2023-2024学年高二下学期期末数学试卷（巩固篇）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（22-23高二下·河南郑州·期末）下列四个命题中，正确命题的个数为（ ）
①甲乙两组数据分别为：甲：28，31，39，42，45，55，57，58，66；；乙：，29，34，35，48，42，46，55，53，55，67．则甲乙的中位数分别为45和44．
②相关系数，表明两个变量的相关性较弱．
③若由一个列联表中的数据计算得的观测值，那么有99%的把握认为两个变量有关．
④用最小二乘法求出一组数据，的回归直线方程 后要进行残差分析，相应于数据，的残差是指 ．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】求出两组数据的中位数判断①；利用相关系数的意义判断②；利用的观测值与要求的临界值对判断③；利用残差的意义判断④作答.
【解答过程】对于①，甲组数据的中位数为45，乙组数据的中位数为，①错误；
对于②，相关系数时，两个变量有很强的相关性，②错误；
对于③，的观测值约为，那么有99%的把握认为两个变量有关，③正确；
对于④，残差分析中，相应数据的残差，④正确，
所以命题正确的序号是③④.
故选：B.
2．（5分）（22-23高二上·河南驻马店·期末）2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.我市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“小雪”、“大雪”、“冬至”、“小寒”、“大寒”五张知识展板，分别放置在五个并排的文化橱窗里，要求“小雪”不能放在首位，“大雪”不能在末位，且“冬至”不在正中间位置，则不同的放置方式的种数有（ ）
A．66 B．64 C．48 D．30
【解题思路】用间接法，先计算小雪不站首位，大雪不站在末位的站法种数，再减去小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至在正中间的情况，即可得答案.
【解答过程】由题意，五张知识展板并排放在文化橱窗里共有种排法，
小雪站在首位或大雪站在末位有种排法，
小雪站在首位且大雪站在末位有种排法，
则小雪不站首位，大雪不站在末位的站法共有种，
而小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至在正中间的情况分两类，
小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至在正中间，小雪不站末位，有，
小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至在正中间，小雪站末位，有，
故小雪不站首位，大雪不站在末位，冬至不在正中间的站法共有：种.
故选：B.
3．（5分）（22-23高二下·福建泉州·期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（ ）
A．该地水稻的平均株高为
B．该地水稻株高的方差为100
C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小
D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大
【解题思路】根据密度曲线求得，然后对选项进行分析，从而确定正确答案.
【解答过程】依题意，
所以平均数为，方差为，所以AB选项正确.
依题意，
而，即，所以C选项错误.
，所以D选项正确.
故选：C.
4．（5分）（22-23高二下·江苏泰州·期末）已知x，y的取值如下表所示，从散点图分析可知y与x线性相关，如果线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A．m的值为6.2
B．回归直线必过点（2，4.4）
C．样本点（4，m）处的残差为0.1
D．将此图表中的点（2，4.4）去掉后，样本相关系数r不变
【解题思路】根据平均数的定义及样本中心在经验回归直线方程上，利用残差的定义及样本相关系数的公式即可求解.
【解答过程】由题意可知，
所以样本中心为，
将点代入，可得，解得，故A正确；
由，得样本中心为，所以回归直线必过点（2，4.4），故B正确；
当时，，
由，得样本点处的残差为，故C错误；
因为样本中心为，
所以
由相关系数公式知， ，将此图表中的点（2，4.4）去掉后，样本相关系数r不变，故D正确；
故选：C.
5．（5分）（22-23高二上·河南驻马店·期末）已知，记，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】设，所以由题意可知，从而即可求解.
【解答过程】不妨设，
一方面注意到，
另一方面注意到，
所以.
故选：C.
6．（5分）（23-24高二上·江苏镇江·期末）若点不在函数的图像上，且过点P有三条直线与的图像相切，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意，设出切点坐标，由导数的几何意义可得，将问题转化为函数有三个零点问题，然后列出不等式，即可得到结果.
【解答过程】点不在函数的图像上，
则，即，
设过点的直线与的图像相切于，
则切线的斜率，
整理可得，
则问题可转化为有三个零点，
且，令，可得或，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
即当时，有极大值，当时，有极小值，
要使有三个零点，
则，即，解得，
所以实数m的取值范围为.
故选：A.
