沪教版九年级数学下册试题 期末测试卷（能力提升）（含解析）

期末测试卷（能力提升）
一、选择题（每小题4分，共24分）
1.已知半径为3的⊙O上一点P和⊙O外一点Q，如果OQ＝5，PQ＝4，则PQ与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．位置不定
2.学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下：
姓名 读 听 写
小莹 92 80 90
若把读、听、写的成绩按5：3：2的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（　　）
A．86 B．87 C．88 D．89
3.如图，BC是⊙O的直径，点A在圆上，连接AO，AC，∠AOB＝62°，则∠ACB的度数为（　　）
A．28° B．31° C．32° D．59°
4.如图，在平行四边形ABCD中，BC＝5，S ABCD＝10，以顶点C为圆心，BC为半径作圆，则AD边所在直线与⊙C的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上三种都有可能
5.如图，C是以AB为直径的半圆O上一点，连结AC，BC，分别以AC、BC为直径作半圆，其中M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q．若MP+NQ＝7，AC+BC＝26，则AB的长是（　　）
A．17 B．18 C．19 D．2
6.如图，等边△OAB的边长为1，以O为圆心，CD为直径的半圆经过点A，连接AD，BC相交于点P，将等边△OAB从OA与OC重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转120°，交点P运动的路径长是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题4分，共48分）
7.在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标为（4，8），半径为5，那么x轴与⊙P的位置关系是　　　　
8.如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，其半径为3．图中阴影部分的面积是　　　．
9.已知一组数据1，a，3，2，4，它的平均数是3，这组数据的方差是　　．
10.一只不透明的袋子中装有若干个红球和9个白球，这些球除颜色外都相同．小明每次从中任意摸出1个球，记下颜色后将球放回并搅匀，通过多次重复试验，算得摸到白球的频率为60%，则估计这只袋子中红球的个数为　　．
11.如图，PA，PB，EF分别切⊙O于A，B，D，若PA＝15cm，那么△PEF周长是　　　cm．
12.如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，∠BCD＝25°，∠ABC＝　　　°．
13.2023年9月，我校第10届书香文化节全面推进，全校形成了良好的人文阅读风尚．在初一年级随机调查了部分学生平均每天的阅读时间，统计结果如图所示，则在本次调查中阅读时间的中位数是　　小时．
14.如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，C在AB上，过C的切线分别交PA、PB于点D、E．若PB＝10，则△PDE的周长为　　　．
15.如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的圆O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF＝∠A，tan∠CBF＝，则BC的长为　　．
16.如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C、D，若△PCD的周长为24，⊙O的半径是5，则点P到圆心O的距离　　　．
17.如图，P是抛物线y＝x2﹣4x+3上的一点，以点P为圆心、1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为　　　　　　　　　　　　　　．
18.如图，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，在AC边上取点O画圆，使⊙O经过A、B两点，下列结论中：①AO＝BC；②AO＝2CO；③延长BC交⊙O与D，则A、B、D是⊙O的三等分点；④以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切．正确的序号是　　　　　．
三、解答题（共78分）
19.（8分）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD＝6，AE＝2，求⊙O的半径．
20.（10分）如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，点D是AB延长线上一点，∠A＝30°，∠D＝30°．
（1）求证：FD是⊙O的切线；
（2）取BE的中点M，连接MF，若⊙O的半径为2，求MF的长．
21.（12分）如图，AB为⊙O的直径，AC与⊙O交于点F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为E点．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，∠BAC＝60°，求图中阴影部分的面积．
22.（12分）某区对即将参加2019年中考的3000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分．请根据图表信息回答下列问题：
视力 频数（人） 频率
