2023-2024学年北京市中国农业大学附中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年北京市中国农业大学附中高一（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，是的中点，则等于( )
A. B. C. D.
2.若，，则( )
A. B. C. D.
3.设，是不共线的向量，已知，，，则( )
A. A、、三点共线 B. B、、三点共线
C. A、、三点共线 D. A、、三点共线
4.已知向量，若，则的值为( )
A. B. C. D.
5.若角的终边落在如图所示的阴影部分内，则角的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
6.在四边形中，，设若，则( )
A. B. C. D.
7.数学家欧拉于年在他的著作三角形的几何学中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点，，分别为任意的外心、重心、垂心，则下列各式一定正确的是( )
A. B.
C. D.
8.在中，为边上的中线，为的中点则( )
A. B. C. D.
9.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
10.在中，为的中点，，则( )
A. B. C. D.
11.已知为所在平面内一点，，则( )
A. B.
C. D.
12.在梯形中，，，与相交于点，则下列结论错误的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.如图，平行四边形中，，，是的中点，以，为基底表示向量 ______．
14.在中，，是上的一点，若，则实数的值为______．
15.在中，，分别为边，的中点，若，则 ．
16.将化成的形式是______．
17.本次考试时间为分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分钟旋转了______弧度．
18.如图，，点在由射线，线段及的延长线围成的区域内不含边界运动，且，则的取值范围是 ；当时，的取值范围是 ．
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知，向量，．
如图，若四边形为平行四边形，求点的坐标；
若点为线段的靠近点的三等分点，求点的坐标．
20.本小题分
在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点．
求、、的值；
设，角的终边与角的终边关于轴对称，求的值．
21.本小题分
如图，在中，为中线上一点，且，过点的直线与边，分别交于点，．
Ⅰ用向量，表示；
Ⅱ设向量，，求的值．
22.本小题分
如图，在边长为的正方形中，，分别是，的中点．
若，则的值；
若为中点，连接，交于点，求证．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如图，作出平行四边形，是对角线的交点，故是的中点，且是的中点
由题意如图
故选：．
作出三角形的图象，利用平行四边形法则作出，由图象即可选出正确答案
本题考查向量加法法则，解答本题，关键是理解向量加法的三角形法则与平行四边形法则，作出符合条件的图象，由图得出正确选项．
2.【答案】
【解析】解：，，
所以．
故选：．
根据平面向量的坐标运算，计算即可．
本题考查了平面向量的坐标表示与运算问题，是基础题目．
3.【答案】
【解析】解：，，，则，
、、三点共线，
故选：．
根据条件可得，问题得以解决
本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的共线定理应用问题，属于基础题．
根据平面向量共线定理的坐标表示，列方程求出的值．
【解答】
解：向量，，
若，则，
解得；
所以的值为．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：角的终边落在如图所示的阴影部分内，
则角在一个周期内的范围是，
则角的取值范围是，
故选：．
先求出角在一个周期内的范围，由此能求出角的取值范围．
本题考查角的取值范围的求法，考查终边相同的角的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量平行四边形法则、向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
过作，又，可得四边形是平行四边形，由，根据，可得，，又，可得，即可得出结论．
【解答】
解：如图所示，
过作，又．
四边形是平行四边形．
，
又．
，，
又，．
则．
故选B．
7.【答案】
【解析】解：根据欧拉定理可知，点，，三点共线，且，
对于，，，故A错误，
对于，，，故B错误，
对于，，故C错误，
对于，，故D正确，
故选：．
根据欧拉定理、外心、垂心和重心的性质及平面向量的线性运算对四个选项逐个分析可得答案．
本题考查欧拉定理，三角形的外心、垂心和重心的性质，平面向量的线性运算，考查逻辑推理能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：因为中，为边上的中线，为的中点，
所以，
故选：．