7．（5分）（22-23高二下·辽宁·期末）已知某疾病的某种疗法治愈率为80%.若有100位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为X，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．存在，使得成立
【解题思路】
根据二项分布的概率公式、期望与方差公式及期望与方差的性质计算即可逐一判定.
【解答过程】由题意可得，
则，
所以，，故AC错误；
由二项分布的概率公式得，故B正确；
，
若，
则，
化简得，解得，与条件矛盾，即D错误.
故选：B.
8．（5分）（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】
首先对求导，求出其单调区间，且注意到的对称轴是直线，由此即可得解.
【解答过程】
由题意，
一方面有，令，所以有以下表格：
所以在上单调递减，在上单调递增，且有极小值；
另一方面注意到 ，
且有
因此，这表明了的对称轴是直线；
所以有，
又，且在上单调递增，
所以，所以.
故选：A.
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（22-23高二下·广东广州·期末）下列有关一元线性回归方程模型的结论中，正确的有（ ）
A．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，相应变量增加0.4个单位
B．若样本相关系数的绝对值越接近于1，则样本数据的线性相关程度越强
C．若决定系数的值越接近于0，则表示回归模型的拟合效果越好
D．在回归模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好
【解题思路】根据回归直线，线性相关系数，决定系数及残差平方和等知识依次判断各选项即可得出结果.
【解答过程】对于A，在经验回归方程中，当解释变量x每增加1个单位时，相应变量减少0.4个单位，故A错误；
对于B，若样本相关系数r的绝对值越接近于1，则样本数据的线性相关程度越强，故B正确；
对于C，若决定系数R2的值越接近于1，则表示回归模型的拟合效果越好，故C错误；
对于D，在回归模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故D正确.
故选：BD.
10．（5分）（22-23高二下·江苏宿迁·期末）以“迁马，跑在水美酒乡”为主题的2023宿迁马拉松，于4月2日开跑，共有12000名跑者在“中国酒都”纵情奔跑，感受宿迁的水韵柔情．本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑（5.5公里）三个项目，每个项目均设置4000个参赛名额．在宿大学生踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑（5.5公里）三个项目进行志愿者活动，则下列说法正确的是（ ）
A．若全程马拉松项目必须安排3人，其余两项各安排1人，则有20种不同的分配方案
B．若每个比赛项目至少安排1人，则有150种不同的分配方案
C．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法
D．已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站
中间，则有40种不同的站法
【解题思路】对于A，先从5人中选3安排到全程马拉松项目，然后剩下2人到其它两个各去一人即可，对于B，将5个人分成3组，且每组至少1人，然后分配到3个项目即可，对于C，利用捆绑法求解即可，对于D，先选2人站前排，然后剩下3人中身高最高的站后排的中间，剩下2人站后排两边即可.
【解答过程】对于A，先从5人中选3安排到全程马拉松项目有种方法，然后剩下2人到其它两个各去一人有，
则由分步乘法原理可知共有种分配方案，所以A正确，
对于B，将5个人分成3组，且每组至少1人，有两种分法，分别为1，1，3和1，2，2，
若为1，1，3，则不同的分配方案有种，
基为1，2，2，则不同的分配方案有种，
所以由分类加法原理可知共有种不同的分配方案，所以B正确，
对于C，先将甲、乙捆绑在一起看成一个整体，再与剩下的3人进行全排列，
所以不同的站法有种，所以C错误，
对于D，先选2人站前排有种，然后剩下3人中身高最高的站后排的中间，剩下2人站后排两边有种，
所以由分步乘法原理可知共有种不同的站法，所以D正确，
故选：ABD.
11．（5分）（22-23高二下·河南·期末）某校高三学生参加某门学科的标准化选拔考试，成绩采用等级制.根据模拟成绩，考生小明得A等和D等的概率都为，得B等和C等的概率都为，为了进一步分析的需要，学校将等级转换成分数，A，B，C，D分别记为90分、80分、60分、50分.若用模拟成绩来估计选拔考试的情况，设小明选拔考试的成绩等级转换为分数X，则（ ）
A．小明得B等或C等的概率为 B．
C． D．
【解题思路】由条件，根据概率加法公式判断A，B，确定随机变量的分布列，根据期望公式和方差公式求，由此判断CD.
