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第四单元 因式分解能力提升测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．不能确定
2．已知a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1，则满足等式的b的值可以是（ ）
A． B． C． D．﹣2
3．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”，例如：因为24＝72﹣52，所以称24为“完美数”，下面4个数中为“完美数”的是（ ）
A．2020 B．2024 C．2025 D．2026
4．已知m2+n2＝10，mn＝3，则m3n﹣mn3的值为（ ）
A．24 B．12 C．±24 D．±12
5．已知实数满足m2﹣m﹣1＝0，则2m3﹣3m2﹣m+2024＝．（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
6．已知实数n满足n2﹣n+1＝0，则4n3﹣5n2+5n+11的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
7．若a﹣b＝3，x﹣y＝2，则代数式a2﹣2ab+b2﹣x+y+2023的值是（ ）
A．2019 B．2030 C．2024 D．2023
8．小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（ ）
A．a2+2ab+b2＝（a+b）（a+b）
B．a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）
9．已知x，y，z都是正整数，其中x＞y，且x2﹣xz﹣xy+yz＝23，设a＝x﹣z，则[（3a﹣1）（a+2）﹣5a+2]÷a＝（ ）
A．3 B．69 C．3或69 D．2或46
10．在学习了因式分解后，勤奋的琪琪同学通过课余的时间对因式分解的其他方法进行了探究，如：分解因式x2﹣3x﹣4．设x2﹣3x﹣4＝（x+a）（x+b），利用多项式相等得a＝﹣4，b＝1，故x2﹣3x﹣4可分解（x﹣4）（x+1）．此时，我们就说多项式（x2﹣3x﹣4）既能被（x﹣4）整除，也能被（x+1）整除．根据上述操作原理，下列说法正确的个数为（ ）
（1）（x2+3x+2）能被（x+1）整除；
（2）若（x2﹣4x﹣5）能被（x+a）整除，则a＝1或a＝﹣5；
（3）若（x3+ax2+bx﹣3）能被（x2+2x+3）整除，则a＝1，b＝1．
A．0 B．1 C．2 D．3
二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．分解因式：x2y﹣12xy+36y＝ ．
12．已知2a+b＝6，ab＝3，则4a2+b2+1＝ ．
13．利用因式分解计算：（﹣2）101+（﹣2）100+299＝ ．
14．已知a、b是△ABC的两边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是 ．
15．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，5，x2+1，a，x+1，分别对应下列六个字：区，爱，我，数，学，西，现将5a（x2﹣1）﹣5b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是 ．
16．对于任意一个四位正整数m，若各个数位上的数字均不相等，且满足千位数字与十位数字之差等于百位数字与个位数字之差等于3，则称m为“吉安数”，例如：m＝5320，∵5≠3≠2≠0且5﹣2＝3﹣0＝3，∴5320是“吉安数”．若一个正整数a是另外一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数，例如：4＝22，则4为完全平方数．若一个“吉安数”为，则这个数为 ；若m是“吉安数”，记，当f（m）是一个完全平方数时，则满足条件的“吉安数”m的最大值为 ．
三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）定义：任意两个数a、b，按规则c＝a+b+ab运算得到一个新数c，称所得的新数c为a、b的“加乘数”．
（1）若a＝4，b＝﹣3，求a，b的“加乘数”c；
（2）若，a2+b2＝8，求a，b的“加乘数”c．
