ND=+１ ∴宽比长=利用平方差公式，分母有理化得，∴矩形MNDE是黄金矩形 师生活动：学生小组合作，证明矩形MNDE是黄金矩形。教师聆听、参加讨论。 设计意图：引导学生通过观察、猜想、证明，这样一个方法证明矩形MNDE是黄金矩形,培养学生的发散思维，并为研究黄金螺线埋下伏笔。 (二)黄金螺线 1.折一折 问题4：矩形BCDE、矩形MNDE都是黄金矩形，那么四边形NCBM是什么图形？ 师生活动：通过师生问答的形式，得出黄金矩形MNDE的宽为边长的正方形。 追问：在黄金矩形BCDE中，你能快速地折出多少个新的黄金矩形？ 图12 师生活动：通过数学推理，师生问答引导学生得出理论上讲可以折出无数个新的黄金矩形。 设计意图：通过黄金矩形中快速折黄金矩形，为下面引出黄金螺线作铺垫。 2.画一画 问题5：将这些正方形内的四分之一圆弧连接起来，你会发现什么新的图形？ 图13 师生活动：学生动手操作及画图，得出新的图形是一条平滑的螺线，即黄金螺线。教师观察引导。 设计意图：通过观察、猜想、证明，并通过学生动手操作，画出黄金螺线，引出其定义，培养学生几何直观、数学推理。 图13 黄金螺线在现实生活中非常常见，如建筑物的楼梯，拍照时的构图，大到宇宙中的银河，超级台风的台风眼，小到海螺，花、草的生长情况，所以黄金螺线又被称为生长螺线。 3.小练习——画一条黄金螺线 师生活动：学生实践操作，教师观察、指导。 设计意图：学生通过以自主探究、合作学习为主的课堂小练习，运用数学知识，动手操作，选取最佳方案，并能验证其正确性。 4.找原理 折边用到的数学知识有： 矩形的性质及判定，直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的定义、平行线的性质、等边三角形的性质、全等三角形的性质及判定…… 折边学到的思想方法有： 勾股定理是折边问题的关键 折边问题可以转化为特殊四边形，特殊三角形的知识和方法来解决。 数形结合的思想，转化的思想 师生活动：师生共同讨论，归纳总结，要折出自己想要的边的方法、规律。 设计意图：通过阶段性小结，得出折边的方法规律。 课堂小结 纸活动的基本思路： １.折纸活动的研究内容是什么？ ２.折纸活动的研究步骤是什么？ ３.折纸活动的研究方法是什么？ 师生活动：通过师生之间讨论、交流，教师要引导学生进行课堂小结。 （本堂课通过研究折角、折边，对特殊四边形、特殊三角形的相关知识，作了一个深入的回顾、复习、应用，现在我想请大家说说，你们有什么新的收获。 折纸活动的基本思路： 我们从研究的内容看：我们研究了四边形与三角形之间的角、边的关系（重点讲了对折将角平分成2n等份，黄金矩形、黄金螺线） 我们从研究的步骤看：先折纸，再证明，后应用 我们从研究的方法看：转化的思想、数形结合的思想） 设计意图：通过小结的形式，引导学生得出数学活动——折纸的研究内容、步骤、方法，这是几何研究的基本思路，也是本章平行四边形研究的基本思路。 四、布置作业 同学们，传统文化源远流长传承不息，我们对折纸的探索也永不停息。这是我们今天的作业： 作业： 1.探究黄金三角形； 2.你还能折出新的作品并说明这样折的道理吗？ 师生活动：教师布置作业，学生聆听。 设计意图：给学生更大的研究空间，希望学生传承折纸、剪纸文化，继续深挖折纸背后数学原理。