沪教版八年级数学下册试题 第20章《一次函数》综合复习题（含解析）

第20章《一次函数》综合复习题
一、单选题
1．如图，点、以及直线在的正方形网格中，每个小正方形的边长为单位1．在网格中建立直角坐标系后，、两点的坐标分别、，在直线上找一点使得最小，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．小张、小王两个人从甲地出发，去8千米外的乙地，图中线段OA、PB分别反映了小张、小王步行所走的路程S（千米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图像提供的信息，小王比小张早到乙地的时间是（ ）分钟．
A．4 B．6 C．16 D．10
3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，轴于点，则周长的最小值为（　　　）．
A． B． C．4 D．
4．如图所示，直线y=x+4与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，D、E分别是直线AB、y轴上的动点，则周长的最小值是（ 　 ）
A． B． C． D．
5．对于实数，定义符号其意义为：当时，；当时，．例如：，若关于的函数，则该函数的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．如图，在平面直角坐标系中，点A，，，…，都在直线上，点，，…都在直线上，在轴上，且……，以为直角边在两条直线内部作等腰直角三角形，在边上；再以为直角边在两条直线内部作等腰直角三角形，在边上；…如此做下去，则的面积用含有的代数式表示为__________．
7．如图，在直角坐标xoy系中，点A的坐标是（2，0）、点B的坐标是（0，2）、点C的坐标是（0，3），若直线CD的解析式为y=-x+3，则S△ABD为___________.
8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点,与轴交点于,且,°,以为边长作等边三角形,过点作平行于轴，交直线于点,以为边长作等边三角行,过点作平行于轴，交直线于点,以为边长坐等三角形,…，则点的横坐标是___________.
9．在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于C、A两点．将射线绕着点A顺时针旋转，得到射线．点D为上的动点，点B为上的动点，点C在的内部．
（1）周长的最小值是____________________；
（2）当的周长取得最小值，且时，的面积为__________．
10．如图，反比例函数的图象与直线（）交于，两点（点在点左侧），过点作轴的垂线，垂足为点，连接，，图中阴影部分的面积为6，则的值为______．
11．如图，在平面直角坐标系中，点，射线轴，直线交线段于点B，交x轴于点A，D是射线上一点．若存在点D，使得恰为等腰直角三角形，则b的值为______．
三、解答题
12．在直角坐标平面中，任意线段的中点坐标可以用这条线段的两个端点的坐标来表示，若平面内点，点，则线段的中点坐标可以表示为，如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点．
（1）求点的坐标
（2）点在轴上，且，求直线的表达式．
（3）在平面直角坐标系内，直线下方是否存在一点，使得是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标，不存在，请说明理由．
13．已知，如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交于点C，与y轴交于点B，点A为y轴正半轴上的一点，将△ABC绕着顶点B旋转后，点C的对应点C’落在y轴上，点A的对应点A’恰好落在反比例函数 的图像上．
（1）求的面积；
（2）如果的值为6 (即反比例函数为)，求点的坐标；
（3）如果四边形是梯形，求的值．
14．如图，在直角坐标平面内，点是坐标原点，点坐标为，将直线绕点顺时针旋转后得到直线．
（1）求直线的表达式；
（2）求的值；
（3）在直线上有一点，其纵坐标为1．若轴上存在点，使是等腰三角形，请直接写出满足要求的点的坐标．
15．已知：如图，在中，，，，AD平分，交BC边于点D．点E是边AB上一动点（与点A、B不重合）．过点E作，垂足为点G，与射线AC交于点F．
（1）当点F在边AC上时，
①求证：；
②设，，求y与x之间的函数解析式并写出定义域．
（2）当是等腰三角形时，求BE的长．
16．如图，正方形ABCD的顶点A、B落在x轴正半轴上，点C落在正比例函数y＝kx（k＞0）上，点D落在直线y＝2x上，且点D的横坐标为a．
（1）直接写出A、B、C、D各点的坐标（用含a的代数式表示）；
（2）求出k的值；
（3）将直线OC绕点O旋转，旋转后的直线将正方形ABCD的面积分成1：3两个部分，求旋转后得到的新直线解析式．
17．已知：如图，在直角坐标平面中，点在轴的负半轴上，直线经过点，与轴相交于点，点是点关于原点的对称点，过点的直线轴，交直线于点，如果．
（1）求直线的表达式；
（2）如果点在直线上，且是等腰三角形，请求出点的坐标．
18．浦东新区在创建文明城区的活动中，有两段长度相等的彩色道砖路面的铺设任务，分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工.如图是反映所铺设的彩色道砖路面的长度（米）与施工时间（时）之间关系的部分图像.请根据题意回答下列问题：
（1）甲队每小时施工_________米；
（2）乙队在时段内，与之间的函数关系式是_________；
（3）在时段内，甲队比乙队每小时快_________米；
（4）如果甲队施工速度不变，乙队在小时后，施工速度增加到米/时，结果两队同时完成了任务.则甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖路面的长度为_________米.
