高二数学答案
1．B
【分析】根据平均变化率的定义直接求解即可.
【详解】函数从1到的平均变化率为
.故选：B
2．D
【分析】根据导数的几何意义，即可求解.
【详解】由函数，得，
则，，
所以曲线在处的切线方程为，即.故选：D
3．C
【分析】根据题意，求导代入计算，即可得到结果.
【详解】，所以米/秒.故选:C.
4．A
【分析】利用基本初等函数的导数公式逐个判断选项即可.
【详解】由基本初等函数的导数公式得，，
，，显然A正确.故选：A
5．A
【分析】根据函数解析式求出导函数，再令，计算出，由此可得，计算即可.
【详解】因为，所以，
所以，解得，由此可知，
所以.故选：A
6．A
【分析】求出函数的导数，代入求值，即得答案.
【详解】由，得，
故，故选：A
7．A
【分析】求导，得到函数的单调性，从而得到函数的最值，得到值域.
【详解】由题意得，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，故，
因为，所以．
故所求的值域为．故选：A
8．B
【分析】
求出新墙总长度的表达式，利用导数判断其单调性，确定最小值点，即可求得答案.
【详解】
如图所示，设场地一边长为xm，则另一边长为m，
因此新墙总长度，则，
令，得或(舍去)，
当时，，当时，，
则L在上单调递减，在上单调递增，
∴是L的最小值点，此时，
故当堆料场的宽为16 m，长为32 m时，可使砌墙所用的材料最省.故选：B
9．BC
【分析】求导，得到，进而得到函数解析式及导函数解析式，代入求值，得到答案.
【详解】A选项，由题意得，令，
解得，A错误；
BCD选项，，
所以，BC正确，D错误.故选：BC
10．BC
【分析】直接利用导数的四则运算即可判断.
【详解】因为，故A不正确；
因为，故B正确；
因为，故C正确；
因为，故D不正确；故选：BC.
11．AD
【分析】结合的图象，分析的取值情况，即可得到的单调性与极值点.
【详解】由图可知当时，所以，
当时，所以，
当时，所以，
当时，所以，
所以在上为增函数，在上为减函数，在上为减函数，
在上为增函数，故A正确，B错误，
则在处取得极大值，处取得极小值，
即函数有极大值和极小值，故C错误，D正确.故选：AD
12．5
【分析】根据导数的几何意义求解，根据切点在曲线也在直线上求解．
【详解】因为函数在处的切线斜率为，又在处的切线方程为，
所以，因为函数在处的切点为，且切点也在切线上，
所以． .故答案为：5
13．
【分析】利用“新驻点”的定义即可求解.
【详解】因为，所以，
令，即，得，
因为，解得，
所以，函数在上的“新驻点”为．故答案为：．
14．/1.5
【分析】
列出利润关于投资B商品x千元的函数，利用导数判断函数的单调性，再求函数的最大值及对应的x的值.
【详解】设投入经销B商品x千元，则投入经销A商品的资金为千元，所获得的收益千元，
则，
可得，
当时，可得，函数单调递增；
当时，可得，函数单调递减；
所以当时，函数取得最大值，最大值为.故答案为：
15．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据基本函数的导数公式及导数的运算法则求解即可.
【详解】（1）；
（2）；
（3）令，
令，
则；
（4）.
16．(1)；
(2)．
【分析】（1）将代入的表达式即可解出，从而得到的解析式；
（2）由导数的定义可知所求直线为经过点且斜率为的直线，然后将点斜式方程化为一般式即可.
【详解】（1）由，得，
又，所以，解得，即．
（2）由（1），得，，
所以，即切点为，
又切线的斜率为，
所以函数的图象在点处的切线方程为，
即．
17．(1)
(2)
【分析】（1）求导，然后根据导数的几何意义结合条件即得；
（2）设曲线与曲线的公切点为，然后根据导数的几何意义可得切点，进而即得.
【详解】（1），，.
在点处的切线方程为：；
（2）设曲线与曲线的公切点为，
，，
令，即，
或（舍），
，
∴所求公切线方程：，即.
18．(1)
(2)单调递增区间为和，单调递减区间为
【分析】（1）利用导数几何意义即可求得函数在处的切线方程；
（2）利用导数即可求得函数的单调区间．
【详解】（1），定义域，
函数在处的切线方程为即
（2）由可得，解之得 或
由可得 ，解之得
所以的单调递增区间为和；
单调递减区间为
19．(1)
(2)
【分析】（1）设圆柱的半径为，高为，由题意得，用表示，计算圆柱的侧面积，利用基本不等式求出侧面积的最大值．
（2）写出圆柱的体积解析式，利用导数求出圆柱体的最大体积．
【详解】（1）设圆柱的半径为，高为，
则由题意可得，解得，
所以圆柱的侧面积为，，
因为，
当且仅当，即时取“”，所以圆柱的侧面积最大值为．
（2）圆柱的体积为，
求导，得，
令，解得或（不合题意，舍去），
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
当时，取最大值，
所以圆柱体的最大体积为．(
1
)2023~2024学年度第二学期期中考试
高二数学试题
姓名： 分数：
卷I（选择题）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。）
1．已知函数，则从1到的平均变化率为（ ）
A．2 B． C． D．
2．曲线在处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．一个质点做直线运动，其位移（单位：米）与时间（单位：秒）满足关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（ ）
A．10米/秒 B．8米/秒 C．6米/秒 D．12米/秒
4．下列导数运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，则（ ）
A．3 B．2 C． D．1
6．若，则（ ）
A． B． C． D．
7．函数在上的值域为（ ）
A． B． C． D．
8．某工厂需要建一个面积为的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，则要使砌墙所用材料最省，则堆料场的长和宽各为（ ）
A．16 m，16m B．32m，16m
C．32 m，8m D．16m，8m
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。未全对给3分，全对6分。）
9．若函数的导函数为，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．下列求导运算正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
11．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数在上为增函数 B．函数在上为增函数
C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值
卷II（非选择题，共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。）
12．已知函数在处的切线方程为，求 ．
13．已知函数的导函数为，定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”设，则在区间上的“新驻点”为 ．
14．某个体户计划同时销售A，B两种商品，当投资额为x千元时，在销售A，B商品中所获收益分别为千元与千元，其中，，如果该个体户准备共投入5千元销售A，B两种商品，为使总收益最大，则B商品需投 千元．
四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15题13分；16-17题15分；18-19题17分）
15．求下列函数的导数.（需有答题过程）
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
16．已知函数（），且．
(1)求的解析式；
(2)求函数的图象在点处的切线方程．
17．已知函数与函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求曲线与曲线在公共点处的公切线方程．
18．已知函数．
(1)求函数在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间．
19．高二学农期间，某高中组织学生到工厂进行实践劳动.在设计劳动中，某学生欲将一个底面半径为，高为的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内.
(1)求该圆柱的侧面积的最大值；
(2)求该圆柱的体积的最大值.
