2023-2024学年四川省眉山市仁寿一中南校区高二（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

2023-2024学年四川省眉山市仁寿一中南校区高二（下）月考数学试卷（4月份）
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设是可导函数，且，则( )
A. B. C. D.
2.函数的导函数的图像如图所示，以下命题错误的是( )
A. 是函数的最小值
B. 是函数的极值
C. 在区间上单调递增
D. 在处的切线的斜率大于
3.已知的展开式中常数项为，则( )
A. B. C. D.
4.函数在区间上不单调，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.某羽毛球俱乐部，安排男女选手各名参加三场双打表演赛一场为男双，一场为女双，一场为男女混双，每名选手只参加场表演赛，则所有不同的安排方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知的展开式二项式系数和为，则展开式中系数最大的项为( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
7.已知函数，设甲：；乙：，则( )
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8.设有甲、乙两箱数量相同的产品，甲箱中产品的合格率为，乙箱中产品的合格率为从两箱产品中任取一件，经检验不合格，放回原箱后在该箱中再随机取一件产品，则该件产品合格的概率为( )
A. B. C. D.
9.设，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的详解九章算法一书中就有出现如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第行的为第行中两个的和则下列命题中正确的是( )
A. 在第行中第个数最大
B.
C. 第行中第个数与第个数之比为：
D. 在杨辉三角中，第行的所有数字之和为
11.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排照相，下列说法正确的是( )
A. 如果甲，乙必须相邻，那么不同的排法有种
B. 甲不站在排头，乙不站在正中间，则不同的排法共有种
C. 甲乙不相邻且乙在甲的右边，则不同的排法共有种
D. 若五人已站好，后来情况有变，需加上人，但不能改变原来五人的相对顺序，则不同的排法共有种
12.玻璃缸中装有个黑球和个白球，现从中先后无放回地取个球记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
13.已知，则的值为______．
14.已知曲线在处的切线与圆：相交于、两点，则 ______．
15.已知，为实数，不等式恒成立，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数．
求函数在点处的切线方程；
求的单调区间和极值．
17.本小题分
在下面三个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答．
条件：展开式前三项的二项式系数的和等于；
条件：第项与第项的二项式系数相等；
条件：展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的乘积为．
问题：在二项式的展开式中，已知_____．
求展开式中二项式系数最大的项；
求的展开式中的常数项．
18.本小题分
某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化．
天数
作物高度
观察散点图可知，天数与作物高度之间具有较强的线性相关性，用最小二乘法求出作物高度关于天数的线性回归方程其中，用分数表示；
小明测得使用营养液后第天该作物的高度为，请根据中的结果预测第天该作物的高度的残差．
参考公式：，．
参考数据：．
19.本小题分
已知函数，．
若的最大值是，求的值；
若对于定义域内任意，恒成立，求的取值范围．
20.本小题分
罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔罗尔于年提出的它的表达如下：如果函数满足在闭区间连续，在开区间内可导，且，那么在区间内至少存在一点，使得．
运用罗尔定理证明：若函数在区间连续，在区间上可导，则存在，使得．
已知函数，，若对于区间内任意两个不相等的实数，，都有成立，求实数的取值范围．
证明：当，时，有．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据导数的定义即可得到结论．
本题主要考查导数的定义，比较基础．
2.【答案】
【解析】解：根据导函数图象可知当时，，在时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，故C正确；