19．如图，在平面直角坐标系中，点A（4,0），点B（0,6），点P是直线AB上的一个动点，已知点P的坐标为（m,n）.
(1)当点P在线段AB上时（不与点A、B重合）
①当m=2,n=3时，求△POA的面积.
②记△POB的面积为S，求S关于m的函数解析式，并写出定义域.
（2）如果S△BOP：S△POA=1:2,请直接写出直线OP的函数解析式.（本小题只要写出结果，不需要写出解题过程）.
20．观摩、学习是我们生活的一部分，而在观摩中与展览品保持一定的距离是一种文明的表现．某学校数学业余学习小组在平面直角坐标系xOy有关研讨中，将到线段PQ所在的直线距离为的直线，称为直线PQ的“观察线”，并称观察线上到P、Q两点距离和最小的点L为线段PQ的“最佳观察点”．
(1)如果P(1，)，Q(4，)，那么在点A(1，0)，B(，2)，C(，3)中，处在直线PQ的“观察线”上的是点　 　；
(2)求直线y＝x的“观察线”的表达式；
(3)若M(0，﹣1)，N在第二象限，且MN＝6，当MN的一个“最佳观察点”在y轴正半轴上时，直接写出点N的坐标；并按逆时针方向联结M、N及其所有“最佳观察点”，直接写出联结所围成的多边形的周长和面积．
21．已知一次函数的图像与轴、轴分别交于点B、A．以AB为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，且∠ABC=90°，BA=BC，作OB的垂直平分线l,交直线AB与点E，交x轴于点G.
（1）求点的坐标；
（2）在OB的垂直平分线l上有一点M,且点M与点C位于直线AB的同侧，使得,求点M的坐标；
（3）在（2）的条件下，联结CE、CM，判断△CEM的形状，并给予证明；
22．如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别相交于点A、B，再将△A0B沿直钱CD折叠，使点A与点B重合．折痕CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
（1）点A的坐标为　　；点B的坐标为　　；
（2）求OC的长度，并求出此时直线BC的表达式；
（3）直线BC上是否存在一点M，使得△ABM的面积与△ABO的面积相等？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23．如题，，点是边的中点，点是边上的一个动点，作交于点，的延长线交线段于点.
（1）如图①，当点于点重合时，求证：；
（2）设，梯形的面积为，求与的函数解析式，并写出定义域.
24．某地A、B两村盛产柑橘，A村有柑橘200吨，B村有柑橘300吨，现将这些柑橘运到C、D两个冷藏仓库．已知C仓库可储存240吨，D仓库可储存260吨，从A村运往C、D两处的费用分别为每吨20元、25元，从B村运往C、D两处的费用分别为每吨15元、18元．设从A村运往C仓库的柑橘重量为x吨，A、B两村运往两仓库的柑橘运输费用分别为yA元、yB元．
(1)请填写下表，并求出yA、yB与x之间的函数表达式；
(2)试讨论A、B两村中，哪个村的运费较少；
(3)考虑到B村的经济承受能力，B村的柑橘运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两村运费之和最小？求出这个最小值．
25．如图，在平面直角坐标系中,直线经过点且与直线： 平行，直线与轴、轴分别交于点B、C．
（1）求直线l1的表达式及其与轴的交点D的坐标；
（2）判断四边形ABCD是什么四边形？并证明你的结论；
（3）若点E是直线AB上一点，平面内存在一点F，使得四边形CBEF是正方形，求点E的坐标，请直接写出答案.