【解答过程】因为小明得A等和D等的概率都为，得B等和C等的概率都为，
所以小明得B等或C等的概率为，A错误；
事件相当于事件小明得等或等，
所以，B正确；
由已知可得随机变量的分布列如下；
所以，C正确；
，D错误；
故选：BC.
12．（5分）（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数，下列选项正确的是（ ）
A．当有三个零点时，的取值范围为
B．是偶函数
C．设的极大值为，极小值为，若，则
D．若过点可以作图象的三条切线，则的取值范围为
【解题思路】由可得出，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断A选项；利用函数奇偶性的定义可判断B选项；利用导数求出函数的极大值和极小值，结合求出的值，可判断C选项；设切点横坐标为，利用导数的几何意义可得出方程有三个不等的实根，可知，直线与函数的图象有三个交点，数形结合可判断D选项.
【解答过程】对于A选项，令可得，
令，则直线与函数的图象有三个交点，
，令，可得，列表如下：
增 极大值 减 极小值 增
如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，A对；
对于B选项，，该函数的定义域为，
，
故函数是偶函数，B对；
对于C选项，，令，可得，列表如下：
减 极小值 增 极大值 减
所以，，，
所以，，解得，C错；
对于D选项，设切点坐标为，则，
所以，曲线在处的切线方程为，
将点的坐标代入切线方程得，整理可得，
令，其中，则，
令，可得或，列表如下：
减 极小值 增 极大值 减
若过点可以作图象的三条切线，
则直线与函数的图象有三个交点，如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，合乎题意，D对.
故选：ABD.
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（22-23高二下·广东潮州·期末）某市安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者到三个基层社区开展党的二十大精神宣讲活动，每个社区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为 84 ．
【解题思路】分为每个社区各两人和一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人两种分配方式，第二种分配方式再分AB两人一组去一个社区，AB加上另一人三人去一个社区，进行求解，最后相加即为结果.
【解答过程】第一种分配方式为每个社区各两人，则CE一组，DF一组，或CF一组，DE一组，有2种分组方式，三组人分配到三个社区进行排列，则分配方式共有种；
第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人，
当AB两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，则必有C或D为一组，有种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法；
当AB加上另一人三人去一个社区，若选择的是C或D，则有种选择，再将剩余3人分为两组，有种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法；
若选择的不是C或D，即从E或F中选择1人和AB一起，有种分配方法，再将CD和剩余的1人共3人分为两组，有2种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有种分配方法，
综上共有12＋12＋36＋24＝84种不同的分配方式．
故答案为：84.
14．（5分）（22-23高二下·湖北武汉·期末）近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线.某外卖小哥每天来往于4个外卖店（外卖店的编号分别为），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推.假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件第次取单恰好是从1号店取单是事件发生的概率，显然，则 ， （第二空精确到0.01）.
【解题思路】利用条件概率公式可直接得到结果；
利用条件概率公式得到与之间的关系式，再进一步计算即可.
【解答过程】（1）第次取单恰好是从号店取单，由于每天第次取单都是从号店开始，根据题意，第次不可能从号店取单，所以，
第次取单恰好是从号店取单，
因此
(2)由条件概率公式
，
，故答案为
故答案为：；.
15．（5分）（22-23高三上·江西新余·期末）在新冠疫情政策改变后，某社区统计了核酸检测为阳性的人
数，用表示天数，表示每天核酸检测为阳性的人数，统计数据如下表所示：
1 2 3 4 5 6 7
6 11 21 34 66 101 196
根据散点图判断，核酸检测为阳性的人数关于天数的回归方程适合用来表示，则其回归方程为
.
参考数据：设，，，
参考公式：对于一组数据，，….其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
【解题思路】由题可得，然后根据最小二乘法即得.
【解答过程】由，可得，
设，则，
因为，，
，
所以，
，
所以，
所以.
故答案为：.
16．（5分）（22-23高二下·河南焦作·期末）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为 .
【解题思路】由题意，构造函数，利用其导数明确新函数的单调性，化简不等式，可得答案.
【解答过程】令，则，由题意可得，所以单调递减，
由不等式，则，即，
解得，所以不等式的解集为.
故答案为：.