4.0≤x＜4.3 20 0.1
4.3≤x＜4.6 40 0.2
4.6≤x＜4.9 70 0.35
4.9≤x＜5.2 a 0.3
5.2≤x＜5.5 10 b
（1）在频数分布表中，a＝　　　，b＝　　　　，并将频数分布直方图补充完整；
（2）甲同学说“我的视力情况是这次抽样调查所得数据的中位数”，问甲同学的视力情况在什么范围内？
（3）若视力在4.9以上（含4.9）均属正常，根据上述信息估计全区初中毕业生中视力正常的学生有多少人？
23.（12分）从一定高度落下的图钉，落地后图钉针尖可能着地，也可能不着地，雨薇同学在相同条件下反复做了这个实验，并将数据记录如下：
实验次数n 200 400 600 800 1000 ……
　　针尖着地频数m 84 176 280 362 451 ……
　针尖着地频率 0.420 0.440 0.467 0.453 0.451 ……
（1）观察针尖着地的频率是否稳定，若稳定，请写出针尖着地频率的常数（精确到0.01）；若不稳定，请说明理由．
（2）假如小明同学在相同条件下做了此实验10000次，估计图钉针尖着地的次数大约是多少？
24.（12分）如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，∠BAC＝120°、OA⊥BC、若AB＝4，
（1）求证：四边形OACD为菱形．
（2）求AD的长．
25.（12分）如图所示，AC⊥AB，AB＝2，AC＝2，点D是以AB为直径的半圆O上一动点，DE⊥CD交直线AB于点E，设∠DAB＝α（0°＜α＜90°）．
（1）当α＝20°时，求弧BD的长；
（2）当α＝30°时，求线段BE的长；
（3）若要使点E在线段BA的延长线上，则α的取值范围是　　　　　　　　　．（直接写出答案）
答案
一、选择题
1.解：如图所示：
∵半径为3的⊙O上一点P和⊙O外一点Q，OQ＝5，PQ＝4，
即OP＝3，PQ＝4，OQ＝5，
∵32+42＝52，
∴△OPQ是直角三角形，
∴PQ⊥OP，
∴PQ与⊙O相切，
故选：B．
2.解：根据题意得：
＝88（分），
答：小莹的个人总分为88分；
故选：C．
3.解：∵∠ACB＝∠AOB，∠AOB＝62°，
∴∠ACB＝31°，
故选：B．
4.解：如图，作CH⊥DA交DA的延长线于H．
∵S平行四边形ABCD＝BC CH，
∴CH＝＝2，
∵2＜5，
∴直线AD与⊙C相交，
故选：A．
5.解：连接OP，OQ，分别交AC，BC于H，I，
∵M，N分别是AC、BC为直径作半圆弧的中点，，的中点分别是P，Q，
∴OP⊥AC，OQ⊥BC，由对称性可知：H，P，M三点共线，I，Q，N三点共线，
∴H、I是AC、BC的中点，
∴OH+OI＝（AC+BC）＝13，
∵MH+NI＝AC+BC＝13，MP+NQ＝7，
∴PH+QI＝13﹣7＝6，
∴AB＝OP+OQ＝OH+OI+PH+QI＝13+6＝19，
故选：C．
6.解：如图，
∵∠AOB＝60°，
∴∠AOC+∠BOD＝120°，
∴∠BCD+∠ADC＝∠BOD+∠AOC＝（∠BOD+∠AOC）＝60°，
∴∠ACPD＝120°，
∴点P的运动轨迹是弧，所在圆的半径是等边三角形△CDM的外接圆的半径，
易知等边三角形△ABD的外接圆的半径＝，
∴点P的运动路径的长＝＝π
故选：B．
二、填空题
7.解：在直角坐标系内，以P（4，8）为圆心，5为半径画圆，则点P到x轴的距离为d＝8，
∵r＝5，
∴d＞r，
∴⊙P与x轴的相离．
故答案为：相离．
8.解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴∠BOC＝2∠A＝120°，
∴图中阴影部分的面积＝＝3π，
故答案为：3π．
9.解：由平均数的公式得：（1+a+3+2+4）÷5＝3，解得a＝5；
则方差＝[（1﹣3）2+（5﹣3）2+（3﹣3）2+（2﹣3）2+（4﹣3）2]÷5＝2．
故答案为：2．
10.解：设这只袋子中红球的个数为x，
×100%＝60%，
解得：x＝6，
故答案为：6．
11.解：∵PA、PB、EF分别切⊙O于A、B、D，
∴PA＝PB＝15cm，ED＝EA，FD＝DB，
∴PE+EF+PF＝PE+ED+PF+FD＝PA+PB＝30（cm），即△PEF周长是30cm．
故答案为：30．
12.解：连接OC，如图，
∵CD切⊙O于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∴∠OCB＝90°﹣∠BCD＝90°﹣25°＝65°，
∵OB＝OC，
∴∠B＝∠OCB＝65°．
故答案为：65．
13.解：因为被抽查的总人数为8+19+10+3=40（人），
所以本次调查中阅读时间的中位数是第20、21个数据的平均数，
而第20、21个数据均为1小时，
所以本次调查中阅读时间的中位数是1小时，
故答案为：1．
14.解：∵PA、PB、DE是圆O的切线，切点分别是A、B、C，
∴AP＝BP，DA＝DC，CE＝BE，
∴△PED的周长是：PD+DE+PE
＝PD+DC+CE+PE
＝PD+DA+PE+BE
＝PA+PB
＝2PB＝20．
答：△PED的周长是20．
故答案为：20．
15.解：连接AE，如图，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，
∴AE平分∠BAC，BE＝CE，
即∠BAE＝∠BAC，
∵∠CBF＝∠BAC，
∴∠CBF＝∠BAE，
∴tan∠BAE＝tan∠CBF＝，
在Rt△ABE中，tan∠BAE＝＝，
设BE＝x，则AE＝3x，
∴AB＝＝x，
即x＝10，解得x＝，
∴BC＝2BE＝2x＝2．
故答案为2．
16.解：∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴PA＝PB；
同理，可得：EC＝CA，DE＝DB；
∵△PCD的周长为24，