26．如图，已知一次函数的图像与x轴、轴分别交于点A、B，且BC∥AO，梯形AOBC的面积为10．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）求直线AC的表达式．
27．某校八年级举行“生活中的数学”数学小论文比赛活动，购买A、B两种笔记本作为奖品，这两种笔记本的单价分别是12元和8元，根据比赛设奖情况，需要购买两种笔记本共30本，若学校决定购买本次笔记本所需资金不能超过280元，设买A种笔记本x本．
（1）根据题意完成以下表格（用含x的代数式表示）
（2）那么最多能购买A笔记本多少本？
（3）若购买B笔记本的数量要小于A笔记本的数量的3倍，则购买这两种笔记本各多少本时，费用最少，最少的费用是多少元？
28．已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线AE的表达式；
（3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．
（4）若将已知条件“AE平分∠BAO，交x轴于点E”改变为“点E是线段OB上的一个动点（点E不与点O、B重合）”，过点B作BF⊥AE，垂足为F．设OE=x，BF=y，试求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域．
29．如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴，y轴的垂线相交于B点，且OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个实数根．
（1）求C点坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）在直线MN上存在点P，使以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．
30．已知一次函数y=-x+6的图象与坐标轴交于A、B点（如图），AE平分∠BAO，交x轴于点E．
（1）求点B的坐标；
（2）求直线AE的表达式；
（3）过点B作BF⊥AE，垂足为F，连接OF，试判断△OFB的形状，并求△OFB的面积．
答案
一、单选题
1．B
【分析】根据题意建立直角坐标系，作B关于l的对称点C，连接AC，则AC与l的交点即为所求点P，接着写出直线AC与直线l的函数解析式，联立得到关于P点坐标x、y的二元一次方程组，解方程组即可得到P点坐标．　
【详解】解：如图，由题意可建立直角坐标系，作B关于l的对称点C，连接AC，则AC与l的交点即为所求点P，
由图可写出l的函数解析式为y=-1，
设直线AC的函数为y=kx+b，则把A、C坐标代入可得：，
解之可得：k=-1，b=1，
∴直线AC的函数为y=-x+1，
∴有，解之得：x=2，y=-1，
∴P点坐标为（2，-1），
故选B ．
2．B
【分析】由函数图象求出、解析式，再把代入解析式就可以求出小张、小王所用时间．
【详解】解：由图象可知：
设的解析式为：，
经过点，
，
得，
函数解析式为：①，
把代入①得：，
解得：，
小张到达乙地所用时间为96（分钟）；
设的解析式为：，
，
解得：，
的解析式为：②，
把代入②得：，
解得：，
则小王到达乙地的时间为小张出发后90（分钟），
小王比小张早到（分钟），
故选：B．
3．B
【分析】先根据一次函数的解析式可得，设点P的坐标为，从而可得，再根据三角形的周长公式可得周长为，然后根据垂线段最短可得当时，OP取得最小值，最后利用等腰直角三角形的判定与性质求出OP的最小值即可得．
【详解】对于一次函数，
当时，，解得，即，，
当时，，即，，
由题意，设点P的坐标为，
则，
因此，周长为，
要使周长最小，则只需OP取得最小值，
由垂线段最短可知，当时，OP取得最小值，
又，
是等腰直角三角形，，
此时，
周长的最小值为，
故选：B．
4．D
【分析】如图（见解析），先根据轴对称的性质可得，再根据三角形的周长公式、两点之间线段最短可得周长的最小值为FG的长，然后根据直线AB的解析式求出点B的坐标，从而可得点C、G的坐标，最后根据等腰直角三角形的判定与性质可得点F的坐标，据此利用两点之间的距离公式即可得出答案．
【详解】如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF、EG、BF，
由轴对称的性质得：，
周长为，
由两点之间线段最短得：当点在同一直线上时，取得最小值，最小值为FG的长，
对于一次函数，
当时，，解得，即，
当时，，即，
，
点C为OB的中点，
，
点G为点C关于AO的对称点，
，
又，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，，即轴，
，
则，
即周长的最小值是，
故选：D．
5．C
二、填空题
6．
【分析】根据点A，，，…，都在直线上先求出，再根据点，，…都在直线上，求出，由在轴上，且……，以为直角边在两条直线内部作等腰直角三角形，得到的横坐标为2，同理依次类推，得出 ，，，最后算出面积即可．
【详解】解：当x=0时，，，
∴，
∵，
∴的横坐标为2，
∴，
∴，
∵，
∴的横坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴的横坐标为，
∴，
∴，
∴，，，
∴ ，，，
∴=，
=
=,
故答案为：．
7．1
【解析】分析：先求出直线AB的解析式，根据直线AB与直线CD的k值相等可得出它们平行，根据平行线间的距离处处相等可得出，即可得出答案.
详解：设直线AB的解析式为，
∵A的坐标是（2，0）、点B的坐标是（0，2）、
∴，
解得，
∴直线AB的解析式为，
∵直线CD的解析式为y=-x+3，
∴AB//CD，
∴，
∵点A的坐标是（2，0）、点B的坐标是（0，2）、点C的坐标是（0，3），
∵BC=1，AO=2，
∴，
∴
故答案为：1.
