18.2 特殊的平行四边形 同步练习（含答案）人教版数学八年级下册
文档属性
| 名称 | 18.2 特殊的平行四边形 同步练习（含答案）人教版数学八年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 258.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-05-07 19:35:58 | ||
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文档简介
18.2 特殊的平行四边形 同步练习
一、单选题
1．下面的性质中，平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）
A．四边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
2．若菱形的较长对角线为24cm，面积为120cm2，则它的周长为（ ）
A．50cm B．51cm C．52cm D．56cm
3．如图，把一张长方形的纸沿对角线BD折叠，使点C落到点的位置，若平分，则的度数是( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
4．如图，点P是菱形对角线上一点，于点E，且．连接，若菱形的周长为24．则的面积为（）
A．4 B．6 C．8 D．12
5．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（ ）
A．45° B．25° C．30° D．40°
6．如图，矩形中，是上的点，于于，则（ ）
A．1.2 B．2.4 C．4.8 D．9.6
7．如图，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形的边长为2，点P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列五个结论：①；②且；③；④的最小值为；⑤，其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤
二、填空题
9．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是
10．如图，线段，分别以点，点为圆心，以为半径作弧，两弧交于点，点，连接则的长为 ．
11．在矩形中，对角线相交于点O，，，则的长为
12．如图，菱形的对角线，相交于点，点，分别是，边上的中点，连接，若，．则菱形的周长为 ．
13．如图，将边长为6的正方形纸片ABCD按如图所示方式折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，若点M为AD的三等分点，则折痕EF的长为 ．
14．如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点E、F，AB=2，BC=4，则图中阴影部分的面积为 ．
15．小明尝试着将矩形纸片（如图1，）沿过点A的直线折叠，使得点B落在边上的点F处，折痕为（如图2）；再沿过点D的直线折叠，使得点C落在边上的点N处，点E落在上的点M处，折痕为（如图3）．若第二次折叠后，点M正好在的平分线上，连接DM，且，则＝ ．
16．如图，正方形ABCD的边长为15，点E在CD上，CE＝3，点F是直线AD上不与点A，D重合的一个动点，将△DEF沿EF折叠，使点D落在点G处，则线段BG长的最小值为 ．
三、解答题
17．如图，在菱形中的对角线相交于点O，，．求证：四边形是矩形．
18．如图：在菱形中，，过点作于点，交于点，点为的中点，若，求的长．
19．如图，矩形，，，过对角线中点O的直线分别交、边于点E，F．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当四边形是菱形时，求菱形的边长．
20．如图，在平行四边形ABCD中，，，垂足分别为E、F，且．
(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；
(2)若，，求AE的长．
21．如图，P是边长为4的正方形ABCD对角线AC上一点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB．
(1)若AP=1，求CE的长；
(2)求证：PE⊥PD．
22．已知菱形ABCD中，点P在CD上，连接AP．
(1)在BC上取点Q，使得∠PAQ＝∠B，
①图1，当AP⊥CD于点P时，线段AP与AQ之间的数量关系是 ．
②如图2，当AP与CD不垂直时，判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，则需说明理由．
(2)在CD的延长线取点N，使得∠PAN＝∠B，若AB＝4，∠B＝60°，∠ANC＝45°请依题意画出图形并求此时线段DN的长．
参考答案
1．D
2．C
3．B
4．B
5．A
6．C
7．D
8．D
9．M（5，0），N（8，4）
10．
11．
12．20
13．或
14．4
15．
16．3﹣12
17．证明：∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形．
18．解：四边形为菱形，
∴，，
，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
19．（1）证明：∵四边形是矩形，O是的中点，
∴，，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）当四边形是菱形时，，
设，则，，
在中，，
∴，
解得：，
∴即菱形的边长为．