18．（8分）如图，把一张边长为a厘米的正方形纸片的四角均剪去一个边长为厘米的小正方形，折合成一个无盖的长方体纸盒．
（1）①用含a，b的式子表示纸片（阴影部分）的面积；
②当a＝6.4，b＝1.8时，利用分解因式法计算阴影部分的面积．
（2）当a+2b＝8，ab＝2时，求出纸盒的底面积．
19．（8分）如图，将一个边长为（a+b）的正方形ABCD分割成四部分（边长分别为a，b的正方形、边长为a和b长方形），请认真观察图形，解答下列问题：
（1）请用两种方法分别表示该正方形的面积（用含a、b的代数式表示）① ，② ；由此可以验证一个重要的公式是 ．
（2）若图中a，b满足a2+b2＝39，ab＝5，求（a+b）的值．
（3）若（7+5k）2+（3﹣5k）2＝60，求（7+5k）（3﹣5k）的值．
（4）请利用图形分割的方法将x2+3xy+2y2因式分解并画出相应的图形（标注x，y）．
20．（8分）阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解的解题思路：将“x2﹣2x”看成一个整体，令x2﹣2x＝m，则：原式＝m（m+2）+1＝m2+2m+1＝（m+1）2．再将“m”还原为“x2﹣2x”即可．
解题过程如下：
解：设x2﹣2x＝m，则：原式＝m（m+2）+1＝m2+2m+1＝（m+1）2＝（x2﹣2x+1）2．
问题：
（1）以上解答过程并未彻底分解因式，请你直接写出最后的结果： ；
（2）请你模仿以上方法，将多项式（x2+6x）（x2+6x+18）+81进行因式分解；
（3）换元法在因式分解、解方程、计算中都有广泛应用，请你模仿以上方法尝试计算：．
21．（10分）学习了乘法公式（a+b）2＝a2±2ab+b2后，老师向同学们提出了如下问题：
①将多项式x2+4x+3因式分解；
①x2+4x+3＝x2+4x+4﹣1＝（x+2）2﹣1＝（x+3）（x+1）＝（x+2+1）（x+2﹣1）
②求多项式x2+4x+3的最小值．
②由①，得x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，因为（x+2）2≥0，所以（x+2）2﹣1≥﹣1．所以，当x＝﹣2时，x2+4x+3的值最小，且最小值为﹣1．
请你运用上述方法解决下列问题：
（1）将多项式x2+4x﹣5因式分解；
（2）求多项式m2+8m﹣6的最小值；
（3）若多项式P＝x2﹣x，Q＝x﹣2比较多项式P，Q的大小．
22．（10分）阅读以下文字并解决问题：
对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+6x﹣27，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在x2+6x﹣27中间先加上一项9，使它与x2+6x的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：x2+6x﹣27＝（x2+6x+9）﹣9﹣27＝（x+3）2﹣62＝（x+3+6）（x+3﹣6）＝（x+9）（x﹣3），像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．
（1）利用“配方法”因式分解：x2+4xy﹣5y2．
（2）若a+b＝5，ab＝3，求：
①a2+b2，
②a4+b4的值．
（3）如果a2+2b2+c2﹣2ab﹣6b﹣4c+13＝0，求a+b+c的值．
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第四单元 因式分解能力提升测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
一﹑单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．不能确定
【答案】A
【解答】解：∵ac﹣bc＝﹣a2+2ab﹣b2，
∴a2﹣2ab+b2＝c（b﹣a），
∴（a﹣b）2＝﹣c（a﹣b），
∴（a﹣b）2+c（a﹣b）＝0，
∴（a﹣b）（a﹣b+c）＝0，
∵a，b，c分别是△ABC的三边长，a+c﹣b＞0，
∴a﹣b＝0，即a＝b，
∴△ABC是等腰三角形，
故选：A．
2．已知a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1，则满足等式的b的值可以是（ ）
A． B． C． D．﹣2
【答案】B
【解答】解：∵a2b+2ab+b＝a2﹣a﹣1，
∴b（a2+2a+1）＝a2﹣a﹣1，
∴（a+1）2b＝a2﹣a﹣1，
当a+1＝0时，即a＝﹣1时，
