2024年中考数学三轮备考总复习专题训练---圆综合之斜投影模型训练（一）（含答案）

2024年中考数学三轮备考总复习专题训练---
圆综合之斜投影模型训练（一）
1．如图，是以C为顶点的等腰三角形，以为直径作，交于点D．延长至点E，使得，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若 求的长．
2．如图，是的直径，C，D是上两点，且，的半径为2，过点D的直线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接，且与交于点G．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长；
(3)若，求阴影部分的面积．
3．如图，内接于，点O在的内部，直径交线段于点D，点P是延长线上一点，连接，满足．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，点C为的中点，求的值．
4．如图，中，，点在上，以为半径的经过点.
(1)若，求证：是的切线；
(2)在上取一点，连接，已知，，，求.
5．如图所示，在中，，，在上取点，以为圆心，以为半径作圆，与相切于点，并分别与，相交于点，（异于点），连接，．
(1)若点恰好是的中点，则的度数为 ；
(2)求证：平分；
(3)若的长为，求的半径长．
6．如图，是的直径，C，D都是上的点，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的值．
7．如图，以O为圆心，长为直径作圆，在上取一点C，延长至点 D，连接，过点 A 作的切线交 的延长线于点E，且．
(1)求证：是的切线．
(2)若，则
①求的长；
②求长．
8．如图，以的边为直径作交斜边于点，连接并延长交的延长线于点，点为的中点，连接和．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为，，求的长．
9．如图，是的直径．点在的延长线上，与相切于点且，连接，，．

(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求．
10．如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，延长与的延长线交于点．．

(1)求证：为的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
11．如图，是的直径，是的弦，，垂足为H，过点C作直线分别于的延长线交于点E，F， 且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
12．如图，为的直径，为上一点，为的中点，点在的延长线上，且．
(1)求证：为的切线；
(2)若，求图中阴影部分的面积．
13．如图， 是 的直径， C、D在上， 且点 A 是 的中点，连接交于点E， 延长和相交于点 P， 过点A作交于点G．
(1)求证: 直线 是的切线；
(2)若， 求的值；
(3)过点 P作的切线，切点为Q， 若，求m与n之间的关系．
14．如图，是的直径，点和点在上，平分，过点作所在直线的垂线，垂足为点，交的延长线于点．
(1)求证：与相切．
(2)若，半径是，求的长．
15．如图，已知是的直径，点D是圆上一点，过点D作的切线交延长线于点C，连接，．

(1)求证：．
(2)已知，，求的长．
参考答案：
1．（1）证明：∵是以C为顶点的等腰三角形，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵为直径，
∴是的切线；
（2）连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则：，
∴，
∴，
∴．
2．（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：连接，如图所示：
∵是的直径，
∴
∵，的半径为2，
∴
则在中，；
（3）解：，
，
，
，的半径为2，
，
，
如图，连接，
是的直径，，
，
，
，
，
即，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
；
3．（1）证明：如图所示，连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∵是直径，
∴直线是的切线；
（2）解：∵，点C为的中点，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
4．1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）解：作，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴在中，．
5．（1）连接、、，如图，
，是的中点，
，
∵是圆的切线，
∴，
在中，，
，
为等边三角形，
，
（2）连接，如图，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分；
（3）连接，过点作于点，如图，

则，四边为矩形，
，
设的半径为，则，，
，
，
，
，
，
，
，即，
解得：或，
的半径长为或．
6．（1）证明：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的切线；
（2）解：连接，交于点G，过G作于H，
∵是的直径，
∴，
在中，
∵平分，，
∴，
设，
在中，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
在中，．
7．（1）证明：连接，如图，
为直径，
，
∴，
，，
∴，
，即，
∴，
是的半径，
是的切线；
（2）解：①如图所示，连接，
∵都是切线，
∴，，
又∵，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴．
8．（1）证明：连接，如图所示：
为的直径，
．
．
点为的中点，
．
．
，
．
，
．
是的切线．
（2）解：，，
是等边三角形．
．
．
的半径为，
在中，，，
．
，
．
在中，，，．
．
9．（1）证明：∵与相切于点，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
解得，，
∴，
∴的长为．
10．（1）证明：连接，则，
，
的平分线交于点，
，
，
，
交的延长线于点，
，
是的切线，且，
为的切线．
（2）解：作于点，

则，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积是．
11．（1）证明：如图所示，连接，
∵是的直径，是的弦，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵是的直径，是的弦，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
12．（1）证明：如图，连接，
，为的直径，
，即，
，
，
，
，
，即，
，
为的半径，
为的切线；
（2）解：如图，连接，
，为的中点，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
图中阴影部分的面积．
13．（1）证明：∵是⊙O 的直径，
∴，
∴，
∵点 A 是 的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴直线 是⊙O 的切线；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去）；
（3）过点P作⊙O的切线，连接，过点O作，交于点F，交于点H，如图所示：
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴代入得：，
∴．
14．（1）证明：连接，则，
，
平分，
，
，
，
交的延长线于点，
，即，
是的半径，
与相切．
（2）解：连接、，
的半径是，是的直径，
，，
，，
，
，
，，
，
又，
，
，
，
．
15（1）证明：如图，连接，

∵是的切线，
∴，
∴．
∵是的直径，
，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
，
．
（2），，，
，
．
由（1）知，
，
设，则，，
，
，
解得，
∴的长为．