20．（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠AEB＝∠CFB＝90°，
在△ABE和△CBF中，
∴△ABE≌△CBF（ASA），
∴AB＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝13，
设AE＝x，则DE＝13﹣x，
在Rt△ABE和Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2＝AB2﹣AE2＝DB2﹣DE2，
即132﹣x2＝102﹣（13﹣x）2，
解得：．
即AE＝．
21．（1）过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F．如图所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，
∵△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．
∴GP=AG=BF，GD=FC=FP
又∵AP=1，AD=4，
∴GP=AG=BF=，GD=FC=FP=4 ，
又∵PB=PE，PF⊥BE
∴BF=FE=，
∴CE=BC-BF-EF=4-2×=4-
（2）由（1）得：
在△EFP和△PGD中
∴△PGD≌△EFP（SAS），
∴∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°．
∴∠DPE=90°．
∴PE⊥PD．
22．（1）解：①AP＝AQ．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，AB∥CD，
∴∠B+∠QCD＝180°，
∵∠PAQ＝∠B，
∴∠PAQ+∠QCD＝180°，
∴∠APC+∠AQC＝180°，
∵AP⊥CD，
∴∠APC＝90°，
∴∠AQC＝90°，
∴AQ⊥BC，
∵S菱形ABCD＝BC AQ＝CD AP，
∴AP＝AQ；
故答案为：AP＝AQ；
②答：①中的结论仍然成立．
证明：如图2中，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N．
∵四边形ABCD是菱形，AM⊥BC，AN⊥CD，
∴S菱形ABCD＝BC AM＝CD AN，
∵BC＝CD，
∴AM＝AN，∠AMQ＝∠ANP＝90°，AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠PAQ＝∠B，
∴∠PAQ+∠C＝180°，
∴∠AQC+∠APC＝180°，
∵∠AQM+∠AQC＝180°，
∴∠AQM＝∠APN，
在△AMQ和△ANP中，
∴△AMQ≌△ANP（AAS），
∴AP＝AQ．
（2）解：作∠PAN=∠B，角的另一边交CD延长于N，
如图3，过点A作AH⊥CD于点H，
∵∠ANC＝45°，
∴∠NAH＝45°，
∴AH＝HN，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴∠ADC＝60°，AB＝AD＝4，
∴∠DAH=90°-∠ADH=90°-60°=30°，
∴DH＝AD＝2，
∴AH＝=DH＝2，
∴HN＝2，
∴DN＝HN﹣DH＝2﹣2．
一、单选题
1．下面的性质中，平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ）
A．四边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
2．若菱形的较长对角线为24cm，面积为120cm2，则它的周长为（ ）
A．50cm B．51cm C．52cm D．56cm
3．如图，把一张长方形的纸沿对角线BD折叠，使点C落到点的位置，若平分，则的度数是( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
4．如图，点P是菱形对角线上一点，于点E，且．连接，若菱形的周长为24．则的面积为（）
A．4 B．6 C．8 D．12
5．如图，在正方形的外侧，作等边三角形，则为（ ）
A．45° B．25° C．30° D．40°
6．如图，矩形中，是上的点，于于，则（ ）
A．1.2 B．2.4 C．4.8 D．9.6
7．如图，在边长为2的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形的边长为2，点P是对角线上一点，于点E，于点F，连接，给出下列五个结论：①；②且；③；④的最小值为；⑤，其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．②③④ C．③④⑤ D．②③④⑤
二、填空题
9．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N的坐标分别是
10．如图，线段，分别以点，点为圆心，以为半径作弧，两弧交于点，点，连接则的长为 ．
11．在矩形中，对角线相交于点O，，，则的长为
12．如图，菱形的对角线，相交于点，点，分别是，边上的中点，连接，若，．则菱形的周长为 ．
13．如图，将边长为6的正方形纸片ABCD按如图所示方式折叠（点E、F分别在边AB、CD上），使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，若点M为AD的三等分点，则折痕EF的长为 ．
14．如图，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点E、F，AB=2，BC=4，则图中阴影部分的面积为 ．
15．小明尝试着将矩形纸片（如图1，）沿过点A的直线折叠，使得点B落在边上的点F处，折痕为（如图2）；再沿过点D的直线折叠，使得点C落在边上的点N处，点E落在上的点M处，折痕为（如图3）．若第二次折叠后，点M正好在的平分线上，连接DM，且，则＝ ．
