7.1.1数系的扩充和复数的概念 课件(共29张PPT)

(共29张PPT)
菏泽外国语学校 聂张坤
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
第七章 复数
数学来源于生活，高于生活。
思考？
学习目标：
1、了解引进虚数单位的必要性，了解数系的扩充过程
2、理解在数系扩充中由实数集到复数集出现的基本概念
3、掌握复数的表示方法、分类及复数相等的充要条件
学习目标
对于一元二次方程 ，当 时，没有实数根。因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数集，有些问题就无法解决。
事实上，早在古希腊时代，数学家在研究解方程问题时就遇到了负实数开平方的问题，但他们一直在回避。直到1545年，意大利数学家卡丹在用求根公式，因式分解两种方法同时求解一些特殊的一元三次方程时，得到了无法理解的结果......
一、创设情境，引入新知
解方程：
方法1：
用三次方程求根公式（卡丹公式）
解得：
方法2：
用因式分解
解得：
得到：
16世纪
数学家的困惑
一、创设情境，引入新知
问题1从方程的角度看，负实数能不能开平方，实际上就是方程 （a＞0）有没有解的问题。能不能把这类问题再进一步简化，最终转化为最简单的方程x2+1=0有没有解的问题呢？
追问x2+1=0在实数集中无解，能否引入新数，适当地扩充实数集，使这个方程在新数集中有解呢？
二、创设情境，合作探究
远古的人类，为了统计捕获的野兽和采集的野果，历经漫长的岁月，创造了自然数，自然数集记为N。自然数是现实世界最基本的数量，是全部数学的发源地。自然数的加法与乘法满足交换律、结合律及分配律。
随后为了表示具有相反意义的量，负数的概念就出现了，我国是认识正负数最早的国家，《九章算术》中就有了正负数的记载。负数概念引进后，就把数集扩充到整数集Z，运算法则同样适用。
随着历史的发展，为了公平分配物质印度人引进了分数，但分数的确切定义，科学表示及分数算法，都是中国最早提出的。分数运算也满足加法与乘法的运算律。分数概念引进后，就把数集扩充到有理数集Q，运算法则同样适用。
公元前几百年，希腊人发现边长为1的正方形和正五边形对角线的长都不是分数，从此人们知道了世间还存在另一类数无理数。有理数集与无理数集合并在一起就构成实数集R。
数系的每一次扩充，都是基于两个方面的原因：社会生产实践的需要和数学自身发展的需要。
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自然数集
整数集
有理数集
实数集
刻画相反意义的量
引入了
负数
解决测量等分问题
引入了
分数
解决度量正方体对角线等问题
引入了
无理数
计数的需要
引入了
自然数
从社会生产实践的需要来看
自然数
负整数
整数
无理数
有理数
分数
实数
随着社会发展，数系在不断扩充．
二、创设情境，合作探究
从数学自身发展的需要来看
（2）在整数集中求方程2x-1=0的解；
自然数集
N
整数集
Z
有理数集
Q
实数集
R
无解
有解
无解
有解
有解
无解
（3）在有理数集中求x2-2=0方程的解；
数系的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不能解决的问题．
（4）在实数集中求x2+1=0方程的解．
无解
有解
？
（1）在自然集中求方程x+1=0的解；
二、创设情境，合作探究
数系扩充后，在运算上遵循了什么规则？
如果没有运算，数只是孤立的符号！
有理数集
实数集
引入了无理数
运算
运算律
+ （—）
×（ ÷）
+ （—）
×（ ÷）
交换律
结合律
分配律
交换律
结合律
分配律
数系扩充规则：
数集扩充后，在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．
二、创设情境，合作探究
问题2类比从自然数集到实数集的扩充过程，特别是从有理数集到实数集的扩充过程，你能设想一种方法，使方程x2+1=0有解吗？
我们可以引入一个数“i”，使i2=-1，
这样x=i就是方程x2+1=0的解．
历史上，新数i是瑞士著名数学家欧拉在1777年首次提出的，他用了“imaginary”一词的首字母，本意是这个数是虚幻的.
三、依据规则，引入概念
问题3根据上述规则，你能说出实数集经过扩充后，得到的新数集由哪些数组成吗？你能写出新数的一般形式吗？
加法运算
乘法运算
实数
新数
3+i
a+i
2i
bi
3+2i
a+bi(a,b∈R)
依据规则：
在新数集中规定的加法运算和乘法运算，与原来数集中规定的加法和乘法运算协调一致。
三、依据规则，引入概念
(1)形如 的数叫做复数,通常用字母 z 表示.
