沪教版八年级数学下册试题 第22章《四边形》复习题（含解析）

第22章《四边形》复习题
一．选择题
1．已知在四边形ABCD中，AB∥CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．AD＝BC B．AC＝BD C．∠A＝∠C D．∠A＝∠B
2．已知向量、满足||＝||，则（　　）
A．＝ B．＝﹣
C．∥ D．以上都有可能
3．已知点C是线段AB的中点，下列结论中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
5．下列判断不正确的是（　　）
A．如果＝，那么||＝||
B．+＝+
C．如果非零向量＝k （k≠0），那么与平行或共线
D．+＝0
6．如果一个正多边形的每一个外角都是45°，那么这个正多边形的内角和为（　　）
A．360° B．720° C．1080° D．1440°
7．在四边形ABCD中，AD∥BC，下列选项中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　）
A．AD＝BC且AC＝BD B．AD＝BC且∠A＝∠B
C．AB＝CD且∠A＝∠C D．AB＝CD且∠A＝∠B
二．填空题
8．如果一个多边形的每个外角都是60°，那么这个多边形内角和的度数为 　 　．
9．一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形是 　 　边形．
10．已知：在平行四边形ABCD中，设＝，＝，那么＝　 　（用向量、的式子表示）．
11．已知一个梯形的中位线长为5cm，其中一条底边的长为6cm，那么该梯形的另一条底边的长是　 　cm．
12．菱形ABCD中，已知AB＝4，∠B＝60°，那么BD的长是　 　．
13．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，若AD＝2，BC＝4，则该梯形的面积为　 　．
14．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝6，BC＝10，则EF的长为　 　．
15．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，它恰好能按图示方式被分割成四个全等的直角梯形，则AB：BC＝　 　．
16．如果菱形边长为13，一条对角线长为10，那么它的面积为　 　．
17．在四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABD＝∠CDB，要使四边形ABCD是平行四边形只须添加一个条件，这个条件可以是　 　（只需写出一种情况）．
三．解答题
18．已知在四边形ABCD中，AD＝BC，∠D＝∠DCE．求证：四边形ABCD是平行四边形．
19．如图，已知四边形ABCD是矩形，点E在对角线AC上，点F在边CD上（点F与点C、D不重合），BE⊥EF，且∠ABE+∠CEF＝45°．
求证：四边形ABCD是正方形；
20．如图，已知△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC、AE分别交于点O、点E，联结EC．
（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；
（2）当∠BAC＝90°时，求证：四边形ADCE是菱形．
21．如图，已知△ABC中，点D为边AC的中点，设，，
（1）试用向量，表示下列向量：＝　 　；＝　 　；
（2）求作：、．
（保留作图痕迹，不要求写作法，写出结果）．
22．如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE＝∠BAD，AE⊥AC
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）如果DA平分∠BDE，AB＝5，AD＝6，求AC的长．
23．如图，已知：在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF．求证：
（1）△AEH≌△CGF；
（2）四边形EFGH是菱形．
24．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当线段AB与线段AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
25．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG＝AE，连接CG．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形？请说明理由．
26．如图，D、E是△ABC边AB上的点，F、G分别是边AC、BC上的点，且满足AD＝DE＝EB，DF∥BC，EG∥AC．
（1）求证：FG∥AB；
（2）设＝，＝，请用向量、表示．
27．已知：如图，点E、G在平行四边形ABCD的边AD上，EG＝ED，延长CE到点F，使得EF＝EC．求证：AF∥BG．
28．如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（﹣6，8）．矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．
（1）求点D的坐标；
