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第四单元 因式分解达标测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．2x﹣4y＝2（x﹣2y）
C．x2﹣x+1＝x（x﹣1）+1 D．6x2y3＝2x2 3y3
【答案】B
【解答】解：A．等式从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．等式从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．等式从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．分解因式x2﹣4y2的结果是（ ）
A．（x+2y）（x﹣2y） B．2（x+y）（x﹣y）
C．（x+4y）（x﹣4y） D．4（x+y）（x﹣y）
【答案】A
【解答】解：x2﹣4y2＝（x﹣2y）（x+2y）．
故选：A．
3．如图，已知R＝6.75，r＝3.25，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）（ ）
A．3.5π B．12.25π C．27π D．35π
【答案】D
【解答】解：πR2﹣πr2，
＝π（6.752﹣3.252），
＝π（6.75+3.25）（6.75﹣3.25），
＝35π．
故选：D．
4．三角形的面积是12a3﹣6ab+3a2，它的一条高是3a，这条高对应的底边长是（ ）
A．8a2﹣4b+2a B．a2+2b﹣4a C．a2﹣2b+4a D．4a2﹣2b+a
【答案】A
【解答】解：∵三角形的面积是12a3﹣6ab+3a2，它的一条高是3a，
∴这条高对应的底边长＝2×（12a3﹣6ab+3a2）÷3a＝8a2﹣4b+2a，
故选：A．
5．单项式6a3b与9a2b3的公因式是（ ）
A．a2b B．3a3b3 C．3a2b D．18a3b3
【答案】C
【解答】解：单项式6a3b与9a2b3的公因式是3a2b．
故选：C．
6．下列多项式能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+4 B．x2﹣1 C．x+9 D．x2﹣6x
【答案】B
【解答】解：由平方差公式的结构特征可知，x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）可利用平方差公式，
故选：B．
7．若多项式x2+mx+36因式分解的结果是（x﹣2）（x﹣18），则m的值是（ ）
A．﹣20 B．﹣16 C．16 D．20
【答案】A
【解答】解：x2+mx+36＝（x﹣2）（x﹣18）＝x2﹣20x+36，
可得m＝﹣20，
故选：A．
8．如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为（ ）
A．15 B．30 C．60 D．78
【答案】D
【解答】解：根据题意得：a+b＝5，ab＝6，
则a3b+ab3＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]＝6×（52﹣2×6）＝6×13＝78．
故选：D．
9．已知a，b，c是△ABC的三条边，且满足a2﹣b2＝c（a﹣b），则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
【答案】D
【解答】解：∵a2﹣b2＝c（a﹣b），
∴a2﹣b2﹣c（a﹣b）＝0，
即（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
则（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，
∵a+b﹣c＞0，
∴a﹣b＝0，
则a＝b，
那么该三角形为等腰三角形，
故选：D．
10．若a+x2＝2020，b+x2＝2021，c+x2＝2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解答】解：由题意可知，
2020﹣a＝2021﹣b＝2022﹣c，
∴a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，
原式＝2×（a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca）×
＝[（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]×
＝（1+4+1）×
＝3．
故选：D．
二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．分解因式：y2﹣2y＝ y（y﹣2） ．
【答案】y（y﹣2）．
【解答】解：原式＝y（y﹣2）．
故答案为：y（y﹣2）．
12．整式x2﹣1与x2+x的公因式是 x+1 ．
【答案】x+1．
【解答】解：∵x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），x2+x＝x（x+1），
∴整式x2﹣1与x2+x的公因式是x+1，
故答案为：x+1．
13．如果多项式ax2+by2只能因式分解为（3x+2y）（3x﹣2y），则ab＝ ﹣36 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据题意可得，
ax2+by2＝（3x+2y）（3x﹣2y），
ax2+by2＝9x2﹣4y2，
∴a＝9，b＝﹣4，
∴ab＝9×（﹣4）＝﹣36．
故答案为：﹣36．
14．若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+2）2﹣（b﹣2）2的值为 20 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a+b＝4，a﹣b＝1