16．如图，正方形ABCD的边长为15，点E在CD上，CE＝3，点F是直线AD上不与点A，D重合的一个动点，将△DEF沿EF折叠，使点D落在点G处，则线段BG长的最小值为 ．
三、解答题
17．如图，在菱形中的对角线相交于点O，，．求证：四边形是矩形．
18．如图：在菱形中，，过点作于点，交于点，点为的中点，若，求的长．
19．如图，矩形，，，过对角线中点O的直线分别交、边于点E，F．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当四边形是菱形时，求菱形的边长．
20．如图，在平行四边形ABCD中，，，垂足分别为E、F，且．
(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；
(2)若，，求AE的长．
21．如图，P是边长为4的正方形ABCD对角线AC上一点（P与A、C不重合），点E在线段BC上，且PE=PB．
(1)若AP=1，求CE的长；
(2)求证：PE⊥PD．
22．已知菱形ABCD中，点P在CD上，连接AP．
(1)在BC上取点Q，使得∠PAQ＝∠B，
①图1，当AP⊥CD于点P时，线段AP与AQ之间的数量关系是 ．
②如图2，当AP与CD不垂直时，判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，则需说明理由．
(2)在CD的延长线取点N，使得∠PAN＝∠B，若AB＝4，∠B＝60°，∠ANC＝45°请依题意画出图形并求此时线段DN的长．
参考答案
1．D
2．C
3．B
4．B
5．A
6．C
7．D
8．D
9．M（5，0），N（8，4）
10．
11．
12．20
13．或
14．4
15．
16．3﹣12
17．证明：∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形是矩形．
18．解：四边形为菱形，
∴，，
，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
19．（1）证明：∵四边形是矩形，O是的中点，
∴，，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）当四边形是菱形时，，
设，则，，
在中，，
∴，
解得：，
∴即菱形的边长为．
20．（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠AEB＝∠CFB＝90°，
在△ABE和△CBF中，
∴△ABE≌△CBF（ASA），
∴AB＝CB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝13，
设AE＝x，则DE＝13﹣x，
在Rt△ABE和Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2＝AB2﹣AE2＝DB2﹣DE2，
即132﹣x2＝102﹣（13﹣x）2，
解得：．
即AE＝．
21．（1）过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F．如图所示．
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，
∵△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．
∴GP=AG=BF，GD=FC=FP
又∵AP=1，AD=4，
∴GP=AG=BF=，GD=FC=FP=4 ，
又∵PB=PE，PF⊥BE
∴BF=FE=，
∴CE=BC-BF-EF=4-2×=4-
（2）由（1）得：
在△EFP和△PGD中
∴△PGD≌△EFP（SAS），
∴∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=90°．
∴∠DPE=90°．
∴PE⊥PD．
22．（1）解：①AP＝AQ．
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝CD，AB∥CD，
∴∠B+∠QCD＝180°，
∵∠PAQ＝∠B，
∴∠PAQ+∠QCD＝180°，
∴∠APC+∠AQC＝180°，
∵AP⊥CD，
∴∠APC＝90°，
∴∠AQC＝90°，
∴AQ⊥BC，
∵S菱形ABCD＝BC AQ＝CD AP，
∴AP＝AQ；
故答案为：AP＝AQ；
②答：①中的结论仍然成立．
证明：如图2中，过点A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N．
∵四边形ABCD是菱形，AM⊥BC，AN⊥CD，
∴S菱形ABCD＝BC AM＝CD AN，
∵BC＝CD，
∴AM＝AN，∠AMQ＝∠ANP＝90°，AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠PAQ＝∠B，
∴∠PAQ+∠C＝180°，
∴∠AQC+∠APC＝180°，
∵∠AQM+∠AQC＝180°，
∴∠AQM＝∠APN，
在△AMQ和△ANP中，
∴△AMQ≌△ANP（AAS），
∴AP＝AQ．
（2）解：作∠PAN=∠B，角的另一边交CD延长于N，
如图3，过点A作AH⊥CD于点H，
∵∠ANC＝45°，
∴∠NAH＝45°，
∴AH＝HN，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴∠ADC＝60°，AB＝AD＝4，
∴∠DAH=90°-∠ADH=90°-60°=30°，
∴DH＝AD＝2，
∴AH＝=DH＝2，
∴HN＝2，
∴DN＝HN﹣DH＝2﹣2．