易知是函数的极值，故B正确；
因为在上单调递增，则不是函数的最小值，故A错误；
因为函数在处的导数大于，即切线的斜率大于零，故D正确．
故选：．
根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．
本题考查了利用导数研究函数单调性和极值，考查了数形结合思想，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：的二项展开式，
当时，，解得．
故选：．
直接利用二项展开式和组合数求出结果．
本题考查的知识要点：组合数，二项展开式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
，
若在不单调，
则在有解，
而，
对称轴是，在递增，在递减，
而时，，时，，
故，
故的取值范围是，
故选：．
求出函数的导数，问题转化为在有解，结合二次函数的性质求出的取值范围即可．
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是中档题．
5.【答案】
【解析】解：第一步先从名男选手中选出人配成对男双，有种，
第二步从名女选手中选出人配成对女双，有种，
第三步剩下名男选手和名女选手组成混双，有种，
共有；
故答案为：．
本题可以先分析男双和女双的配对情况，注意相同元素的分组要去重，最后剩下的男女配成混双只有种情况．
本题考查了分步计数原理，考查了转化能力和运算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：的展开式二项式系数和为，
则，解得，
故通项为，
故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，
由，解得，
所以展开式中系数最大的项为第项．
故选：．
根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，满足，但，
故甲不是乙的充分条件；
令，则，
故在单调递增，即，也即在恒成立，
则在恒成立；
故当时，，，甲是乙的必要条件．
综上所述，甲是乙的必要条件，但不是充分条件．
故选：．
利用特殊值的函数值判断充分性不成立，利用导数研究的单调性和值域，结合三角函数的有界性，从而判断必要性．
本题主要考查了导数与单调性关系及函数性质在充分必要条件判断中的应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，记从甲箱中抽取产品为事件，从乙箱中抽取产品为事件，
抽到不合格产品为事件，
则，，，
则，
故，，
故要求概率．
故选：．
根据题意，记从甲箱中抽取产品为事件，从乙箱中抽取产品为事件，抽到不合格产品为事件，先求出和、的值，进而由全概率公式计算可得答案．
本题考查概率的计算，涉及互斥事件和相互独立事件的概率性质，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：设，，，
设，，所以，
所以函数在上单调递增，
所以，即．
根据已知得，
可设，
则，
所以函数在上单调递增，
所以，即．
综上，．
故选：．
构造，，二次求导，得到单调性，得到，再变形得到，故构造，求导得到其单调性，比较出，得到答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑推理能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意，在“杨辉三角”中，第行有个数，依次为、、、，
由此分析选项：
对于，第行中数依次为：、、、、、，其中最大为第个数，A错误；
对于，，B正确；
对于，第行中第个数为，第个数为，其比值为：：，C正确；
对于，第行有个数，依次为、、、，其和，D错误；
故选：．
根据题意，分析可得在“杨辉三角”中，第行有个数，依次为、、、，据此依次分析选项是否正确，综合可得答案．
本题考查归纳推理的应用，涉及二项式系数的性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．
【解答】
解：根据题意，依次分析选项：
对于，将甲乙看成一个整体，与丙，丁，戊全排列，有种不同的排法，A错误；
对于，若甲站在正中间，乙有种站法，剩下人全排列，有种排法，若甲不站在正中间，甲有种站法，乙有种站法，剩下人全排列，有种排法，则有种不同的站法，B正确；
对于，将丙，丁，戊三人排成一排，再将甲乙安排在三人的空位中，有种排法，
其余乙在甲的右边和乙在甲的左边的情况数目相同，则有种不同的排法，C正确；
对于，若五人已站好，后来情况有变，需加上人，第一个人有种插法，第二个人有种插法，则有种不同的安排方法，D正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】解：对于，第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率，第一次取得白球、第二次取得白球的概率，
