2023-2024学年北京市贸大附中高二(下)期中数学试卷
一、单选题:本题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
2.盒中装有个乒乓球,其中个新球,个旧球,不放回地依次取出个球使用,在第一次取出新球的条件下,第二次也取到新球的概率为( )
A. B. C. D.
3.若奇函数在上是减函数,且最小值是,则它在上是( )
A. 增函数且最小值是 B. 增函数且最大值是
C. 减函数且最大值是 D. 减函数且最小值是
4.若从,,,,,这六个数字中选个数字,组成没有重复数字的三位偶数,则这样的三位数一共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.的展开式中,的系数为( )
A. B. C. D.
6.函数的定义域为( )
A. B. C. D.
7.设是函数的导函数,将和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )
A. B.
C. D.
8.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9.若函数在区间内为增函数,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.已知函数其中,和函数,若方程有四个不同的解,则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题:本题共5小题,每小题5分,共25分。
11.二项式的展开式中的常数项为______.
12.袋中有大小相同、质量相等的个白球和个黑球,若每次抽取个球,有放回地连续抽取次,则恰有次取到黑球的概率为 ;取到黑球的个数的数学期望 .
13.已知随机变量服从正态分布,且,则______.
14.已知函数恰有两个零点,则实数的取值范围是 .
15.已知函数关于函数的性质,有以下四个推断:
的定义域是;的值域是;是奇函数; 是区间上的增函数.
其中推断正确的题号是______.
三、解答题:本题共5小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16.本小题分
设为全集,集合,.
若,求,;
若,求实数的取值范围.
17.本小题分
已知函数其中常数,,,是函数的一个极值点.
Ⅰ求的解析式;
Ⅱ求在上的最大值和最小值.
18.本小题分
某商场举行有奖促销活动,凡月日当天消费每超过元含元,均可抽奖一次,抽奖箱里有个形状、大小、质地完全相同的小球其中红球有个,白球有个,抽奖方案设置两种,顾客自行选择其中的一种方案.
方案一:从抽奖箱中,一次性摸出个球,若摸出个红球,则打折;若摸出个红球,则打折;若没摸出红球,则不打折.
方案二:从抽奖箱中,有放回地每次摸取个球,连摸次,每摸到次红球,立减元.
若小方、小红均分别消费了元,且均选择抽奖方案一,试求他们其中有一人享受折优惠的概率.
若小勇消费恰好满元,试比较说明小勇选择哪种方案更划算.
19.本小题分
某区为检测各校学生的体质健康状况,依照中小学生国家学生体质健康标准进行测试.参加测试的学生统一从学生学籍档案管理库简称“系统”中随机选取本次测试要求每校派出人,其中男女学生各人,参加八个项目的测试.八项测试的平均分为该学生的综合成绩满分为分.测试按照分数给学生综合成绩定等级,分数在内为“优秀”,为“良好”,为“及格”,为“不及格”如表为某学校名学生本次测试综合成绩的数据:
男生
女生
分别求出该学校男、女生综合成绩的优秀率;
Ⅱ从表中综合成绩等级为“良好”的学生中随机抽取人进行后续监控,若表示抽取人中的女生人数.求的分布列及其数学期望;
Ⅲ在Ⅱ的条件下,当这名学生综合成绩的方差取得最大值时请直接写出所有符合条件的名学生的综合成绩.
20.本小题分
已知函数,.
Ⅰ若曲线在点处的切线平行于直线,求该切线方程;
Ⅱ若,求证:当时,;
Ⅲ若恰有两个零点,求的值.
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查导数的几何意义,考查切线方程,属于基础题.
求导函数,确定曲线在点处的切线斜率,从而可求切线方程.
【解答】
解:求导函数可得,
当时,,
曲线在点处的切线方程为,
故选:.
2.【答案】
【解析】解:在第一次取出新球的条件下,盒子中还有个球,这个球中有个新球和个旧球,
故第二次也取到新球的概率为,
故选:.
在第一次取出新球的条件下,盒子中还有个球,这个球中有个新球和个旧球,再利用古典概率及其计算公式求得第二次也取到新球的概率.
本题主要考查古典概率及其计算公式,体现了转化的数学思想,属于基础题.
3.【答案】
【解析】解:奇函数在上是减函数,且最小值是
函数在上是减函数且最大值是,
故选:
根据奇函数和单调性之间的关系,即可得到结论.
本题主要考查函数奇偶性与单调性之间的性质的应用,比较检查.
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查排列、组合的应用,涉及分类、分步计数原理的应用,解题需要注意偶数的末位数字以及不能在首位等性质.