∴（a+2）2﹣（b﹣2）2＝[（a+2）+（b﹣2）][（a+2）﹣（b﹣2）]＝（a+b）（a﹣b+4）＝4×（1+4）＝20
故答案为：20
15．把x2+5x+c分解因式，得（x+2）（x+3），则c的值＝ 6 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（x+2）（x+3），
＝x2+2x+3x+6，
＝x2+5x+6，
又x2+5x+6＝（x+2）（x+3），
所以c＝6．
16．对于任何整数a，多项式（a+2）2﹣a2都能被整数 4或2 整除．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（a+2）2﹣a2，
＝（a+2+a）（a+2﹣a），
＝4（a+1），
所以多项式（a+2）2﹣a2都能被整数4或2整除．
三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）因式分解：
（1）a（x﹣y）+b（y﹣x）；
（2）x3﹣25x．
【答案】（1）（x﹣y）（a﹣b）；
（2）x（x+5）（x﹣5）．
【解答】解：（1）原式＝a（x﹣y）﹣b（x﹣y）
＝（x﹣y）（a﹣b）；
（2）原式＝x（x2﹣25）
＝x（x+5）（x﹣5）．
18．（8分）分解因式：
（1）a（x﹣y）﹣16（x﹣y）；
（2）﹣x2+4xy﹣4y2．
【答案】（1）（x﹣y）（a﹣16）；
（2）﹣（x﹣2y）2．
【解答】解：（1）原式＝（x﹣y）（a﹣16）；
（2）原式＝﹣（x2﹣4xy+4y2）
＝﹣（x﹣2y）2．
19．（8分）如图，用一张如图甲的正方形纸片、三张如图乙的长方形纸片、两张如图丙的正方形纸片拼成一个长方形（如图丁）．
（1）请用不同的式子表示图丁的面积（写出两种即可）；
（2）根据（1）所得结果，写出一个表示因式分解的等式．
【答案】（1）①S＝x2+3xy+2y2，②S＝x（x+y）+2y（x+y）；
（2）x2+3xy+2y2＝（x+y）（x+2y）．
【解答】解：（1）①S＝x2+3xy+2y2，
②S＝x（x+y）+2y（x+y）；
（2）x2+3xy+2y2＝（x+y）（x+2y）．
20．（8分）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式x2+bx+c（b、c为常数）写成（x+h）2+k（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
【知识理解】：
（1）若多项式x2+kx+4是一个完全平方式，那么常数k的值为 ±4 ；
（2）配方：x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣ 10 ；
【知识运用】：
（3）已知m2+2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．
【答案】（1）±4；
（2）10；
（3）m＝﹣4，n＝4．
【解答】解：（1）若多项式x2+kx+4是一个完全平方式，
那么kx＝±2x×2，
∴k＝±4，
故答案为：±4；
（2）x2﹣4x﹣6
＝x2﹣4x+4﹣4﹣6
＝（x﹣2）2﹣10，
故答案为：10；
（3）∵m2+2mn+2n2﹣8n+16＝0，
∴（m2+2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0，
∴（m+n）2+（n﹣4）2＝0，
∴m+n＝0，n﹣4＝0，
∴m＝﹣4，n＝4．
21．（10分）阅读理解学习：
将多项式x2+2x﹣15分解因式得x2+2x﹣15＝（x﹣3）（x+5），说明多项式x2+2x﹣15有一个因式为x﹣3，还可知，当x﹣3＝0时x2+2x﹣15＝0．
请你学习上述阅读材料解答以下问题：
（1）若多项式x2+kx﹣8有一个因式为x﹣4，求k的值；
（2）若x+2，x﹣1是多项式2x3+ax2+5x+b的两个因式，求a，b的值．
【答案】（1）﹣2；
（2）11，﹣18．
【解答】解：（1）∵令x﹣4＝0，即当x＝4时，可有x2+kx﹣8＝0，
∴42+4k﹣8＝0，
解得x＝﹣2；
（2）根据题意，x+2，x﹣1是多项式2x3+ax2+5x+b的两个因式，
令x+2＝0或x﹣1＝0，
即当x＝﹣2或x＝1时，2x3+ax2+5x+b＝0，
∴，
解得．
22．（10分）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法，运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：x2+4x﹣5＝x2+2×2x+22﹣22﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）．
即：x2+4x﹣5＝（x+5）（x﹣1）．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）因式分解：x2﹣2x﹣15；
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最长边c的取值范围；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．
【答案】（1）（x﹣5）（x+3）；
（2）6≤c＜11；
（3）12．
【解答】解：（1）根据题意列式：
∴x2﹣2x﹣15＝x2﹣2x+1﹣1﹣15＝（x﹣1）2﹣16＝（x﹣1﹣4）（x﹣1+4）＝（x﹣5）（x+3），
即：x2﹣2x﹣15＝（x﹣5）（x+3）；
（2）∵a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，
∴a2﹣10a+52+b2﹣12b+62＝0，
即：（a﹣5）2+（b﹣6）2＝0，
∴a＝5，b＝6，
∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴6﹣5＜c＜6+5，即：1＜c＜11，