8．
【分析】过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为，，A2的横坐标为， A3的横坐标为，进而得到An的横坐标为，据此可得点A10的横坐标．
【详解】解：如图所示,过A1作A1A⊥OB1于A,则OA=OB1=，
即A1的横坐标为=，
∵°，
∴∠OB1D=30°，
∵A1B2//x轴，
∴∠A1B2B1=∠OB1D=30°,∠B2A1B1=∠A1B1O=60°，
∴∠A1B1B2=90°，
∴A1B2=2A1B1=2，
过A2作A2B⊥A1B2于B,则A1B=A1B2=1，
即A2的横坐标为+1=，
过A3作A3C⊥A2B3于C，
同理可得,A2B3=2A2B2=4,A2C=A2B3=2，
即A3的横坐标为+1+2=，
同理可得,A4的横坐标为+1+2+4=，
由此可得,An的横坐标为，
∴点A10的横坐标是，
故答案为.
9．
【分析】（1）可作点C关于射线AM的对称点C1，点C关于射线AN的对称点C2．连接C1C2．利用两点之间线段最短，可得到当B、D两点与C1、C2在同一条直线上时，△BCD的周长最小，最小值为线段C1C2的长．
（2）根据（1）的作图可知四边形AC1CC2的对角互补，结合轴对称可得∠BCD＝90°．利用勾股定理得到CB2+CD2＝BD2＝（）2，因为CB+CD＝4﹣，可推出CB CD的值，进而求出三角形的面积．
【详解】（1）∵直线y＝与x轴、y轴分别交于C、A两点，把y=0代入，解得x=2，把x=0代入，解得y=2，
∴点C的坐标为（2，0），点A的坐标为（0，2）．
∴AC＝4．
作点C关于射线AM的对称点C1，点C关于射线AN的对称点C2．由轴对称的性质，可知CD＝C1D，CB＝C2B．
∴CB+BD+CD＝C2B+BD+C1D＝C1C2连接AC1、AC2，
可得∠C1AD＝∠CAD，∠C2AB＝∠CAB，AC1＝AC2＝AC＝4．
∵∠DAB＝45°，
∴∠C1AC2＝90°．
连接C1C2．，
∵两点之间线段最短，
∴当B、D两点与C1、C2在同一条直线上时，△BCD的周长最小，最小值为线段C1C2的长．
∴△BCD的周长的最小值为4．
故答案为：4．
（2）根据（1）的作图可知四边形AECF的对角互补，其中∠DAB＝45°，因此，∠C2CC1＝135°．
即∠BCC2+∠DCC1+∠BCD＝135°，
∴2∠BCC2+2∠DCC1+2∠BCD＝270°①，
∵∠BC2C＝∠BCC2，∠DCC1＝∠DC1C，∠BC2C+∠DC1C+∠BCC2+∠DCC1+∠BCD＝180°，
∴2∠BCC2+2∠DCC1+∠BCD＝180°②，
①-②得，∠BCD＝90°．
∴CB2+CD2＝BD2＝（）2=，
∵CB+CD＝4﹣，
（CB+CD）2＝CB2+CD2+2CB CD，
∴2CB CD＝（CB+CD）2-（CB2+CD2）=
∴．
故答案为：
10．
【分析】首先由已知得到S△BFG＝2S△OEC，从而可得A、B横坐标的关系，再设A、B坐标代入y＝ x＋m，即可求解．
【详解】解：过点A、B分别作y轴和x轴的垂线，垂足分别为R、F，
设点M是AB的中点，
由，整理得：x2 mx＋6＝0，
由题意可得x2 mx＋6＝0有两个不相等的实数根分别设为x1，x2，
则x1＋x2＝m，y1＋y2＝ x1＋m x2＋m＝m，
则点M的坐标为（m，m），
设直线AB交x轴于点G，交y轴于点H，
对于y＝ x＋m，令x＝0，则y＝m，令y＝0，则x＝m，
∴点G、H的坐标分别为（m，0）、（0，m），
则点HG中点的坐标为（m，m），
即点M也为GH的中点，故AH＝BG，
∵AR∥x轴，
∴∠HAR＝∠BGF，
∵∠HRA＝∠BFG＝90°，
∴△HRA≌△BFG（AAS），
∴AR＝OC＝FG，
∴S△HRA＝S△BFG，
∵S△AEO＋S△OCE＋S△OCE＋S四边形ECFB＝|k|＋|k|＝6，
而阴影部分的面积＝S△AEO＋S四边形EBFC＋S△BFG＝6，
∴S△BFG＝2S△OEC，
即2××CO EC＝×BF FG，
而OC＝FG，
∴EC＝BF，
即EC是△OBF的中位线，
故设点A的坐标为（t， ），则点B（2t，），
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：，解得（不合题意的值已舍去），