左边＝0，右边＝1，左边≠右边，
∴a＝﹣1舍去．
当a+1≠0时，
b＝
＝
＝1﹣3×+
＝（）2﹣3（）+1
＝（﹣）2﹣≥﹣，
代入选项A、C、D均不合适，
故选：B．
3．如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”，例如：因为24＝72﹣52，所以称24为“完美数”，下面4个数中为“完美数”的是（ ）
A．2020 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】B
【解答】解：∵一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“完美数”，
∴可设这两个连续奇数分别为2n﹣1和2n+1（n为正整数），
∴这个“完美数”为（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，
∴这个“完美数”为8的倍数．
观察各选项可知只有B．2024是8的倍数，
∴这4个数中2024是“完美数”．
故选：B．
4．已知m2+n2＝10，mn＝3，则m3n﹣mn3的值为（ ）
A．24 B．12 C．±24 D．±12
【答案】C
【解答】解：∵m2+n2＝10，mn＝3，
∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝10+6＝16，
（m﹣n）2＝m2+n2﹣2mn＝10﹣6＝4，
∴m+n＝±4，m﹣n＝±2，
∴原式＝mn（m2﹣n2）
＝mn（m+n）（m﹣n）
＝3×（±4）×（±2）
＝±24，
故选：C．
5．已知实数满足m2﹣m﹣1＝0，则2m3﹣3m2﹣m+2024＝．（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】B
【解答】解：∵m2﹣m﹣1＝0，
∴m2﹣m＝1，
∴原式＝2m（m2﹣m）﹣m2﹣m+2024
＝2m﹣m2﹣m+2024
＝﹣（m2﹣m）+2024
＝﹣1+2024
＝2023，
故选：B．
6．已知实数n满足n2﹣n+1＝0，则4n3﹣5n2+5n+11的值为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】A
【解答】解：4n3﹣5n2+5n+11
＝4n3﹣4n2﹣n2+5n+11
＝4n（n2﹣n）﹣n2+5n+11
＝﹣4n﹣n2+5n+11
＝n﹣n2+11
＝﹣（n2﹣n）+11
＝1+11
＝12．
故选：A．
7．若a﹣b＝3，x﹣y＝2，则代数式a2﹣2ab+b2﹣x+y+2023的值是（ ）
A．2019 B．2030 C．2024 D．2023
【答案】B
【解答】解：a2﹣2ab+b2﹣x+y+2023
＝（a﹣b）2﹣（x﹣y）+2023．
∵a﹣b＝3，x﹣y＝2，
∴原式＝32﹣2+2023＝2030．
故选：B．
8．小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（ ）
A．a2+2ab+b2＝（a+b）（a+b）
B．a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）
D．2a2+3ab+b2＝（2a+b）（a+b）
【答案】B
【解答】解：根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形，3个长为b宽为a的长方形和1个边长为a的正方形组成，
∴大长方形的面积为a2+3ab+2b2，
另外大长方形可以看作一般长为（a+2b）宽为（a+b）的长方形组成，
∴大长方形的面积为（a+2b）（a+b），
∴可以得到一个因式分解的等式为a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b），故B正确．
故选：B．
9．已知x，y，z都是正整数，其中x＞y，且x2﹣xz﹣xy+yz＝23，设a＝x﹣z，则[（3a﹣1）（a+2）﹣5a+2]÷a＝（ ）
A．3 B．69 C．3或69 D．2或46
【答案】C
【解答】解：x2﹣xz﹣xy+yz＝23，
x2﹣xz﹣xy+yz＝23，
x（x﹣z）﹣y（x﹣z）＝23，
（x﹣y）（x﹣z）＝23，
∵x＞y，
∴x﹣y＞0，
∵x，y，z都是正整数，
∴x﹣z＝1，x﹣y＝23或x﹣z＝23，x﹣y＝1，
∴a＝x﹣z＝1或23，
[（3a﹣1）（a+2）﹣5a+2]÷a
＝（3a2+6a﹣a﹣2﹣5a+2）÷a
＝3a2÷a
＝3a，
∵a＝x﹣z，