∴PA+PB＝24，
∴PA＝PB＝12，
连接OA，OP，
∴∠OAP＝90°，
∴OP＝＝＝13，
故答案为：13．
17.解：当y＝1时，x2﹣4x+3＝1，
解得：x＝2±，
∴P（2+，1）或（2﹣，1），
当y＝﹣1时，x2﹣4x+3＝﹣1，
解得：x1＝x2＝2，
∴P（2，﹣1），
则点P的坐标为：（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）．
故答案为：（2+，1）或（2﹣，1）或（2，﹣1）．
18.解：连接OB，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠ABO，
∵∠C＝90°，∠B＝60°，
∴∠A＝30°，
∴∠OBC＝30°，
∵cos∠OBC＝，
∴BC＝，
即BC＝，
故①错误，
∵∠OBC＝30°，
∴OC＝OB＝OA，
即OA＝2OC，
故②正确；
延长BC交⊙O于D，
∵AC⊥BD，
∴AD＝AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴＝＝，
∴点A、B、D将⊙O的三等分；
故③正确；
∵∠ABO＝∠OBC＝30°，
∴点O在∠ABC的角平分线上，
∴点O到直线AB的距离等于OC的长，
即以O为圆心，以OC为半径的圆与AB相切．
故④正确．
故答案为：②③④．
三、解答题
19.（1）证明：∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠B．
∵∠B＝∠D，
∴∠BCO＝∠D．
（2）解：∵AB是直径，CD⊥AB，
∴，
设OC＝OA＝r，则OE＝r﹣2．
∵∠CEO＝90°，
∴OC2＝CE2+OE2，
∴r2＝32+（r﹣2）2，
∴r＝．
20.解：（1）连接OE，OF，如图1所示：
∵EF⊥AB，AB是⊙O的直径，
∴，
∴∠DOF＝∠DOE，
∵∠DOE＝2∠A，∠A＝30°，
∴∠DOF＝60°，
∵∠D＝30°，
∴∠OFD＝90°．
∴OF⊥FD．
∴FD为⊙O的切线；
（2）连接OM．如图2所示：
∵O是AB中点，M是BE中点，
∴OM∥AE．
∴∠MOB＝∠A＝30°．
∵OM过圆心，M是BE中点，
∴OM⊥BE．
∴，．
∵∠DOF＝60°，
∴∠MOF＝90°．
∴MF＝＝＝．
21.解：（1）直线DE与⊙O相切，
连结OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD＝∠CAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，
∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接OF，
∵OD∥AC，
∴S△AFD＝S△AFO，
∵∠BAC＝60°，OA＝OF，
∴△OAF为等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∴S阴影＝S扇形OAF＝＝π．
22.解：（1）20÷0.1＝200（人），
所以本次调查的样本为200名初中毕业生的视力情况，
则a＝200×0.3＝60，b＝10÷200＝0.05；
如图，
（2）∵共有200个数据，其中位数是第100和第101个数据的平均数，而第100和第101个数据均落在4.6≤x＜4.9，
∴甲同学的视力情况在4.6≤x＜4.9；
（3）（0.3+0.05）×3000＝1050
答：估计全区初中毕业生中视力正常的学生有1050人．
23.解：（1）由观察针尖着地频率是稳定的，针尖着地频率是常数0.45；
（2）假如小明同学在相同条件下做了此实验10000次，估计针尖着地的次数大约是10000×0.45＝4500．
24.解：（1）证明：
∵OA⊥BC，
∴＝，
∴AB＝AC，∠CDA＝∠ADB＝∠CDB，
∵∠BAC＝120°，
∴∠BDC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠CDA＝∠ADB＝30°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°．
∴AC＝AB＝BD，∠CAD＝∠CAB﹣∠BAD＝30°，
∴ACOD，
∴四边形OACD为平行四边形，
又∵OA＝OD，
∴四边形OACD为菱形；
（2）由（1）可知BD＝2AB＝8，
在Rt△ABD中，AD＝＝4．
25.解：（1）连接OD，
∵α＝20°，
∴∠DOB＝2α＝40°，
∵AB＝2，
∴⊙O的半径为：，
∴的长为：＝π；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵α＝30°，
∴∠B＝60°，
∵AC⊥AB，DE⊥CD，
∴∠CAB＝∠CDE＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣α＝60°，
∴∠CAD＝∠B，
∵∠CDA+∠ADE＝∠ADE+∠BDE＝90°，
∴∠CDA＝∠BDE，
∴△ACD∽△BED，
∴＝，
∵AB＝2，α＝30°，
∴BD＝AB＝，
∴AD＝＝3，
∴＝，
∴BE＝；
（3）如图，当E与A重合时，
∵AB是直径，AD⊥CD，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴C，D，B共线，
∵AC⊥AB，
∴在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝2，
∴tan∠ABC＝＝，
∴∠ABC＝30°，
∴α＝∠DAB＝90°﹣∠ABC＝60°，
当E′在BA的延长线上时，如图，可得∠D′AB＞∠DAB＝60°，
∵0°＜α＜90°，
∴α的取值范围是：60°＜α＜90°．
故答案为：60°＜α＜90°．