故答案为：．
11．或或2
【分析】分三种情况讨论：①当∠ABD=90°时，证得△DBC≌△BAO，得出BC=OA，即4-b=2b，求得b=；②当∠ADB=90°时，作AF⊥CE于F，同理证得△BDC≌△DAF，得出BC=DF，即2b-4=4-b，求得b=；③当∠DAB=90°时，作DF⊥OA于F，同理证得△AOB≌△DFA，得出OA=DF，即2b=4，解得b=2．
【详解】解：①当∠ABD=90°时，如图1，则∠DBC+∠ABO=90°，
∴∠DBC=∠BAO，
由直线交线段OC于点B，交x轴于点A可知OB=b，OA=2b，
∵点C（0，4），
∴OC=4，
∴BC=4-b，
在△DBC和△BAO中，
，
∴△DBC≌△BAO（AAS），
∴BC=OA，
即4-b=2b，
∴b=，
②当∠ADB=90°时，如图2，作AF⊥CE于F，
同理证得△BDC≌△DAF，
∴CD=AF=4，BC=DF，
∵OB=b，OA=2b，
∴BC=DF=2b-4，
∵BC=4-b，
∴2b-4=4-b，
∴b=；
③当∠DAB=90°时，如图3，作DF⊥OA于F，
同理证得△AOB≌△DFA，
∴OA=DF，
∴2b=4，
∴b=2；
综上，b的值为或或2，
故答案为：或或2．
三、解答题
12．解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点，
，，
，，
；
（2）如图，
，，
，，
在中，，
点是线段的中点，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
，
点的坐标为，
设直线的表达式为，将代入得：，解得：，
直线的表达式为；
（3）分别过点，点作的垂线，在直线下方截取，，连接，交于，
，，，，
、是等腰直角三角形，
，
，，
是等腰直角三角形，
过点，作轴于，轴于，
，，
，
，，
，
，，
，
点的坐标，
同理点的坐标，
，
点的坐标，，即，
综上，点的坐标为或或．
13．
解：（1）因为直线，
令x=0，则y=-4，令y=0，则x=-2，
，，
，，
△的面积；
（2）设A′B与x轴的交点为D，由题意可知D（2，0），
设直线A′B的解析式为y=kx-4，
把D（2，0）代入得0=2k-4，
解得k=2，
∴直线A′B的解析式为y=2x-4，
由，解得：或，
∴点A′的坐标是（3，2）；
（3）若四边形为梯形，由于点在轴的正半轴．
①证明与不平行；
∵，在中，
令，则，
又，
则，
（由于在中，，即，
所以与不平行；
②当时，可得，
即，，
又，，
所以，
过作垂线，垂足为，过作垂线，垂足为，
∵BC=，AB=8，OC=2，
∴AM==，
∴BM==，
∴，
由旋转易得△，
，，
又，
∴，
，，
又点在反比例函数图象上，
．
14．（1）设直线OA的解析式为y=mx，将点A坐标代入，得
3m=4，
解得m=，
∴直线OA的解析式为y=x；
（2）如图，作AE⊥OA交直线y=kx于E，AD⊥x轴于D，EH⊥AD于H，
∵∠AOE=，∠OAE=，
∴∠AEO=∠AOE=，
∴OA=AE，
∵AD⊥x，，EH⊥AD，
∴∠ADO=∠AHE=∠OAE=，
∴∠OAD+∠HAE=∠HAE+∠AEH=，
∴∠OAD=∠AEH，
∴△OAD≌△AEH，
∴AH=OD=3，EH=AD=4，
∴HD=1，
∴点E的坐标为（7,1），
将点E的坐标代入y=kx中，得7k=1，
解得k=；
（3）∵点B在直线y=x上，纵坐标为1，
∴点B与点E重合，即B（7,1），
∵A（3，4），B（7,1），
∴AB=，
分三种情况：
①当AC=BC时，作CM⊥AB，则AM=BM，
∴M(5，2.5)，
∵CM∥OA，
∴设直线CM的解析式为y=x+n，
∴，
解得n=，
∴y=x，
当y=0时，x=0，解得x=，
∴点C的坐标为（，0）；
②当AB=AC=5时，
∵OA=AB，
∴AC=OA，
∴OC=6，
∴点C的坐标为（6,0）；
③当AB=BC=5时，作BN⊥x轴于N，
∵ON=7，BN=1，BC=5，
∴CN==，
∴OC=ON+CN=，
∴点C的坐标为（，0），
综上，当△ABC是等腰三角形时，点C的坐标为（，0）或（6,0）或（，0）．
．
15．
（1）①∵，，
∴∠BAC=60°，
∵AD平分，
∴∠FAG=∠EAG，
∵，
∴∠AGF=∠AGE=90°，