（2）若点N是平面内任一点，在x轴上是否存在点M，使M、N、E、O为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
29．在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝45°，AB＝8，BC＝14，点E、F分别在边AB、CD上，EF∥AD，点P与AD在直线EF的两侧，∠EPF＝90°，PE＝PF，射线EP、FP与边BC分别相交于点M、N，设AE＝x，MN＝y．
（1）求边AD的长；
（2）如图，当点P在梯形ABCD内部时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）如果MN的长为2，求梯形AEFD的面积．
30．如图，在平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC上一点，且AB＝AE，连接EO并延长交AD于点F．过点B作AE的垂线，垂足为H，交AC于点G．
（1）若AH＝3，HE＝1，求△ABE的面积；
（2）若∠ACB＝45°，求证：DF＝CG．
答案
一．选择题
1．
【分析】利用平行线的判定与性质结合平行四边形的判定得出即可．
【解答】解：如图所示：∵AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
当∠A＝∠C时，则∠A+∠B＝180°，
故AD∥BC，
则四边形ABCD是平行四边形．
故选：C．
2．
【分析】利用单位向量的定义和性质直接判断即可．
【解答】解：若向量、满足||＝||，
可得：＝，或＝﹣，或∥，
故选：D．
3．
【分析】根据题意画出图形，因为点C是线段AB的中点，所以根据线段中点的定义解答．
【解答】解：A、＝，故本选项错误；
B、＝，故本选项正确；
C、+＝，故本选项错误；
D、+＝，故本选项错误．
故选：B．
4．
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2） 180°和外角和定理列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设多边形的边数为n，
由题意得，（n﹣2） 180°＝2×360°，
解得n＝6，
所以，这个多边形是六边形．
故选：D．
5．
【分析】根据模的定义，可确定A正确；根据平面向量的交换律，可判定B正确，又由如果非零向量非零向量＝k （k≠0），那么∥，可得C正确；利用相反向量的知识，可判定D错误．
【解答】解：A、如果＝，那么||＝||，故此选项正确；
B、+＝+，故本选项正确；
C、如果非零向量＝k （k≠0），那么与平行或共线，故此选项正确；
D、+＝，故此选项错误；
故选：D．
6．
【分析】多边形的外角和是360度，即可得到外角的个数，即多边形的边数．根据多边形的内角和定理即可求解．
【解答】解：多边形的边数是：360÷45＝8．
则内角和是：（8﹣2）×180°＝1080°．
故选：C．
7．
【分析】由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；
B、∵AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠B＝∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，AB＝CD，故选项C符合题意；
D、∵AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，AB的长为AD、BC间的距离，
又∵AB＝CD，
∴CD⊥AD，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故选项D不符合题意；
故选：C．
二．填空题
8．
【分析】根据正多边形的性质，边数等于360°除以每一个外角的度数，然后利用多边形的内角和公式计算内角和即可．
【解答】解：∵一个多边形的每个外角都是60°，
∴n＝360°÷60°＝6，
则内角和为：（6﹣2） 180°＝720°，
故答案为：720°．
9．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据内角和公式得出（n﹣2）×180°＝1440，求出方程的解即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2）×180°＝1440°，
解得：n＝10，
即这个多边形是10边形，
故答案为：10．
10．
【分析】由在平行四边形ABCD中，可得＝＝，即可得＝﹣，＝﹣，又由＝+，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝﹣，＝﹣，
∴＝+＝﹣﹣．
故答案为：﹣﹣．
11．
【分析】根据梯形的中位线等于梯形两底和的一半进行计算即可．
【解答】解：设梯形的另一条底边为xcm，
由题意得：6+x＝2×5，
解得x＝4．
即梯形的另一条底边的长为4cm．
故答案为：4．
12．4．
13．
【分析】过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，作DF⊥BC于F，证平行四边形ADEC，推出AC＝DE＝BD，∠BDE＝90°，根据等腰三角形性质推出BF＝DF＝EF＝BE，求出DF，根据梯形的面积公式求出即可．
【解答】解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，
∵AD∥BC（已知），
即AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD＝CE＝2，AC＝DE，
在等腰梯形ABCD中，AC＝DB，
∴DB＝DE（等量代换），
∵AC⊥BD，AC∥DE，
∴DB⊥DE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
作DF⊥BC于F，
则DF＝BE＝3，
S梯形ABCD＝（AD+BC） DF＝（2+4）×3＝9．
故答案为：9．
14．
【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出DF，计算即可．
【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝5，
∵∠AFB＝90°，D是AB 的中点，
∴DF＝AB＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝2，
故答案为：2
15．：1．
16．
【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是5．根据勾股定理，得要求的对角线的一半是12，则另一条对角线的长是24，进而求出菱形的面积．
【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝13，AC＝10，
∵对角线互相垂直平分，
∴∠AOB＝90°，AO＝5，
在Rt△AOB中，BO＝＝12，
∴BD＝2BO＝24．
∴则此菱形面积是＝120，
故答案为：120．
17．
【分析】用反推法，如果四边形ABCD是平行四边形，会推出什么结论，那么这些结论就是我们要添加的条件．
【解答】解：∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添AB＝CD，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可使四边形ABCD是平行四边形；或添AD∥BC，根据由两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可使四边形ABCD是平行四边形．
三．解答题
18．证明：∵∠D＝∠DCE，
∴AD∥BC，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
19．证明：（1）如图，作EM⊥BC于点M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB⊥BC，
∴EM∥AB，
∴∠ABE＝∠BEM，∠BAC＝∠CEM，
∵∠ABE+∠CEF＝45°，
∴∠BEM+∠CEF＝45°，
∵BE⊥EF，
∴∠CEM＝45°＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
∴矩形ABCD是正方形；
20.（1）证明：∵AE∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，
∵AD是边BC上的中线，
∴BD＝DC，
∴AE＝DC，
又∵AE∥BC，
∴四边形ADCE是平行四边形，
（2）∵∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线．
∴AD＝CD，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形，
21．
【解答】解：（1），
，
（2）作图
如图1：＝，如图2：＝．
22．（1）证明：∵∠ADE＝∠BAD，
∴AB∥DE，
∵AE⊥AC，BD⊥AC，
AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形；
（2）解：∵DA平分∠BDE，
∴∠AED＝∠BDA，
∴∠BAD＝∠BDA，
∴BD＝AB＝5，
设BF＝x，则DF＝5﹣x，
∴AD2﹣DF2＝AB2﹣BF2，
∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，
∴x＝，
∴AF＝＝，
∴AC＝2AF＝．
23．
【解答】（1）证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
在△AEH与△CGF中，
，
∴△AEH≌△CGF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D．
又∵AE＝CG，AH＝CF，
∴BE＝DG，BF＝DH，
在△BEF与△DGH中，
∴△BEF≌△DGH（SAS），
∴EF＝GH．
又由（1）知，△AEH≌△CGF，
∴EH＝GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴HG∥EF，
∴∠HGE＝∠FEG，
∵EG平分∠HEF，
∴∠HEG＝∠FEG，
∴∠HEG＝∠HGE，
∴HE＝HG，
∴四边形EFGH是菱形．
24．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
∵EG＝AE，OA＝OC，
∴OE是△ACG的中位线，
∴OE∥CG，
∴EF∥CG，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
