河北省邢台市柏乡县等5地2022-2023学年高二下学期第三次月考数学试卷(含答案)

河北省邢台市柏乡县等5地2022-2023学年高二下学期第三次月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．中国茶文化博大精深、茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关,某数学建模小组建立了茶水冷却时间x和茶水温度y的一组数据,经过分析,提出了四种回归模型,①②③④四种模型的残差平方和的值分别是1.23、0.80、0.12、1.36．则拟合效果最好的模型是( )
A.模型① B.模型② C.模型③ D.模型④
2．两个线性相关变量x、y满足如下关系：
x 2 4 5 6 8
y 2.2 4.2 4.8 6.5 7.3
则y与x的线性回归直线一定过其样本点的中心,其坐标为( )
A. B. C. D.
3．从3名男教师,2名女教师中任意抽取两名进行核酸检测,则抽取的两人中至少有一名为女教师的概率是( )
A. B. C. D.
4．函数在上的最小值为( )
A. B.-1 C.0 D.
5．若二项展开式中的各项的二项式系数只有第项最大,则展开式的常数项的值为( )
A. B. C. D.
6．甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法总数是( )
A.80 B.120 C.210 D.300
7．随机变量X服从正态分布,,,则的最小值为( )
A. B. C. D.
8．下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．5G技术的运营不仅提高了网络传输速度,更拓宽了网络资源的服务范围．日前,我国加速了5G技术的融合与创新,前景美好,某手机商城统计了5个月的5G手机销量,如下表所示：
月份 2020年6月 2020年7月 2020年8月 2020年9月 2020年10月
月份编号x 1 2 3 4 5
销量y（部） 52 95 a 185 227
若y与x线性相关,由上表数据求得线性回归方程为 ,则下列说法正确的是( )
A.
B.5G手机的销量逐月增加,平均每个月增加约30台
C.y与x正相关
D.预计12月份该手机商城的5G手机销量约为318部
10．关于的展开式,下列说法正确的有( )
A.各项系数之和为1 B.二项式系数之和为256
C.常数项为第四项 D.的系数为-1792
11．第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京市和张家口市联合举行．甲,乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动,则下列说法正确的有( )
A.若短道速滑赛区必须安排2人,其余各安排1人,则有60种不同的方案
B.若每个比赛区至少安排1人,则有480种不同的方案
C.安排这5人排成一排拍照,若甲、乙相邻,则有48种不同的站法
D.已知这5人的身高各不相同,若安排5人拍照,前排2人,后排3人,且后排3人中身高最高的站中间,则有40种不同的站法
12．设离散型随机变量X的分布列如下表：
X 1 2 3 4 5
P m 0.1 0.2 n 0.3
若离散型随机变量,且,则( )
A. B. C. D.
三、填空题
13．函数的减区间为____________．
14．设随机变量,则函数存在零点的概率是_____________．
15．由3,4,5,6,7,8组成没有重复数字的六位数,要求奇数不相邻,且4不在第二位,则这样的六位数共有____________个．
16．若函数有两个不同的极值点,则实数a的取值范围是____________.
四、解答题
17．某班准备举办迎新晚会,有4个歌舞类节目和2个语言类节目,要求排出一个节目单.
（1）若2个语言类节目不能相邻,有多少种排法？
（2）若前4个节目中要有语言类节目,有多少种排法？（计算结果都用数字表示）
18．高二某班级举办知识竞赛,从A,B两种题库中抽取3道题目（从A题库中抽取2道,从B题库中抽取1道）回答．小明同学对抽取的A题库中的每道题目回答正确的概率均为,对抽取的题库中的题目回答正确的概率为．设小明对竞赛所抽取的3道题目回答正确的个数为X．
（1）求时的概率；
（2）求X的分布列及数学期望．
19．某种鱼苗育种基地,饲养员每隔两天观察并统计育种池内鱼苗的尾数,统计结果如下表：
第x天 2 4 6 8 10
鱼苗尾数y 72 140 212 284 340
（1）若y与x之间具有线性相关关系,求y关于x的线性回归方程；
（2）根据（1）中所求的线性回归方程,估计第30天时育种池内鱼苗的尾数（四舍五入精确到整数）
附：样本数据的线性回归方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为,．
参考数据：,,．
20．“节约用水”自古以来就是中华民族的优良传统．某市统计局调查了该市众多家庭的用水量情况,绘制了月用水量的频率分布直方图,如下图所示．将月用水量落入各组的频率视为概率,并假设每天的用水量相互独立．
（1）求在未来连续4个月里,有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另2个月的月用水量低于4吨的概率；
（2）用X表示在未来3个月里月用水量不低于12吨的月数,求随机变量X的分布列及数学期望．
21．某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名,其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”,否则称其为“非微信控”,调查结果如下：
微信控 非微信控 合计
男性 26 24 50
女性 30 20 50
合计 56 44 100
（1）根据以上数据,能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关？
（2）现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人,再随机抽取3人赠送礼品,记这3人中“微信控”的人数为X,试求X的分布列和数学期望.
参考公式: ,其中.
参考数据：
0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025
0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024
22．已知函数．
（1）当曲线在时的切线与直线平行,求曲线在处的切线的斜率；
（2）求函数的极值,当极值为正数时,求实数a的取值范围．
参考答案
1．答案：C
解析：残差平方和越小则拟合效果越好,而模型③的值最小,所以C正确.