又∵AG=AG，
∴ AGF AGE，
∴FG=EG，
∴AD垂直平分FE，
∴DE=DF；
②∵在中，，，，
∴AB=2AC=12，
（a）当点F在线段AC上时，如图，
∵，，
∴AE=12-x，
∵ AGF AGE，
∴AF=AE=12-x，
∴y=6-(12-x)=x-6，
∵0＜AF≤6，
∴0＜12-x≤6，
∴6≤x＜12；
（b）当点F在AC的延长线上时，如图，
∵，，
∴AF=AE=12-x，
∴y=12-x-6=6-x，
∵6＜AF，
∴6＜12-x，
∴0＜x＜6；
综上所述：y与x之间的函数解析式为：；
（2）①当是等腰三角形时，∠AFD是顶角，即FA=FD时，如图
∵，
∴AF=FD=6-y，
∵∠FAG=∠EAG=∠BAC=30°，
∴∠FDG=∠FAG=30°，
∵∠C=90°，∠ADC=90°-30°=60°，
∴∠CDF=30°，
∴DF=2CF，
∴6-y=2y，解得：y=2，
∴AF=6-2=4，
∴AE=AF=4，
∴BE=12-4=8；
②当是等腰三角形时，∠FAD是顶角，即FA=DA时，如图，
∵∠ACD=90°，∠CAD=30°，AC=6，
∴AD=2CD=2×（6÷）=4，
∴AE=AF=4，
∴BE=12-4；
③当是等腰三角形时，∠ADF是顶角，即DF=DA时，如图，
∵DC⊥AF，
∴CF=CA=6，
∴AF=12，
∴AE=AF=12，此时，点E与点B重合，舍去，
综上所述：BE=8或12-4．
16．解：（1）点D的横坐标为a，则点D（a，2a），
则AB＝AD＝2a，则点A、B、C的坐标分别为（a，0）、（3a，0）、（3a，2a），
故点A、B、C、D的坐标分别为（a，0）、（3a，0）、（3a，2a）、（a，2a）；
（2）将点C的坐标代入y＝kx得，2a＝3ak，
解得k＝；
（3）设AF＝m，则点F（a，m），设直线OC旋转后交AD于点F，交CD于点E，
则直线OF的表达式为，
当y＝2a时，y＝，
解得x=，
故点E（，2a），
由题意得：S△DEF＝S正方形ABCD＝，
即，
解得：m＝，
则函数的表达式为y＝＝（3±）x．
17．（1）对于
当时，，则点的坐标为
设
∵
在中，，
则有
解得，即
∴点的坐标为
∵直线经过点
∴，解得
故直线的表达式为；
（2）点是点关于原点的对称点
点的坐标为
设直线上的点坐标为
则
由等腰三角形的定义，分以下三种情况：
①当时，是等腰三角形
则，解得或
或
此时，点D的坐标为或
②当时，是等腰三角形
则，解得或
或
此时，点D的坐标为或（与点重合，不能构成三角形，舍去）
③当时，是等腰三角形
则，解得
此时，点的坐标为
综上，点的坐标为点或．
18．（1）甲每小时施工：606=10（米），
故答案为：10
（2）当时，设y=kx，
将（2，30）代入，得2k=30，
解得k=15，
故答案为：y=15x；
（3）当时，甲每小时的工作量为10米；
乙每小时的工作量为： （米），
∴甲队比乙队每小时快10-5=5米，
故答案为：5；
（4）设铺设的每条彩色道砖路面的长度为a米，
由题意得： ，
解得a=110，
经检验，a=110是原方程的解，
故答案为：110.
19．解：（1）如图，过P作PM⊥x轴，垂足为M，
∵A（4,0），P（2,3），
∴S△POA==.
（2）如图，过P作PN⊥y轴，垂足为N，
∵B（0,6），P（m,n），
∴S ==.
∵P在线段AB上（不与点A、B重合）
∴0∴S关于m的函数解析式为S=3m，0（3）如图，设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（4,0），B（0,6）代入，
，
解得， ，
∴直线AB的解析式为 ，
∴P（m, ）.
∵S△BOP：S△POA=1:2，∴S△POA=2 S△BOP
①当m≤0，即点P在第二象限时，
根据题意得，
解得，m= -4，
∴P（-4,12），
设直线OP解析式为y=ax，将P点代入，
-4a=12,
解得，a= -3，
∴直线OP解析式为y= -3x；
②当0根据题意得，
解得，m= ，
∴P（,4），
设直线OP解析式为y=ax，将P点代入，
a=4,
解得，a= 3，
∴直线OP解析式为y= 3x；
③当m>4，即点P在第四象限时，
根据题意得，
解得，m= -4（不符合题意，舍去） .
