上海市嘉定一中2023-2024学年高一（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年上海市嘉定一中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.下列命题中正确的是( )
A. 若且，则
B. 若且，则
C. 若且，则
D. 若且，则
3.函数的图像可按向量方向平移到图像平移距离为，的函数解析式为，当为奇函数时，向量可以等于( )
A. B. C. D.
4.我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”而“平行曲线”具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行扫线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图像中的两条和邻“平行曲线”与直线相交于、两点，且，已知命题：；函数在上有个零点，则以下判断正确的是( )
A. 和均为真命题 B. 和均为假命题
C. 为真命题，为假命题 D. 为假命题，为真命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.是第______象限角．
6.向量化简后等于______．
7.已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点，则 ______．
8.已知，则 ______．
9.已知函数其中常数的最小正周期为，则 ______．
10.已知，，与的夹角为，则在方向上的投影是______．
11.已知锐角，满足，，则 ______．
12.对于函数，其中若，则 ______．
13.若，则______．
14.已知函数，其中在，上是严格增函数，则的最大值为______．
15.已知，，，，且，则 ______．
16.已知，，函数，对任意正整数，有，且集合的元素个数为，则满足要求的的取值集合 ______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，内角，，的对边长分别为，，，且．
求角的大小；
若，，求的面积．
18.本小题分
已知向量，满足，，．
求与的夹角的余弦值；
求．
19.本小题分
如图，有一块边长为的正方形铁皮，其中阴影部分是一个半径为的扇形设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上设，矩形的面积为．
求关于的函数表达式；
求的最大值及取得最大值时的值．
20.本小题分
已知函数的最小正周期．
求函数的解析式；
求函数的单调区间；
求不等式的解集．
21.本小题分
已知函数，其中．
若，，求的值；
若，函数图像向右平移个单位，得到函数的图像，是的一个零点，若函数在，且上恰好有个零点，求的最小值；
令，对任意实数，当时，有成立将函数为的图像向左平移个单位得到函数，已知函数的最大值为，求满足条件的的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：当时，则
当时，或，，
故，
反之不能推出
所以前者是后者的充分不必要条件
故选：．
根据所给的角和角的正弦值，看两者能不能互相推出，根据特殊角的三角函数，得到前者可以推出后者，而后者不能推出前者，得到结论．
本题考查必要条件、充分条件和充要条件的判断，解题的关键是对于三角函数中给值求角和给角求值的问题能够熟练掌握，本题是一个基础题．
2.【答案】
【解析】解：对于：若且，则，
当时，，故，故A错误，
由，可得，所以，故C正确；
对于：若且，则，
当时，，此时，故B错误；
当时，，，故D错误．
故选：．
利用指数函数的性质及三角函数在上函数值的正负，再结合选项的条件，逐一分析即可得出结果．
本题主要考查指数函数的性质及三角函数的性质，考查逻辑推理能力，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：设，
函数的图像按向量方向平移到图像，的函数解析式为，
为奇函数，
，且，
，
，
当时，，此时．
故选：．
设，依题意，可求得，结合选项，对赋值可得答案．
本题考查函数的图象变换，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：由题意可得：，所以，所以，所以不正确．
函数图像，在一个周期内，只有一个零点，
所以函数在上有个周期，因此，函数有个零点，所以正确．
故选：．
求解函数的周期，推出，然后求解函数的零点个数．
本题考查正切函数的图象与性质的应用，是基础题．
5.【答案】三
【解析】解：，
则是第三象限角．
故答案为：三．
根据已知条件，结合象限角的定义，即可求解．
本题主要考查象限角，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由向量加法的运算法则，可得
．
故答案为：．
直接根据向量的加法法则写出结果即可．
本题主要考查了向量的加法的运算法则的运用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由角的终边过点，
得，
，
所以．
故答案为：．
由任意角三角函数定义可求得、，即可由倍角公式求值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，
．
故答案为：．
将所求关系式中的“弦”化“切”，代入计算即可．