25．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，OB＝OD，OA＝OC，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵点E，F分别为OB，OD的中点，
∴BE＝OB，DF＝OD，
∴BE＝DF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）解：当AC＝2AB时，四边形EGCF是矩形；理由如下：
∵AC＝2OA，AC＝2AB，
∴AB＝OA，
∵E是OB的中点，
∴AG⊥OB，
∴∠OEG＝90°，
同理：CF⊥OD，
∴AG∥CF，
∴EG∥CF，
由（1）得：△ABE≌△CDF，
∴AE＝CF，
∵EG＝AE，
∴EG＝CF，
∴四边形EGCF是平行四边形，
∵∠OEG＝90°，
∴四边形EGCF是矩形．
26．（1）证明：∵AD＝DE＝EB，
∴＝＝，
∵DF∥BC，EG∥AC，
∴＝＝，，
∴，
∴FG∥AB；
（2）解：∵DF∥BC，FG∥AB，
∴，，
∴FG＝AB，
∵与同向，
∴＝，
∵＝，＝，
∴＝﹣，
∴＝．
27．证明：连接FG，FD，GC．
∵EG＝ED，EF＝EC，
∴四边形FGCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∴FG∥DC，FG＝DC（平行四边形对边相等且平行），
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴AB∥FG，AB＝FG，
∴四边形ABGF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴AF∥BG．
28．解：（1）∵四边形ABCO是矩形，点B的坐标是（﹣6，8）．
∴∠BAD＝∠OCB＝90°，AB＝OC＝6，OA＝BC＝8，
∴BO＝＝10；
由折叠的性质得：BE＝AB＝6，∠BED＝∠BAD＝90°，DE＝AD，
∴OE＝BO﹣BE＝10﹣6＝4，∠OED＝90°，
设D（0，a），则OD＝a，DE＝AD＝OA﹣OD＝8﹣a，
在Rt△EOD中，由勾股定理得：DE2+OE2＝OD2，
即（8﹣a）2+42＝a2，解得：a＝5，
∴D（0，5）；
（2）存在，点M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）或（﹣，0）或（﹣，0）；理由如下：
①当OM、OE都为菱形的边时，OM＝OE＝4，
∴M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）；
②当OM为菱形的边，OE为对角线时，MN垂直平分OE，垂足为G，如图1所示：
则OG＝OE＝2，
∵OA＝8，OD＝5，
∴AD＝DE＝3，
∴E到y轴的距离＝＝＝，
∴OH＝，
∵EM2﹣MH2＝42﹣（）2，
∴OM2﹣（OM﹣）2＝42﹣（）2，
解得：OM＝，
∴M（﹣，0）；
③当OM为菱形的对角线，OE为边时，如图2所示：
同②得：M（﹣，0）；
综上所述，在x轴上存在点M，使以M、N、E、O为顶点的四边形是菱形，点M的坐标为（4，0）或（﹣4，0）或（﹣，0）或（﹣，0）．
29．解：（1）过D作DH⊥BC，DH与EF、BC分别相交于点G、H，
∵梯形ABCD中，∠B＝90°，
∴DH∥AB，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABHD是矩形，
∵∠C＝45°，
∴∠CDH＝45°，
∴CH＝DH＝AB＝8，
∴AD＝BH＝BC﹣CH＝6．
（2）∵DH⊥EF，∠DFE＝∠C＝∠FDG＝45°，
∴FG＝DG＝AE＝x，
∵EG＝AD＝6，
∴EF＝x+6，
∵PE＝PF，EF∥BC，
∴∠PFE＝∠PEF＝∠PMN＝∠PNM，
∴PM＝PN，
过点P作QR⊥EF，QR与EF、MN分别相交于Q、R，
∵∠MPN＝∠EPF＝90°，QR⊥MN，
∴PQ＝EF＝，PR＝MN＝，
∵QR＝BE＝8﹣x，
∴，
∴y关于x的函数解析式为y＝﹣3x+10．定义域为1≤x＜．
（3）当点P在梯形ABCD内部时，由MN＝2及（2）的结论得2＝﹣3x+10，AE＝，
∴（AD+EF） AE＝，
当点P在梯形ABCD外部时，由MN＝2及与（2）相同的方法得：，AE＝x＝4，
∴（AD+EF） AE＝．
30．解：（1）∵AH＝3，HE＝1，
∴AB＝AE＝4，
又∵Rt△ABH中，BH＝＝，
∴S△ABE＝AE×BH＝×4×＝；
（2）如图，过A作AM⊥BC于M，交BG于K，过G作GN⊥BC于N，则∠AMB＝∠AME＝∠BNG＝90°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠MAC＝∠NGC＝45°，
∵AB＝AE，
∴BM＝EM＝BE，∠BAM＝∠EAM，
又∵AE⊥BG，
∴∠AHK＝90°＝∠BMK，而∠AKH＝∠BKM，
∴∠MAE＝∠NBG，
设∠BAM＝∠MAE＝∠NBG＝α，则∠BAG＝45°+α，∠BGA＝∠GCN+∠GBC＝45°+α，
∴AB＝BG，
∴AE＝BG，
在△AME和△BNG中，
，
∴△AME≌△BNG（AAS），
∴ME＝NG，
在等腰Rt△CNG中，NG＝NC，
∴GC＝NG＝ME＝BE，
∴BE＝GC，
∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠OAF＝∠OCE，∠AFO＝∠CEO，
∴△AFO≌△CEO（AAS），
∴AF＝CE，
∴AD﹣AF＝BC﹣EC，即DF＝BE，
∴DF＝BE＝CG．