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（22-23高二下·江苏泰州·期末）电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
【解题思路】(1)采用捆绑法即可求解；
(2)采用插空法即可求解；
(3)先排甲、乙、丙以外的其他4人，再把甲、乙排好，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中即可；
【解答过程】（1）先将3个女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有种排法，由分步乘法计数原理，共有(种)排法；
（2）先将4个男生排好，有种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空挡中插入3个女生有种方法，故符合条件的排法共有(种)；
（3）先排甲、乙、丙以外的其他4人，有种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空挡中有种排法，故符合条件的排法共有(种).
18．（12分）（22-23高二上·山东德州·期末）年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答是否正确互不影响. 已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.
(1)若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率：
(2)若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率.
【解题思路】（1）利用独立事件的概率乘法公式计算出乙、丙分别答题正确的概率，再利用独立事件和对立事件的概率公式可求得甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率；
（2）利用全概率公式可求出所求事件的概率.
【解答过程】（1）解：设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为，
则甲、丙两人都回答正确的概率是，解得，
乙、丙两人都回答正确的概率是，解得，
所以，若规定三名同学都需要回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率为.
（2）解：记事件为“甲抢答这道题”，事件为“乙抢答这道题”，事件为“丙抢答这道题”，
记事件为“这道题被答对”，
则，，，
，，，
由全概率公式可得.
19．（12分）（22-23高二下·河北石家庄·期末）已知函数，若曲线在处的切线方程为．
(1)求a，b的值；
(2)讨论函数在区间上的单调性．
【解题思路】（1）根据函数的切线方程即可求得参数值；
（2）先求函数的导函数，判断函数单调性.
【解答过程】（1）令，由，则，
由，可得．
又，所以.
（2）由（1）可知，，
令，解得或；令，解得，
所以在和(1，2)上单调递增，在上单调递减．
20．（12分）（22-23高二下·黑龙江大兴安岭地·期末）为了研究学生每天整理数学错题的情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经
常整理”，少于4天视为“不经常整理”. 已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占.
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理
不经常整理
合计
(1)求图1中的值；
(2)根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关
附：
【解题思路】（1）利用频率分布直方图中各矩形面积和为1建立方程求解即可；
（2）根据题目数据补全列联表，代入公式求出观测值，将其与临界值进行对比，进而求解即可.
【解答过程】（1）由题意可得，解得；
（2）数学成绩优秀的有人，不优秀的人人，
经常整理错题的有人，
不经常整理错题的是人，经常整理错题且成绩优秀的有人，则
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理 35 25 60
不经常整理 15 25 40
合计 50 50 100
零假设为：数学成绩优秀与经常整理数学错题无关，
根据列联表中的数据，经计算得到可得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为数学成绩优秀与经常整理数学错题有关联，此推断犯错误的概率不大于.
21．（12分）（22-23高二下·浙江·期末）人口老龄化加剧的背景下，我国先后颁布了一系列生育政策，根据不同政策要求，分为两个时期Ⅰ和Ⅱ．根据部分调查数据总结出如下规律：对于同一个家庭，在Ⅰ时期内生孩人，在Ⅱ时期生孩人，（不考虑多胞胎）生男生女的概率相等．服从0-1分布且．分布列如下图：
0 1 2
现已知一个家庭在Ⅰ时期没生孩子，则在Ⅱ时期生2个孩子概率为；若在Ⅰ时期生了1个女孩，则在时期生2个孩子概率为；若在Ⅰ时期生了1个男孩，则在Ⅱ时期生2个孩子概率为，样本点中Ⅰ时期生孩人数与Ⅱ时期生孩人数之比为（针对普遍家庭）．
(1)求的期望与方差；
(2)由数据组成的样本空间根据分层随机抽样分为两层，样本点之比为，分别为与，，总体样本点与两个分层样本点均值分别为，，，方差分别为，，，证明：，并利用该公式估算题设样本总体的方差．
【解题思路】（1）列出分布列，进行求解即可；
（2）根据题意，进行求解即可.
【解答过程】（1）由分布列知：，即，
事件分别表示Ⅰ时期没生孩子、生了1个女孩、生了1个男孩，
事件表示Ⅱ时期生2个孩子，则，
又，
所以，
即，则，
综上，分布列如下：
0 1 2
.
.
（2）由题意，，则，，
而，
上式
，
又，且，
上式.
综上，得证.
由题设知：，，，，
则总体均值，
综上，题设样本总体的方差 .