由已知结合向量的线性表示及向量的基本定理即可求解．
本题主要考查了平面向量基本定理及向量的线性表示，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：
又因为：．
故选B．
先求出向量的坐标，再结合两个向量，则列出关于，的等式，整理即可得到答案．
本题考查的知识点是平面向量共线平行的坐标表示，若两个向量，则．
10.【答案】
【解析】解：中，为的中点，，
．
故选：．
根据平面向量的线性运算，平面向量基本定理求解即可．
本题考查了平面向量的线性运算，平面向量基本定理，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：由于，
利用向量的线性运算，，
整理得：．
故选：．
直接利用向量的线性运算求出结果．
本题考查的知识要点：向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．
12.【答案】
【解析】解：如图，对于：因为四边形是梯形，，，
则，
所以，故A正确；
对于：因为，故，故，
则，故B正确；
对于：因为，
所以，故C错误；
对于：，故D正确．
故选：．
结合题意，应用向量加减、数乘的几何意义逐项判断即可得．
本题考查了平面向量的线性运算，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：根据条件，．
故答案为：．
根据平行四边形的概念及相等向量的概念便得到，而根据向量加法和数乘的几何意义便可得出．
考查平行四边形的概念，相等向量的概念，以及向量的加法和数乘的几何意义，清楚向量基底的概念．
14.【答案】
【解析】解：是上的一点，
设，由，
则
，
解得，
故答案为：．
设，我们易将表示为的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于，的方程组，解方程组后即可得到的值．
本题主要考查了的知识点是面向量的基本定理及其意义，解答本题的关键是根据面向量的基本定理构造关于，的方程组，属于中档题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了向量的线性运算法则，及平面向量的基本定理，属于基础题．
根据向量的线性运算法则，及平面向量的基本定理，可得答案．
【解答】
解：，
又，
，，
故，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：．
故答案是：．
根据角的性质直接化解即可．
本题考查了终边相同的角，本题解题的关键是写出角的大体范围，在看出需要加上多少来平衡角的变化，本题是一个基础题．
17.【答案】
【解析】解：本次考试时间为分钟，则从开始到结束，墙上时钟的分针顺时针旋转了，
即．
故答案为：．
由角度制和弧度制之间互化可得答案．
本题考查了角度制和弧度制之间互化，属于基础题．
18.【答案】
【解析】解：如图，，点在由射线，
线段及的延长线围成的区域内不含边界运动，
且，由向量加法的平行四边形法则，
为平行四边形的对角线，
该四边形应是以和的反向延长线为两邻边，
的取值范围是；
当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，，，
的取值范围是
故答案为：；
根据向量加法的平行四边形法则，为平行四边形的对角线，该四边形应是以和的反向延长线为两邻边，得到的取值范围，当时，要使点落在指定区域内，即点应落在上，得到的范围．
本题考查三角形法则，是一个基础题，向量是数形结合的最好的工具，在解题时注意发挥向量的优点．
19.【答案】解：设，则，且，
四边形为平行四边形，
，
，，，；
设，则，
点为线段的靠近点的三等分点，
，即，
，解得，
．
【解析】本题考查了向量减法和数乘的几何意义，向量坐标的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．
设，然后得出，根据题意得出，然后即可求出点的坐标；
设，然后得出，根据题意得出，然后即可求出点的坐标．
20.【答案】解：因为在直角坐标系中，角的终边经过点，
所以．
当时，，此时，，；
当时，，此时，，；
综上可得：当时，，，；
当时，，，．
由知：当时，．
因为角的终边与角的终边关于轴对称，
所以，．
则．
【解析】分，两种情况，根据三角函数的定义即可求解．
先根据题意得出，；再利用诱导公式即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．
21.【答案】解：Ⅰ在中，为中线上一点，，
；
Ⅱ由，
，，三点共线，
，
．
【解析】本题考查向量的加法运算，中线向量，共线向量基本定理，是中档题．
Ⅰ直接根据向量中线的性质以求解即可；
Ⅱ直接根据三点共线，且起点相同对应的结论求解即可．
22.【答案】解：如下图，以点为坐标原点，分别以方向为，轴正方向建立平面直角坐标系，
则，，，，，
则，
由可得，
即，解得，
因此；
证明：易知，设，
易知，，三点共线，可得，即，
可得，，即，
又，，三点共线，且，
所以，解得，则，
所以，，易知，
即可得．
【解析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标表示联立方程组解得；
利用三点共线求出，即得．
本题考查了向量的坐标运算和平面向量基本定理，属于中档题．
第1页，共1页