(2)全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用C 表示.
实部
虚部
i 叫虚数单位
三、依据规则，引入概念
1545年意大利有名的数学家卡丹第一次开始讨论负数开平方的问题，当时复数被他称作“诡辩量”。
几乎过了100年，笛卡尔才给这种“虚幻之数”取了一个名字——虚数。但是又过了140年，欧拉还是说这种数只是存在于“幻想”，并用i（imaginary，即虚幻的缩写）来表示它的单位。
1832年德国高斯给出了复数的定义，并把复数与直角坐标平面内的点一一对应起来．
1837年，英国数学家哈密顿用有序实数对（a,b）定义了复数及其运算，并说明复数的加、乘运算满足实数的运算律。
这样历经300年的努力，数系从实数系向复数系的扩充才得以大功告成.
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阅读：复数系是怎么建立的？
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这是一个漫长而曲折的过程，其中充满着数学家的丰富，深邃的想象力和创造力，表现了数学家不屈不挠，精益求精的精神。我们看到，人们是在解决纯粹数学问题的过程中发现复数的，但它现在在流体力学，信号分析等学科中得到了广泛的应用。1843年，英国数学家哈密顿在复数基础上构造了四元数，从而导致了物理学中著名的麦克斯韦方程的建立，显示了人类理性思维的强大作用！
高斯
卡丹
笛卡尔
欧拉
哈密顿
例1、指出下列复数的实部和虚部:
（1）4 （2）2-3i （3）5i+ （4）-6i
（5）0 （6） （7）2+ （8）π
虚部b=0
虚部b≠0
实部a=0
三、依据规则，引入概念
练习:把下列式子化为a+bi（a,b∈R）的形式，并分别指出它们的实部和虚部。
2-i= -2i= 5= 0=
三、依据规则，引入概念
问题4我们已经将实数集扩充到复数集，那么复数集C和实数集R之间有什么关系？你能对复数a+bi（a，b∈R）进行分类，并用韦恩图表示它们之间的关系吗？
四、根据特点，实际应用
虚部b=0
虚部b≠0
实部a=0
实数
虚数
纯虚数
复数a+bi
复数的分类
四、根据特点，实际应用
复数集C
实数R
纯虚数
虚数
四、根据特点，实际应用
例2、实数m取什么值时，复数
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
解: （1） 当 ，即 时，复数z 是实数．
（2）当 ，即 时，复数z 是虚数．
（3）当
即 时，复数z是
纯虚数．
四、根据特点，实际应用
练习:当m为何实数时，复数
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
m2-1=0 ∴m=±1
m2-1≠0
∴m≠±1
m2+m-2=0且
m2-1≠0
∴m=-2
四、根据特点，实际应用
问题5 我们知道复数集是由形如a+bi(a,b∈R)的数组成的，为了保证集合中元素的互异性（确定性），我们需要明确集合中两个元素相等的含义，请阅读教科书，说说两个复数相等的含义．
四、根据特点，实际应用
两个复数相等的充要条件
特别地
当且仅当
每个复数都可以由实部和虚部这两个实数唯一确定．
四、根据特点，实际应用
四、根据特点，实际应用
问题6 3+2i与2能比较大小吗？两个复数可以比较大小吗？
1.两个不全是实数的复数不能比大小，只能由定义判断它们是否相等；
2.若两个复数能比较大小，则这两个复数一定全是实数
若 ，
则
四、根据特点，实际应用
1、以3i- 的虚部为实部，以3i2+ i的实部为虚部的复数是（）A 3-3i B 3+i C - + i D + i
2、a=0是复数a+bi(a,b∈R）为纯虚数的（）
A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 非必要非充分条件
3、若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为 。
四、根据特点，实际应用
1. 虚数单位i的引入，数系的扩充；
2. 复数有关概念：
复数的代数形式:
复数的实部、虚部、虚数单位
复数相等
复数的分类
五、课堂总结，反思提炼
五、课堂总结，反思提炼
1、数系还能再扩充吗？
2、作为一个新数集，如何定义复数的四则运算？
菏泽外国语学校 聂张坤