∴[（3a﹣1）（a+2）﹣5a+2]÷a
＝3a
＝3（x﹣z），
当x﹣z＝1时，3a＝3，
当x﹣z＝23时，3a＝69，
∴[（3a﹣1）（a+2）﹣5a+2]÷a＝3或69，
故选：C．
10．在学习了因式分解后，勤奋的琪琪同学通过课余的时间对因式分解的其他方法进行了探究，如：分解因式x2﹣3x﹣4．设x2﹣3x﹣4＝（x+a）（x+b），利用多项式相等得a＝﹣4，b＝1，故x2﹣3x﹣4可分解（x﹣4）（x+1）．此时，我们就说多项式（x2﹣3x﹣4）既能被（x﹣4）整除，也能被（x+1）整除．根据上述操作原理，下列说法正确的个数为（ ）
（1）（x2+3x+2）能被（x+1）整除；
（2）若（x2﹣4x﹣5）能被（x+a）整除，则a＝1或a＝﹣5；
（3）若（x3+ax2+bx﹣3）能被（x2+2x+3）整除，则a＝1，b＝1．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解答】解：因为x2+3x+2＝（x+1）（x+2），
所以（x2+3x+2）能被（x+1）整除．
故（1）正确．
因为x2﹣4x﹣5＝（x+1）（x﹣5），且（x2﹣4x﹣5）能被（x+a）整除，
所以x+1＝x+a或x﹣5＝x+a，
则a＝1或﹣5．
故（2）正确．
因为（x3+ax2+bx﹣3）能被（x2+2x+3）整除，
所以将整式x3+ax2+bx﹣3因式分解后，有一个因式为x2+2x+3，
则令x3+ax2+bx﹣3＝（x+c）（x2+2x+3），
所以x3+ax2+bx﹣3＝x3+（c+2）x2+（2c+3）x+3c，
对比两边系数可知，
，
解得．
故（3）正确．
故选：D．
二﹑填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．分解因式：x2y﹣12xy+36y＝ y（x﹣6）2 ．
【答案】y（x﹣6）2．
【解答】解：x2y﹣12xy+36y＝y（x2﹣12x+36）＝y（x﹣6）2，
故答案为：y（x﹣6）2．
12．已知2a+b＝6，ab＝3，则4a2+b2+1＝ 25 ．
【答案】25．
【解答】解：∵2a+b＝6，ab＝3，
∴原式＝4a2+b2+1
＝（2a）2+b2+1
＝（2a+b）2﹣4ab+1
＝62﹣4×3+1
＝25，
故答案为：25．
13．利用因式分解计算：（﹣2）101+（﹣2）100+299＝ ﹣299 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（﹣2）101+（﹣2）100+299
＝﹣2101+2100+299
＝299（﹣22+2+1）
＝﹣299．
故答案为：﹣299．
14．已知a、b是△ABC的两边，且满足a2﹣b2＝ac﹣bc，则△ABC的形状是 等腰三角形 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵a2﹣b2＝ac﹣bc，
∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0．
∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0．
∵在△ABC中，a+b＞c，
∴a+b﹣c＞0．
∴a﹣b＝0，即a＝b．
∴△ABC是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
15．小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：x﹣1，a﹣b，5，x2+1，a，x+1，分别对应下列六个字：区，爱，我，数，学，西，现将5a（x2﹣1）﹣5b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息可能是 我爱西区 ．
【答案】我爱西区
【解答】解：5a（x2﹣1）﹣5b（x2﹣1）
＝5（x2﹣1）（a﹣b）
＝5（x+1）（x﹣1）（a﹣b），
∵x﹣1，a﹣b，5，x2+1，a，x+1，分别对应下列六个字：
区，爱，我，数，学，西，
∴5a（x2﹣1）﹣5b（x2﹣1）因式分解，结果呈现的密码信息是：
我爱西区
故答案为：我爱西区．
16．对于任意一个四位正整数m，若各个数位上的数字均不相等，且满足千位数字与十位数字之差等于百位数字与个位数字之差等于3，则称m为“吉安数”，例如：m＝5320，∵5≠3≠2≠0且5﹣2＝3﹣0＝3，∴5320是“吉安数”．若一个正整数a是另外一个正整数b的平方，则称正整数a为完全平方数，例如：4＝22，则4为完全平方数．若一个“吉安数”为，则这个数为 6734 ；若m是“吉安数”，记，当f（m）是一个完全平方数时，则满足条件的“吉安数”m的最大值为 9461 ．