22．（12分）（22-23高二下·北京通州·期末）已知函数，
(1)若在区间上恰有一个极值点，求实数的取值范围；
(2)求的零点个数；
(3)若，求证：对于任意，恒有．
【解题思路】（1）利用导数求出函数的极值点作答.
（2）利用导数探讨函数的单调性，结合零点存在性定理判断作答.
（3）把代入，对所证不等式作等价变形，再构造函数，利用导数推理作答.
【解答过程】（1）函数，求导得，当时，，当时，，
因此是的极小值点，依题意，，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）函数的定义域为，求导得，
由得，由得，于是函数在上单调递减，在上单调递增，
而当时，，即有，因此在上没有零点，
显然，即函数在上存在1个零点，
所以函数的零点个数为1.
（3）当时，，，
于是要证，即证，只需证，
令函数，求导得，
由，得，由，得，即在上递减，在上递增，
因此，则，，即，
所以对于任意，恒有.2023-2024学年高二下学期期末数学试卷（巩固篇）
【人教A版（2019）】
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效；
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效；
4.测试范围：选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册全册；
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（22-23高二下·河南郑州·期末）下列四个命题中，正确命题的个数为（ ）
①甲乙两组数据分别为：甲：28，31，39，42，45，55，57，58，66；；乙：，29，34，35，48，42，46，55，53，55，67．则甲乙的中位数分别为45和44．
②相关系数，表明两个变量的相关性较弱．
③若由一个列联表中的数据计算得的观测值，那么有99%的把握认为两个变量有关．
④用最小二乘法求出一组数据，的回归直线方程 后要进行残差分析，相应于数据，的残差是指 ．
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（5分）（22-23高二上·河南驻马店·期末）2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊艳了全球观众.我市某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“小雪”、“大雪”、“冬至”、“小寒”、“大寒”五张知识展板，分别放置在五个并排的文化橱窗里，要求“小雪”不能放在首位，“大雪”不能在末位，且“冬至”不在正中间位置，则不同的放置方式的种数有（ ）
A．66 B．64 C．48 D．30
3．（5分）（22-23高二下·福建泉州·期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其密度曲线函数为，，则下列说法错误的是（ ）
A．该地水稻的平均株高为
B．该地水稻株高的方差为100
C．随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小
D．随机测量一株水稻，其株高在和在（单位：cm）的概率一样大
4．（5分）（22-23高二下·江苏泰州·期末）已知x，y的取值如下表所示，从散点图分析可知y与x线性相关，如果线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A．m的值为6.2
B．回归直线必过点（2，4.4）
C．样本点（4，m）处的残差为0.1
D．将此图表中的点（2，4.4）去掉后，样本相关系数r不变
5．（5分）（22-23高二上·河南驻马店·期末）已知，记，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（23-24高二上·江苏镇江·期末）若点不在函数的图像上，且过点P有三条直线与的图像相切，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
7．（5分）（22-23高二下·辽宁·期末）已知某疾病的某种疗法治愈率为80%.若有100位该病患者采取了这种疗法，且每位患者治愈与否相互独立，设其中被治愈的人数为X，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．存在，使得成立
8．（5分）（22-23高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）（22-23高二下·广东广州·期末）下列有关一元线性回归方程模型的结论中，正确的有（ ）
A．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，相应变量增加0.4个单位
B．若样本相关系数的绝对值越接近于1，则样本数据的线性相关程度越强
C．若决定系数的值越接近于0，则表示回归模型的拟合效果越好
D．在回归模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好
10．（5分）（22-23高二下·江苏宿迁·期末）以“迁马，跑在水美酒乡”为主题的2023宿迁马拉松，于4月2日开跑，共有12000名跑者在“中国酒都”纵情奔跑，感受宿迁的水韵柔情．本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑（5.5公里）三个项目，每个项目均设置4000个参赛名额．在宿大学生踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑（5.5公里）三个项目进行志愿者活动，则下列说法正确的是（ ）
A．若全程马拉松项目必须安排3人，其余两项各安排1人，则有20种不同的分配方案
B．若每个比赛项目至少安排1人，则有150种不同的分配方案
C．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法
D．已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法
11．（5分）（22-23高二下·河南·期末）某校高三学生参加某门学科的标准化选拔考试，成绩采用等级制.根据模拟成绩，考生小明得A等和D等的概率都为，得B等和C等的概率都为，为了进一步分析的需要，学校将等级转换成分数，A，B，C，D分别记为90分、80分、60分、50分.若用模拟成绩来估计选拔考试的情况，设小明选拔考试的成绩等级转换为分数X，则（ ）
A．小明得B等或C等的概率为 B．
C． D．
12．（5分）（22-23高二下·辽宁·期末）已知函数，下列选项正确的是（ ）
A．当有三个零点时，的取值范围为
B．是偶函数
C．设的极大值为，极小值为，若，则
D．若过点可以作图象的三条切线，则的取值范围为
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（22-23高二下·广东潮州·期末）某市安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者到三个基层社区开展党的二十大精神宣讲活动，每个社区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为 ．
14．（5分）（22-23高二下·湖北武汉·期末）近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道亮丽的风景线.某外卖小哥每天来往于4个外卖店（外卖店的编号分别为），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余3个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推.假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的3个外卖店取单，设事件第次取单恰好是从1号店取单是事件发生的概率，显然，则 ， （第二空精确到0.01）.
