数学人教A版（2019）必修第二册8.5.2直线与平面平行（共24张ppt）

(共24张PPT)
8.5 空间直线、平面的平行
第八章 立体几何初步
8.5.2 直线与平面的平行
一
二
三
学习目标
通过动手实践直观感知直线与平面平行的特点
通过直观感知归纳直线与平面平行的判定定理
能够利用判定定理证明直线与平面平行
学习目标
位置关系
公 共 点
符号表示
图形表示
有无数个公共点
有且只有一个公共点
没有公共点
直线与平面的位置关系有几种？ 以什么作为划分的标准？
复习回顾
如何判定直线与平面平行？
根据定义，只需判定直线与平面有没有公共点.
利用定义判断直线与平面平行容易吗？
你能想到更简单的判断方法吗？
直观感知
观察1 门扇的两边是平行的. 当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗 此时门扇转动的一边与墙面平行吗
a
b
α
没有公共点，因此平行
在门扇的旋转过程中:
直线a在门框所在的平面α外
直线b在门框所在的平面α内
直线a与b始终是平行的
推出：直线a与平面α平行
追问 若将门扇再次关上，门扇转动的一边与墙面平行吗？
不平行
直观感知
观察2 将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上，把这块纸板绕边DC转动，在转动的过程中（AB离开桌面），DC的对边AB与桌面有公共点吗？边AB与桌面平行吗？
硬纸板的边AB与CD平行，只要DC紧贴着桌面，边AB转动时就不可能与桌面有公共点 , 所以它与桌面平行.
两个实验告诉我们一个现象，就是平面外的一条直线不管怎么移动，只要保证直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线就不会与平面有公共点，即直线与平面平行，这就是直线与平面平行的判定定理.
概念生成
直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
用符号表示：
a与b平行，即a∥b(平行)
b在平面 内，即b
(面内)
(面外)
a在平面 外，即a
注意：使用定理时，必须具备三个条件：
a
b
α
简述为：线线平行 线面平行
空间问题
平面问题
新知讲解
直线与平面平行的判定定理是证明直线与平面平行的依据.
定理告诉我们，可以通过直线间的平行，可以得到直线与平面平行. 这是处理空间位置关系的一种常用方法.定理的实质就是将直线与平面的平行关系(空间问题)转化为直线间的平行关系(平面问题).即
线线平行
线面平行
这一定理在现实生活中有许多应用.
例如，安装矩形镜子时，为了使镜子上的上边框与天花板平行，只需镜子的上边框与天花板和墙面的交线平行，就是应用了这个判定定理.
你还能举出其它一些应用实例吗？
a
b
a
b
p
A
问题 能否证明直线与平面平行的判定定理？
证明：
反证法
c
已知：
求证：
新知探究
巩固练习
课本P138
平面A'B'C'D'
平面CDD'C'
1. 如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，
(1) 与AB平行的平面是_________________________；
(2) 与AA'平行的平面是________________________；
(3) 与AD平行的平面是_________________________.
平面BCC′B'
平面CDD'C'
平面A'B'C'D'
平面BCC′B'
典例解析
例2 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.
已知：空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点.
求证：EF//平面BCD.
B
C
A
D
E
F
证明：
今后要证明一条直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条与此直线平行的直线就可以了.
巩固练习
课本P138
2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由.
C1
C
B
A
B1
D
A1
D1
E
O
解：
BD1//平面AEC. 理由如下：
连接BD，交AC于点O，连接EO.
∵点E，O分别是DD1，DB的中点，
∴BD1//EO，
∴BD1//平面AEC.
又BD1 平面AEC，BD1 平面AEC，
巩固练习
3. 四棱锥S—ABCDE中，O为底面正方形ABCD对角线的交点, M为SC的中点. 求证: SA//平面BDM.
S
A
B
D
M
O
C
4. 如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点. 求证：MN∥平面PAD
G
证明：
巩固练习
巩固练习
5. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.
证明:　连接BC1，
在△BCC1中，
∵E，F分别为BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，
又∵AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，
∴四边形ABC1D1是平行四边形，
∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1，又EF 平面AD1G，
AD1 平面AD1G，∴EF∥平面AD1G.
新知讲解
刚才，我们利用平面内的直线与平面外的直线平行，得到了判定平面外的直线与此平面平行的方法，即得到了一条直线与平面平行的充分条件.
反过来，如果一条直线与一个平面平行，能推出哪些结论呢
这就是要研究直线与平面平行的性质，也就是研究直线与平面平行的必要条件.
接下来我们就来研究在直线a平行于平面α的条件下，直线a与平面α内的直线有何位置关系.
新知探究
问题1 (1)如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？
a
α
平行
异面
(2)什么条件下，平面 内的直线与直线a平行呢？
b
c
假设a与α内的直线b平行，那么由基本事实的推论3 , 过直线a、 b有唯一的平面β.
这样，我们可以把直线b 看成是过直线a的平面β与平面α的交线 . 于是可得如下结论：
过直线a的平面β与平面α相交于b，则a//b.
下面，我们来证明这一结论.
新知探究
α
a
b
β
证明：
如图示，已知a//α，a β， α∩β=b. 求证：a//b.
∵α∩β=b，
∴b α.
又a//α，
∴a与b没有公共点.
又a β， b β，
∴a//b.
这样，我们就得到了直线与平面平行的性质定理：
概念生成
直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
b
a


符号语言：
该定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行.即
线线平行
线面平行
作用：
判定直线与直线平行的重要依据。
关键：
寻找平面与平面的交线。
典例解析
例3 如右图的一块木料中，棱BC平行面A'C'.
(1) 要经过面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开, 在木料表面应该怎样画线
(2) 所画的线与平面AC是什么位置关系
分析：经过木料表面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，实际上是经过BC及BC外一点P作截面，也就是找出平面与平面的交线. 我们可以由直线与平面平行的性质定理、基本事实4和推论1作出.
过点P作直线EF，使EF//B'C'，
棱A'B'、C'D'于点E、F，
连结BE、CF，
F
P
B
C
A
D
A'
B'
C'
D'
E
解：
⑴如图，在平面A'C'内，
则EF、BE、CF为应画的线．
分别交
典例解析
例3 如右图的一块木料中，棱BC平行面A'C'.
(1) 要经过面A'C'内的一点P和棱BC将木料锯开, 在木料表面应该怎样画线
(2) 所画的线与平面AC是什么位置关系
F
P
B
C
A
D
A'
B'
C'
D'
E
（2）因为棱BC∥平面A'C'，
BE，CF显然都与平面AC相交.
面BC'∩面A'C'=B'C'，
所以 BC∥B'C'.
由(1)知，EF∥B'C'，
所以EF∥BC,
线面平行
线线平行
线面平行
巩固练习
课本P138
证明：
4. 如图，α∩β=a，b α，c β，b//c，求证：a//b//c.
O
典例解析
【例】 如图，P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过点G和AP作平面，交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH.
AP 平面PAHG，∴AP∥GH.
证明：如图，连接AC交BD于点O，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点O是AC的中点．
又∵点M是PC的中点，∴AP∥OM.
又∵AP 平面BDM，OM 平面BDM，
∴AP∥平面BDM.
又∵平面PAHG∩平面BDM＝GH，
新知应用
如图，在长方体 中，点 不与 ， 重合 ，
， ，求证： 平面 .
证明 如图，连接 ， .
在长方体 中， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面A1BC1
∵ 平面 ，平面 平面 ，
∴ .
又 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
线线平行
线面平行
线线平行
线面平行
（1）直线与平面平行的判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
（2）直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行.
课堂小结
本节课你学会了哪些主要内容？