【答案】6734，9461．
【解答】解：一个“吉安数为，
∴a﹣3＝7﹣4，
∴a＝6，
故这个数为6734；
∵f（m）是一个完全平方数，
∴设f（m）＝＝x2，x是正整数
∴m＝101x2+1280
当x＝10时，m＝101x2+1280＝11380，
若m是吉安数，是一个四位正整数，
∴不符合题意，应舍去，
当x＝9时，m＝101x2+1280＝9461，
∵9﹣6＝4﹣1＝3，
∴9461是一个“吉安数
故满足条件的“吉安数m的最大值为9461，
故答案为：6734，9461．
三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）定义：任意两个数a、b，按规则c＝a+b+ab运算得到一个新数c，称所得的新数c为a、b的“加乘数”．
（1）若a＝4，b＝﹣3，求a，b的“加乘数”c；
（2）若，a2+b2＝8，求a，b的“加乘数”c．
【答案】（1）﹣18；（2）或﹣．
【解答】解：（1）当a＝4，b＝﹣3时，
c＝4+（﹣3）+2×（﹣3）＝﹣18；
（2）当，a2+b2＝8时，
∵（a+b）2
＝a2+b2+2ab
＝8+1
＝9，
∴a+b＝±3，
∴c＝±3+
∴c＝或﹣．
18．（8分）如图，把一张边长为a厘米的正方形纸片的四角均剪去一个边长为厘米的小正方形，折合成一个无盖的长方体纸盒．
（1）①用含a，b的式子表示纸片（阴影部分）的面积；
②当a＝6.4，b＝1.8时，利用分解因式法计算阴影部分的面积．
（2）当a+2b＝8，ab＝2时，求出纸盒的底面积．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）①由图得：纸片（阴影部分）的面积为（a2﹣4b2）cm2；
②∵a＝6.4，b＝1.8，
∴a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝（6.4+2×1.8）×（6.4﹣2×1.8）＝10×2.8＝28cm2；
（2）∵a+2b＝8，ab＝2，
∴纸盒的底面积为（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2＝（a+2b）2﹣8ab＝82﹣8×2＝48cm2．
19．（8分）如图，将一个边长为（a+b）的正方形ABCD分割成四部分（边长分别为a，b的正方形、边长为a和b长方形），请认真观察图形，解答下列问题：
（1）请用两种方法分别表示该正方形的面积（用含a、b的代数式表示）① （a+b）2 ，② a2+2ab+b2 ；由此可以验证一个重要的公式是 （a+b）2＝a2+2ab+b2 ．
（2）若图中a，b满足a2+b2＝39，ab＝5，求（a+b）的值．
（3）若（7+5k）2+（3﹣5k）2＝60，求（7+5k）（3﹣5k）的值．
（4）请利用图形分割的方法将x2+3xy+2y2因式分解并画出相应的图形（标注x，y）．
【答案】（1）（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）a+b＝7；
（3）（7+5k）（3﹣5k）＝20；
（4）（x+y）（x+2y），画出相应的图形见解析．
【解答】解：（1）该正方形的面积可以表示为（a+b）2，也可以表示为a2+2ab+b2，
由此可以验证一个重要的公式是：（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）∵a2+b2＝39，ab＝5，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝39+10＝49，
∴a+b＝7，（a+b＝﹣7舍去）；
（3）∵2（7+5k）（3﹣5k）＝[（7+5k）+（3﹣5k）]2﹣60，
∴（7+5k）（3﹣5k）＝20；
（4）x2+3xy+2y2＝（x+y）（x+2y）．
画图：
20．（8分）阅读：换元法是一种重要的数学方法，是解决数学问题的有力工具．下面是对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解的解题思路：将“x2﹣2x”看成一个整体，令x2﹣2x＝m，则：原式＝m（m+2）+1＝m2+2m+1＝（m+1）2．再将“m”还原为“x2﹣2x”即可．
解题过程如下：
解：设x2﹣2x＝m，则：原式＝m（m+2）+1＝m2+2m+1＝（m+1）2＝（x2﹣2x+1）2．
问题：