∵c是△ABC的最长边，
∴6≤c＜11；
（3）∵a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，
∴a2﹣6a+32+b2﹣8b+42+c2﹣10c+52＝0，
即：（a﹣3）2+（b﹣4）2+（c﹣5）2＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∴△ABC的周长为：3+4+5＝12．
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第四单元 因式分解达标测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是（ ）
A．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 B．2x﹣4y＝2（x﹣2y）
C．x2﹣x+1＝x（x﹣1）+1 D．6x2y3＝2x2 3y3
2．分解因式x2﹣4y2的结果是（ ）
A．（x+2y）（x﹣2y） B．2（x+y）（x﹣y）
C．（x+4y）（x﹣4y） D．4（x+y）（x﹣y）
3．如图，已知R＝6.75，r＝3.25，则图中阴影部分的面积为（结果保留π）（ ）
A．3.5π B．12.25π C．27π D．35π
4．三角形的面积是12a3﹣6ab+3a2，它的一条高是3a，这条高对应的底边长是（ ）
A．8a2﹣4b+2a B．a2+2b﹣4a C．a2﹣2b+4a D．4a2﹣2b+a
5．单项式6a3b与9a2b3的公因式是（ ）
A．a2b B．3a3b3 C．3a2b D．18a3b3
6．下列多项式能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+4 B．x2﹣1 C．x+9 D．x2﹣6x
7．若多项式x2+mx+36因式分解的结果是（x﹣2）（x﹣18），则m的值是（ ）
A．﹣20 B．﹣16 C．16 D．20
8．如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为（ ）
A．15 B．30 C．60 D．78
9．已知a，b，c是△ABC的三条边，且满足a2﹣b2＝c（a﹣b），则△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰三角形
10．若a+x2＝2020，b+x2＝2021，c+x2＝2022，则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ca的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．分解因式：y2﹣2y＝ ．
12．整式x2﹣1与x2+x的公因式是 ．
13．如果多项式ax2+by2只能因式分解为（3x+2y）（3x﹣2y），则ab＝ ．
14．若a+b＝4，a﹣b＝1，则（a+2）2﹣（b﹣2）2的值为 ．
15．把x2+5x+c分解因式，得（x+2）（x+3），则c的值＝ ．
16．对于任何整数a，多项式（a+2）2﹣a2都能被整数 整除．
三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）因式分解：
（1）a（x﹣y）+b（y﹣x）；
（2）x3﹣25x．
18．（8分）分解因式：
（1）a（x﹣y）﹣16（x﹣y）；
（2）﹣x2+4xy﹣4y2．
19．（8分）如图，用一张如图甲的正方形纸片、三张如图乙的长方形纸片、两张如图丙的正方形纸片拼成一个长方形（如图丁）．
（1）请用不同的式子表示图丁的面积（写出两种即可）；
（2）根据（1）所得结果，写出一个表示因式分解的等式．
20．（8分）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式x2+bx+c（b、c为常数）写成（x+h）2+k（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
【知识理解】：
（1）若多项式x2+kx+4是一个完全平方式，那么常数k的值为 ；
（2）配方：x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣ ；
【知识运用】：
已知m2+2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m，n的值．
21．（10分）阅读理解学习：
将多项式x2+2x﹣15分解因式得x2+2x﹣15＝（x﹣3）（x+5），说明多项式x2+2x﹣15有一个因式为x﹣3，还可知，当x﹣3＝0时x2+2x﹣15＝0．
请你学习上述阅读材料解答以下问题：
（1）若多项式x2+kx﹣8有一个因式为x﹣4，求k的值；
（2）若x+2，x﹣1是多项式2x3+ax2+5x+b的两个因式，求a，b的值．
22．（10分）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做配方法，运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．
例如：x2+4x﹣5＝x2+2×2x+22﹣22﹣5＝（x+2）2﹣9＝（x+2+3）（x+2﹣3）＝（x+5）（x﹣1）．
即：x2+4x﹣5＝（x+5）（x﹣1）．
根据以上材料，解答下列问题：
（1）因式分解：x2﹣2x﹣15；
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2﹣10a﹣12b+61＝0，求△ABC的最长边c的取值范围；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．
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