则，所以A错误；
对于，第一次取得黑球、第二次取得白球的概率，
第一次取得白球、第二次取得黑球的概率，
则，所以B正确；
对于，由题意，第一次取得黑球的概率，第一次取得白球的概率，
由条件概率公式可得，，
所以，所以C正确；
对于，由题意，第一次取得黑球的概率，第一次取得白球的概率，
由条件概率公式可得，，
所以，所以D正确．
故选：．
结合古典概型，条件概型的计算公式，分别求出有关事件的概率，再进行判断．
本题主要考查了古典概型的概率公式和条件概率的概率公式，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据二项式定理可得，对于其展开式为，当时，项的系数为，
对于其展开式为，当时，项的系数为，
所以项的系数．
故答案为：．
由题意可得，然后分别求出和中项的系数，从而可解．
本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：由题意，切点为，
，，
切线方程为：，
代入整理后得，
显然，
设，，则，，
所以．
故答案为：．
先利用导数求出切线方程，然后利用弦长公式求弦长．
本题考查利用导数求切线的方法，直线与圆相交时的弦长公式，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：不等式恒成立，即恒成立，
即一次函数恒在的上方或相切．
当时，显然与相交，不合题意，所以．
当一定时，要越小，易得的截距要越小，最小时与相切．
此时设切点，则的导数，
所以，消去，得，所以，
设，，则，
令，解得，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以当时，取最小值为，所以的最小值为．
故答案为：．
问题转化为一次函数恒在的上方或相切，再分析得，且当最小时与相切．再设切点列式，可得，构造函数求导分析最小值即可．
本题考查了不等式恒成立的应用问题，也考查了利用导数研究函数的单调性和求最值问题，是中档题．
16.【答案】解：由，得，
则切线的斜率，解得，
所以，，
所以切线方程为．
由知，函数，定义域为，
则，
当或时，，当时，，
因此函数在，上单调递增，在上单调递减，
当时，取得极大值，
当时，取得极小值，
所以函数的递增区间为，，递减区间为，
极大值，极小值．
【解析】对求导，求出，再利用导数的几何意义求出切线方程．
结合，求出函数的导数，利用导数求出单调区间及极值．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数研究函数的切线方程，考查了方程思想，属中档题．
17.【答案】解：若选择，，，，
展开式中二项式系数最大的项为．
若选择，，，展开式中二项式系数最大的项为．
若选择，令，可得展开式所有项的系数和为，而二项式系数和为，，解得，展开式中二项式系数最大的项为．
， 的展开式中的常数项为 ．
【解析】本题主要考查二项式定理的应用，需要学生熟练掌握公式，属于中档题．
若选择利用二项展开式二项式系数方程，即可求出，若选择，利用二项式展开式二项式系数，和组合公式，即可计算；若选择，算出各项系数和，结合二项式系数的公式，求出，再利用二项展开式系数的性质，即可求解；
由分别求出 和的展开式的常数项，即可求解．
18.【答案】解：，
，
，
，
故所求回归直线方程为；
由可知，当时，．
故所求残差为．
【解析】本题考查回归直线方程的概念与运算，是中档题．
由已知求得与的值，即可得到作物高度关于天数的线性回归方程；
直接利用残差公式求解．
19.【答案】解：的定义域，．
若，，在定义域内单调递增，无最大值；
若，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
所以当时，取得最大值，所以．
对于定义域内任意，恒成立，即在恒成立．
设，则．
设，则，
所以在其定义域内单调递增，且，，
所以有唯一零点，且，
所以．
构造函数，则
又函数在是增函数，
故．
所以由在上单调递减，在上单调递增，
所以
于是的取值范围是．
【解析】对函数求导，讨论参数的范围，分析单调性，根据最大值是求出范围．
分离参数，即在恒成立，求出的最小值，即求出的取值范围．
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．
20.【答案】解：证明：令，则．
构造，则，，
显然在上连续，且在上可导，
由罗尔定理，存在，使得，即，
．
由题，．
不妨设，则恒成立．
由中证明可得，
．
．
令，则，在上单调递增，
．
又易知的值域为，
，即的取值范围为．
证明：构造，，在上可导，
由中定理，存在，使得．
．
．
，，，，
．
【解析】令，构造函数，直接利用罗尔定理证明；
利用的结论得，即可得，令，判断其单调性，确定其值域，再确定函数的值域，即可求的取值范围；
构造函数，利用的结论即可证明．
本题考查了导数的综合应用，考查了构造函数求解综合问题的能力，考查了函数思想，属于难题．
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