综上所述，直线OP的解析式为：y=3x或y= -3x
20．(1)如图1中，
由题意线段PQ的“观察线”的解析式为y＝0或y＝2，
∵点A在直线y＝0上，点B在直线y＝2上，
∴点A，点B是直线PQ的“观察线”上的点，
故答案为A，B．
(2)如图2中，设直线y＝x的下方的“观察线”MN交y轴于K，作KE⊥直线y＝x，
由题意：EK＝，
∵直线y＝x与x轴的夹角为30°，
∴∠EOK＝60°，
∴∠EKO＝30°，
∴tan30°＝＝，
∴OE＝1，
∴OK＝2OE＝2，
∵MN∥直线y＝x，
∴直线MN的解析式为y＝x﹣2，
根据对称性可知在直线y＝x上方的“观察线”PQ的解析式为y＝x+2．
综上所述，直线y＝x的“观察线”的解析式为y＝x﹣2或y＝x+2．
(3)如图3中，设点Q是MN的一个“最佳观察点”，点P是MN的中点．
当点Q在y轴的正半轴上时，连接PQ，则PQ垂直平分线线段MN．
在Rt△PQM中，PQ＝，PM＝3，
∴MQ＝＝2，
∵M(0，﹣1)，
OQ＝2﹣1，
作PH⊥y轴于H．
在Rt△PQH中，∵tan∠PQH＝＝，
∴∠PQH＝60°，
∴∠QPH＝30°，
∴QH＝PQ＝，PH＝QH＝，
∴OH＝2﹣1﹣＝﹣1，
∴P(﹣，﹣1)，
∵PN＝PM，
∴N(﹣3，3﹣1)．
观察图象可知：设此时的另一个“最佳观察点”为Q′，按逆时针方向联结M、N及其所有“最佳观察点”，所围成的图形是菱形MQNQ′，这个菱形的周＝8，这个菱形的面积＝×6×2＝6．
21．解：（1）过点C作x轴的垂线，交x轴于点H，
∵，
∴A（0，4），B（2，0），
∵BA=BC，
∴≌（ASA），
∴BH=AO=4,CH=OB=2，
∴C（6，2）
（2）如图，由题意可知点G（1，0），点E（1，2），
∵AB=BC=2，
∴，
∵，
∴，
而，
设M（1，a）,则，
解的a=7,
则M(1,7) ；
（3）联结CM,CE，
由于点E(1,2),C(6,2),M(1,7)，
则CE=5,EM=5,CM=，
可得：，
CE=EM，
∴是等腰直角三角形.
22．解：（1）令y=0，则x=4；令x=0，则y=3，
故点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3）．
故答案为（4，0），（0，3）；
（2）设OC=x，
∵直线CD垂直平分线段AB，
∴AC=CB=4﹣x，
∵∠BOA=90°，
∴OB2+OC2=CB2，
32+x2=（4﹣x）2，
解得
∴
∴设直线BC的解析式为y=kx+b，
则有
解得
∴直线BC的解析式为
（3）过点O作OM∥AB交直线BC于M．
∵OM∥AB，∴S△AOB=S△ABM，
∵直线AB的解析式为，OM∥AB，
∴直线OM的解析式为
由解得，∴M，
根据对称性可知，经过点O′（0，6）与直线AB平行的直线与直线BC的交点M′，也满足条件，易知BM′=BM，
设M′（m，n），则有
∴
∴M′
综上所述，满足条件的点M坐标为或．
23．(1)证明：∵EG⊥AM
∴∠BAM+∠ABG=90°,又∠CBF+∠ABG=90°
∴∠BAM=∠CBF
在△BAM和△CBF中，
∴△BAM≌△CBF
∴BM=CF
（2）解：作EH⊥CD于H,
由（1）得，△BAM≌△HEF,
∴HF=BM=2,
∴DF=4-2-x=2-x
24．(1)从左往右，从上往下依次填：(200－x)吨，(240－x)吨，(x＋60)吨．
yA＝20x＋25(200－x)＝5000－5x(0≤x≤200)，
yB＝15(240－x)＋18(x＋60)＝3x＋4680(0≤x≤200)．
(2)当yA＝yB，即5000－5x＝3x＋4680时，
解得：x＝40，所以当x＝40时，两村的运费一样多；
当yA＞yB，即5000－5x＞3x＋4680时，
解得：x＜40，所以当0≤x＜40时，B村的运费较少；
当yA＜yB，即5000－5x＜3x＋4680时，解得：x＞40，
所以当40＜x≤200时，A村的运费较少．
(3)由B村的柑橘运费不得超过4830元，得3x＋4680≤4830，
解得：x≤50．
两村运费之和w＝yA＋yB＝5000－5x＋3x＋4680＝9680－2x．
∵－2＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x＝50时，两村的运费之和最小，
∴调运方案为A村运往C仓库50吨柑橘，运往D仓库150吨柑橘，B村运往C仓库190吨柑橘，运往D仓库110吨柑橘，两村的费用之和最小，最小值为9680－2×50＝9580(元)．
25．解：（1）∵直线与直线： 平行，
∴设，
∵直线经过点，
∴，
∴，
∴，
当时，
，
解得，
∴.