故选：C.
2．答案：A
解析：由题意,其样本中心为,
则,,
所以样本中心为.
故选：A.
3．答案：C
解析：从3名男教师,2名女教师中任意抽取两名,所有的抽取方法共有种,
抽取的两人中没有女教师的种数有种,所以至少有一名女教师的概率为 ,
故选：C.
4．答案：B
解析：因为,所以,
当时,,即在时单调递增,
当时,,即在时单调递减,
则在时取得极小值,也是最小值,故.
故选：B.
5．答案：D
解析：因为二项展开式中的各项的二项式系数只有第6项最大,所以,
则展开式的通项为（且）,
令,解得,
所以,即展开式中常数项为210.
故选：D.
6．答案：C
解析：因为甲、乙、丙人站到共有级的台阶上,且每级台阶最多站2人,
所以分为两类：第一类,甲、乙、丙各自站在一个台阶上,共有：种站法；
第二类,有2人站在同一台阶上,剩余1人独自站在一个台阶上,共有：种站法；
所以每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置的不同的站法总数是.
故选：C.
7．答案：D
解析：由随机变量X服从正态分布,其正态分布分布曲线的对称轴为直线,
则,,
,且,,
所以,
当且仅当,即时,取等号.
故选：D.
8．答案：B
解析：构造函数,其中,则,
当时,,此时函数单调递增,
当时,,此时函数单调递减,
对于A选项,,则,即,所以,,A错误；
对于B选项,,则,即,所以,B正确；
对于C选项,,则,即,
所以,,所以,,C错误；
对于D选项,,则,即,所以,,D错误.
故选：B.
9．答案：ACD
解析：由表格得,代入可得,故A正确；
由线性回归方程可知：5G手机的销量逐月增加,平均每个月增加约44台左右,故B错误；
因为,故y与x正相关,即C正确；
将代入线性回归方程可得,故D正确.
故选：ACD.
10．答案：ABD
解析：令,可得各项系数之和为,故A正确;
二项式系数之和为,故B正确;
展开式的通项公式为,令,得,即常数项为第五项,故C错误;
令,得,则的系数为,故D正确;
故选：ABD.
11．答案：ACD
解析：由题意,先选两人到短道速滑赛区有种排法,其余各安排1人有种排法,
则有种不同的方案,故A正确；
若每个比赛区至少安排1人,则有种不同的方案,故B不正确；
题意,先将甲、乙捆绑在一起有排法,再与除了甲、乙以外的3个人排列有种排法,
则有种不同的站法,故C正确；
先排前排,由种,后排3人中身高最高的站中间,则两边的有种,
则有种,故D正确．
故选：ACD.
12．答案：BC
解析：AB选项,有题意得,
且,
解得,A错误,B正确；
C选项,因为,所以,C正确；
D选项,,
因为,所以,D错误.
故选：BC.
13．答案：
解析：由已知得,,
令,即,解得,
则的单调递减区间为,
故答案为:.
14．答案：
解析：若函数存在零点,则,即,
又,则.
故答案为：.
15．答案：108
解析：由3,4,5,6,7,8组成没有重复数字的六位数,奇数不相邻,先排偶数形成4个空,
将3个奇数插入即可,有个,
若4在第二位,则前1位是奇数,还剩2个偶数和2个奇数,
再排偶数形成3个空,将2个奇数插入即可,共有个,
所求六位数共有个,
故答案为：108．
16．答案：
解析：因为 ,
所以,
因为函数有两个不同的极值点,
所以 有两个不同的根,
即方程有两个不同的根,
所以 ,解得,
所以实数a的取值范围是
故答案为：.
17．答案：（1）480种
（2）672种
解析：（1）2个语言类节目不能相邻的排法有种.
（2）前4个节目中要有语言类节目的排法有种.
18．答案：（1）
（2）分布列见解析,
解析：（1）.
（2）X的可能取值为0,1,2,3.
所以；；
,.
X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以数学期望为：
19．答案：（1）
（2）1026尾
解析：（1）由表格可得,
代入公式则．
．
则y关于x的线性回归方程为．
（2）当时,
估计第30天时育种池内有鱼苗1026尾.
20．答案：（1）0.006075；
（2）分布列见解析,.
解析：（1）由频率分布直方图可知月用水量低于4吨与不低于12吨的概率分别为：
,,
故在未来连续4个月里连续2个月的月用水量都不低于12吨且另2个月的月用水量低于4吨的概率；
（2）X可能取的值为0,1,2,3,且,
则有：
,
,
,
.
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
故X的数学期望为
21．答案：（1）没有的把握认为“微信控”与“性别”有关
（2）
解析：（1）由列联表可得
所以没有的把握认为“微信控”与“性别”有关．
（2）根据题意所抽取的5位女性中,“微信控”有3人,“非微信控”有2人,
X可取的值为1,2,3
,
,
所以X的分布列是
X 1 2 3
P
X的数学期望是.
22．答案：（1）2
（2）
解析（1）由,得,
因为曲线在时的切线与直线平行,
所以,得.
所以
当时,,
曲线在处的切线的斜率为2
（2）.
（i）当时,,所以在递减,无极值.
（ii）当时,由得.
随的变化、的变化情况如下：
x
+ 0
极大值
故有极大值,无极小值；
所以的极大值为,
因为极值为正数,所以
因为,所以.
所以当的极大值为正数时,实数a的取值范围为.