15．（5分）（22-23高三上·江西新余·期末）在新冠疫情政策改变后，某社区统计了核酸检测为阳性的人数，用表示天数，表示每天核酸检测为阳性的人数，统计数据如下表所示：
1 2 3 4 5 6 7
6 11 21 34 66 101 196
根据散点图判断，核酸检测为阳性的人数关于天数的回归方程适合用来表示，则其回归方程为
.
参考数据：设，，，
参考公式：对于一组数据，，….其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
16．（5分）（22-23高二下·河南焦作·期末）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，
且有，则不等式的解集为 .
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（22-23高二下·江苏泰州·期末）电影《夺冠》讲述了中国女排姑娘们顽强拼搏、为国争光的励志故事，现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
18．（12分）（22-23高二上·山东德州·期末）年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答是否正确互不影响. 已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.
(1)若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少人回答正确的概率：
(2)若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到答题机会的概率为，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率.
19．（12分）（22-23高二下·河北石家庄·期末）已知函数，若曲线在处的切线方程为．
(1)求a，b的值；
(2)讨论函数在区间上的单调性．
20．（12分）（22-23高二下·黑龙江大兴安岭地·期末）为了研究学生每天整理数学错题的情况，某课题组在某市中学生中随机抽取了100名学生调查了他们期中考试的数学成绩和平时整理数学错题情况，并绘制了下列两个统计图表，图1为学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，图2为学生一个星期内整理数学错题天数的扇形图.若本次数学成绩在110分及以上视为优秀，将一个星期有4天及以上整理数学错题视为“经常整理”，少于4天视为“不经常整理”. 已知数学成绩优秀的学生中，经常整理错题的学生占.
数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计
经常整理
不经常整理
合计
(1)求图1中的值；
(2)根据图1、图2中的数据，补全上方列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析数学成绩优秀与经常整理数学错题是否有关
附：
21．（12分）（22-23高二下·浙江·期末）人口老龄化加剧的背景下，我国先后颁布了一系列生育政策，根据不同政策要求，分为两个时期Ⅰ和Ⅱ．根据部分调查数据总结出如下规律：对于同一个家庭，在Ⅰ时期内生孩人，在Ⅱ时期生孩人，（不考虑多胞胎）生男生女的概率相等．服从0-1分布且．分布列如下图：
0 1 2
现已知一个家庭在Ⅰ时期没生孩子，则在Ⅱ时期生2个孩子概率为；若在Ⅰ时期生了1个女孩，则在时期生2个孩子概率为；若在Ⅰ时期生了1个男孩，则在Ⅱ时期生2个孩子概率为，样本点中Ⅰ时期生孩人数与Ⅱ时期生孩人数之比为（针对普遍家庭）．
(1)求的期望与方差；
(2)由数据组成的样本空间根据分层随机抽样分为两层，样本点之比为，分别为与，，总体样本点与两个分层样本点均值分别为，，，方差分别为，，，证明：，并利用该公式估算题设样本总体的方差．
22．（12分）（22-23高二下·北京通州·期末）已知函数，
(1)若在区间上恰有一个极值点，求实数的取值范围；
(2)求的零点个数；
(3)若，求证：对于任意，恒有．