（2）四边形ABCD是矩形.
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵，，
∴BD=AC，
∴平行四边形ABCD是矩形.
（3）如图所示，
点E坐标为：，.
26．解：（1）当x=0时，y=4,
∴B(0,4),
当y=0时，即2x+4=0，
解得，x=-2，
∴A(-2,0),
∴OA=2，OB=4，
∵梯形AOBC的面积为10，
∴ ．
解得，
∴点C（-3，4）.
（2）设直线AC的表达式为（），
则，解得
∴直线AC的表达式为．
27．解：（1）由题意，得
笔记本型号 A B
数量（本） x 30-x
价格（元/本） 12 8
售价（元） 12x 8（30-x）
（2）由题意，得
12x+8（30-x）≤280，
解得：x≤10．
∴最多能购买A笔记本10本；
（3）设购买两种笔记本的总费用为W元，由题意，得
W=12x+8（30-x）=4x+240．
30-x＜3x，
∴x＞7.5．
∵k=4＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴x=8时，W最小=272元．
28．解: （1）如图1中，
∵一次函数y=-x+6的图象与坐标轴交于A、B点，
∴A（0，6），B（8，0），设OE=x，作EM⊥AB于M．
∵AE平分∠OAB，OE⊥OA，
∴OE=EM=x，
在△AEO和△AEM中，
，
∴△AEO≌△AEM，
∴AM=AO=6，
∵OA=6，OB=8，∠AOB=90°，
∴AB=10，
∴BM=4，
在Rt△EBM中，∵EM2+BM2=EB2，
∴x2+42=（8-x）2，
∴x=3，
∴E（3，0），
设直线AE的解析式为y=kx+b则
，解得，
∴直线AE的解析式为y=-2x+6．
（2）由（1）可知OE=3，AE=，EB=5，
∵S△AEB= EB OA= AE BF，
∴BF=．
（3）如图2中，
在Rt△AOE中，，
∴AE=，
∵S△AEB= EB OA= AE BF，
∴BF=，
∴y=（0＜x＜8）．
29．
（1）解方程x2-14x+48=0得
x1=6，x2=8
∵OA，OC（OA＞OC）的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根
∴OC=6，OA=8
∴C（0，6）
（2）设直线MN的解析式是y=kx+b（k≠0）
由（1）知，OA=8，则A（8，0）
∵点A、C都在直线MN上
∴
解得，
∴直线MN的解析式为y=-x+6
（3）
∵A（8，0），C（0，6）
∴根据题意知B（8，6）
∵点P在直线MN y=-x+6上
∴设P（a，--a+6）
当以点P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需要分类讨论：
①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1（4，3）；
②当PC=BC时，a2+（-a+6-6）2=64
解得，a=±，则P2（-，），P3（，）
③当PB=BC时，（a-8）2+（-a+6-6）2=64
解得，a=，则-a+6=-
∴P4（，）
综上所述，符合条件的点P有：P1（4，3），P2(-，)，P3(，)，P4（，-）
30．（1）对于y=-x+6，
当x=0时，y=6；当y=0时，x=8，
∴OA=6，OB=8，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB=10，
则A（0，6），B（8，0）；
（2）过点E作EG⊥AB，垂足为G
∵AE平分∠BAO，EO⊥AO，EG⊥AG，
∴EG=OE，
在Rt△AOE和Rt△AGE中，
∴Rt△AOE≌Rt△AGE（HL），
∴AG=AO，
设OE=EG=x，则有BE=8-x，BG=AB-AG=10-6=4，
在Rt△BEG中，EG=x，BG=4，BE=8-x，
根据勾股定理得：x2+42=（8-x）2，
解得：x=3，∴E（3，0），
设直线AE的表达式为y=kx+b（k≠0），
将A（0，6），E（3，0）代入y=kx+b得： ，解得
则直线AE的表达式为y=-2x+6；
(3)延长BF交y轴于点K，
∵AE平分∠BAO，
∴∠KAF=∠BAF，
又BF⊥AE，
∴∠AFK=∠AFB=90°
∵AF=AF
∴△AFK≌△AFB，
∴FK=FB，即F为KB的中点，
又∵△BOK为直角三角形，
∴OF= BK=BF，
∴△OFB为等腰三角形，
过点F作FH⊥OB，垂足为H（如图所示），
∵OF=BF，FH⊥OB，
∴OH=BH=4，
∴F点的横坐标为4，
设F（4，y），将F（4，y）代入y=-2x+6，得：y=-2，
FH=|-2|=2，
则S△OBF= OB FH= ×8×2=8.