（1）以上解答过程并未彻底分解因式，请你直接写出最后的结果： （x﹣1）4 ；
（2）请你模仿以上方法，将多项式（x2+6x）（x2+6x+18）+81进行因式分解；
（3）换元法在因式分解、解方程、计算中都有广泛应用，请你模仿以上方法尝试计算：．
【答案】（1）（x﹣1）4；
（2）（x+3）4；
（3）．
【解答】解：（1）设x2﹣2x＝m，
则：原式＝m（m+2）+1
＝m2+2m+1
＝（m+1）2
＝（x2﹣2x+1）2
＝（x﹣1）4，
故答案为：（x﹣1）4；
（2）设x2+6x＝y，
原式＝y（y+18）+81
＝y2+18y+81
＝（y+9）2
＝（x2+6x+9）2
＝（x+3）4；
（3）设1+++…+＝y，则++…+＝y﹣1，
∴原式＝y（y﹣1+）﹣（y+）（y﹣1）
＝y（y﹣）﹣（y+）（y﹣1）
＝y2﹣y﹣y2+y﹣y+
＝．
21．（10分）学习了乘法公式（a+b）2＝a2±2ab+b2后，老师向同学们提出了如下问题：
①将多项式x2+4x+3因式分解；
①x2+4x+3＝x2+4x+4﹣1＝（x+2）2﹣1＝（x+3）（x+1）＝（x+2+1）（x+2﹣1）
②求多项式x2+4x+3的最小值．
②由①，得x2+4x+3＝（x+2）2﹣1，因为（x+2）2≥0，所以（x+2）2﹣1≥﹣1．所以，当x＝﹣2时，x2+4x+3的值最小，且最小值为﹣1．
请你运用上述方法解决下列问题：
（1）将多项式x2+4x﹣5因式分解；
（2）求多项式m2+8m﹣6的最小值；
（3）若多项式P＝x2﹣x，Q＝x﹣2比较多项式P，Q的大小．
【答案】（1）（x+3）（x+1）；
（2）﹣22；
（3）P＞Q．
【解答】解：（1）x2+4x+3
＝x2+4x+4﹣1
＝（x+2）2﹣12
＝（x+2+1）（x+2﹣1）
＝（x+3）（x+1）；
（2）m2+8m﹣6＝m2+8m+16﹣22＝（m+4）2﹣22，
∵（m+4）2≥0，
∴（m+4）2﹣22≥﹣22，
∴多项式m2+8m﹣6的最小值﹣22．
（3）∵P＝x2﹣x，Q＝x﹣2，
∴P﹣Q＝x2﹣x﹣（x﹣2）＝x2﹣2x+2＝x2﹣2x+1+1＝（x﹣1）2+1，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+1≥1，
∴P﹣Q＞0即P＞Q．
22．（10分）阅读以下文字并解决问题：
对于形如x2+2ax+a2这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成（x+a）2的形式，但对于二次三项式x2+6x﹣27，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在x2+6x﹣27中间先加上一项9，使它与x2+6x的和构成一个完全平方式，然后再减去9，则整个多项式的值不变．即：x2+6x﹣27＝（x2+6x+9）﹣9﹣27＝（x+3）2﹣62＝（x+3+6）（x+3﹣6）＝（x+9）（x﹣3），像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．
（1）利用“配方法”因式分解：x2+4xy﹣5y2．
（2）若a+b＝5，ab＝3，求：
①a2+b2，
②a4+b4的值．
（3）如果a2+2b2+c2﹣2ab﹣6b﹣4c+13＝0，求a+b+c的值．
【答案】（1）（x﹣y）（x+5y）；（2）①19②343；（3）8．
【解答】解：（1）x2+4xy﹣5y2
＝x2+4xy+4y2﹣9y2
＝（x+2y）2﹣9y2
＝[（x+2y）﹣3y][（x+2y）+3y]
＝（x+2y﹣3y）（x+2y+3y）
＝（x﹣y）（x+5y）；
（2）∵a+b＝5，
∴（a+b）2＝25，
∴a2+b2+2ab＝25，
∵ab＝3，
∴a2+b2＝19；
∵（a2+b2）2＝361，
∴a4+b4+2a2b2＝361，
∵ab＝3，
∴2a2b2＝2（ab）2＝2×32＝18，
∴a4+b4＝343；
（3）∵a2+2b2+c2﹣2ab﹣6b﹣4c+13＝0，
∴（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣6b+9）+（c2﹣4c+4）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣3）2+（c﹣2）2＝0，
∴a﹣b＝0，b﹣3＝0，c﹣2＝0，
∴a＝3，b＝3，c＝2，
∴a+b+c＝3+3+2＝8．
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