本题考查同角三角函数基本关系的运用，“弦”化“切”，是关键，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为其中常数的最小正周期为，
所以，解得．
故答案为：．
直接利用正弦函数的周期公式求出的值．
本题考查的知识要点：正弦函数的周期性，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，，与的夹角为，
所以在方向上的投影为．
故答案为：．
由投影向量的求法计算即可．
本题考查平面向量投影的求法，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：锐角，满足，可得，
由锐角，，可得，
又，可得，
则，
故答案为：．
由同角的平方关系，结合，由两角差的正弦公式计算可得所求值．
本题考查两角差的正弦公式、同角的平方关系，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：，
则，即，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合三角函数的诱导公式，即可求解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：
又
故答案为：
由已知中，由对数的运算性质我们可得，利用平方法，可先后求出值和值，进而根据，我们可以确定的符号，进而得到答案．
本题考查的知识点是对数的运算性质，同角三角函数间的基本关系，其中利用平方法先后求出值和值，是解答的关键，本题易忽略的限制，而错解为
14.【答案】
【解析】解：由于函数满足的单调递增区间为，，
解得，；
故函数的单调递增区间为，；
故，；
故，，即的最大值为．
故答案为：．
由整体代入法得函数的单调递增区间，对比，即可得解．
本题主要考查了正弦函数单调性的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由可知，为中点．
设，则由可得，
，
解得，，
故，即．
故答案为：．
在三角形中，由和互补，可求出的长度，在中，由余弦定理可求出的余弦值，进而求出．
本题主要考查余弦定理，属基础题．
16.【答案】
【解析】解：因为对任意正整数，有，
所以函数周期为，
则，
所以，
则，，
，，
而集合中只有个元素，根据集合元素的互异性，说明以上四个值中一定有两个是相等的，
若，即，则，集合中只有个元素，不合题意；
若，即，则，集合中只有个元素，不合题意；
若，即，则，得或，
此时；
若，即，则，得或，
此时或；
综上，的值为或或，
所以．
故答案为：．
由，可得函数周期为，进而可的值，由周期为，列举、、、，结合集合元素的互异性得到可能的的值，进而求得的值．
本题考查了三角函数的性质、分类讨论思想，属于中档题．
17.【答案】解：，
，即，
，
，．
，，
．
由余弦定理得：，
解得，．
．
【解析】利用正弦定理将边化角，再利用和角公式化简即可得出；
利用余弦定理列方程求出，，代入面积公式得出答案．
本题考查了正余弦定理，三角形的面积公式，属于中档题．
18.【答案】解：，，，
，
，
；
由知，
，
．
【解析】根据向量垂直得到，由数量积的定义及运算律计算可得；
首先求出，再根据数量积的运算律求出，即可得解．
本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量模的运算及向量夹角的运算，属中档题．
19.【答案】解：延长交于，延长交于，
由是正方形，是矩形，可知，，
由，可得，，，，
，
故关于的函数解析式为；
由，可得，即，
，
又由，可得，故，
关于的表达式为，
又由
可知当时，取最大值，故的最大值为，此时，即．
【解析】延长交于，延长交于，根据边角关系得出，，再求即可；
令，由正弦函数的性质得出的范围，再由二次函数的性质得出的最值．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
20.【答案】解：依题意，
，
由最小正周期，解得，
则．
令，解得，
所以单调增区间为；
令，解得，
所以单调减区间为．
由，得，即，
则，解得，
所以不等式的解集为．
【解析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再由周期求出即得．
利用正弦函数的区间及单调性，列出不等式求解即得．
利用正弦函数的性质求解不等式．
本题主要考查三角函数的解析式求解和性质应用，考查计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：函数，
若，，
则与是相邻的最小值点和最大值点，
所以的最小正周期为，
由，解得；
，
，
所以，
所以或，
解得或，
又，得，
所以，
函数最小正周期，
令，即，
解得或，
若在上恰好有个零点，则，
要使最小，则，恰好为的零点，
所以的最小值为；
由题意，
因为，，
所以，当且仅当，时取等号，
又因为函数的最大值为，
所以，同时取得最大值，
所以，
所以，
所以满足条件的的最小值为．
【解析】利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，即可得；
由图像平移变换得到函数，结合和，求得，根据的零点个数可得，要使最小，则，恰好为的零点，由此求的最小值；
根据，，可得，当且仅当，时取等号，进而可求出．
本题考查了三角恒等变换、三角函数图象的变化及正弦型函数的性质，属于中档题．
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