由于不能在首位数字,则分种情况讨论:、若在个位,此时一定不在首位,由排列公式即可得此时三位偶数的数目,、若不在个位,此时可能在首位,由分步计数原理可得此情况下三位偶数的数目,综合种情况,由分类计数原理计算可得答案.
【解答】
解:根据题意,分种情况讨论:
、若在个位,
此时只须在,,,,中任取个数字,作为十位和百位数字即可,有个没有重复数字的三位偶数;
、若不在个位,
此时必须在或中任取个,作为个位数字,有种取法,
不能作为百位数字,则百位数字有种取法,十位数字也有种取法,
此时共有个没有重复数字的三位偶数;
综合可得,共有个没有重复数字的三位偶数;
故选:.
5.【答案】
【解析】解:由题意二项式的展开式的通项公式为,,,,,
令,解得,
所以的系数为.
故选:.
求出展开式的通项公式,然后令的指数为,进而可以求解.
本题查了二项式定理的应用,属于基础题.
6.【答案】
【解析】解:要使原函数有意义,则,解得:且.
函数的定义域为.
故选:.
由根式内部的代数式大于等于,分式的分母不等于,对数式的真数大于联立不等式组求解.
本题考查函数的定义域及其求法,考查了不等式的解法,是基础题.
7.【答案】
【解析】【分析】
考查函数的单调性问题,属于基础题.
本题可以考虑排除法,容易看出选项D不正确,因为的图象,在整个定义域内,不具有单调性,但和在整个定义域内具有完全相同的走势,不具有这样的函数.
【解答】
选项:直线表示,曲线表示,检验符合;
选项:恒大于的曲线表示,另一个表示,检验符合;
选项:恒大于的曲线表示,另一个表示,检验符合;
不存在选项D的图象所对应的函数,在整个定义域内,不具有单调性,但和在整个定义域内具有完全相同的走势,不具有这样的函数,
故选:.
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查对数函数的单调性,必要条件、充分条件与充要条件的判断,是基础题.
分别解出,中,的关系,然后根据,的范围,确定充分条件,还是必要条件.
【解答】
解:当或时,如,,满足“”,但不能得到,
反之由即:可得成立,
“”是“”的必要不充分条件,
故选B.
9.【答案】
【解析】解:由,得
,
函数在区间内为增函数,
对任意恒成立,
即在上恒成立,
在上为减函数,
,
则.
实数的取值范围是.
故选D.
10.【答案】
【解析】解:作出的函数图象如图所示:
设直线与曲线相切,切点为,
则有,解得.
有四个不同的解,
直线与有个交点,与有个交点,
,排除,
设与的交点为,显然在第一象限,即,
排除,.
故选C.
作出函数图象,求出切线斜率,根据交点个数得出的范围.
本题考查了函数的图象与性质,导数的几何意义,属于中档题.
11.【答案】
【解析】解:展开式的通项为
令得,
所以展开式的常数项为,
故答案为:
利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项,令的指数为,求出展开式的常数项.
本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题,本题解题的关键是写出二项式的通项,本题是一个基础题.
12.【答案】
【解析】解:根据题意,这是有放回抽样,每一次取到黑球的概率均为,
则前次恰有次取到黑球的概率为 .
由题意可得,取到黑球的个数满足∽
的期望为:.
故答案为:;.
根据题意,从中每次取个球记下颜色后再放回箱中,这是有放回抽样,每一次取到黑球的概率都相等;计算可得每一次取到黑球的概率,再有次独立重复试验恰有次发生的概率公式,计算可得答案.
本题考查次独立重复试验恰有次发生的概率公式,注意其中每次试验中,事件的发生的概率必须相等,这是前提条件.
13.【答案】
【解析】解:随机变量服从正态分布,,
,
故答案为:.
本题考查正态分布曲线的性质,随机变量服从正态分布,利用,答案易得.
本题考查正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义,解题的关键是正确正态分布曲线的重点及曲线所表示的意义,由曲线的对称性求出概率,本题是一个数形结合的题,识图很重要.
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的零点问题,考查构造函数法,运用导数判断单调性,考查数形结合的思想方法,注意运用转化思想,属于中档题.
由题意可得有两个不等的实数解,令,求出导数和单调性和最值,画出图象,通过图象即可得到结论.
【解答】
解:函数,有两个零点,
等价为方程即有两个不等的实数解,
令,,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增,
则在处取得极大值,且为最大值,
当时,,且,;,,
画出函数的图象,
由图象可得时,和有两个交点,
即方程有两个不等实数解,有两个零点.
故答案为:.
15.【答案】
【解析】【解答】
解:函数,
的定义域是,
故正确;
,
时:,
时:,
故的值域是,
故正确;
,是奇函数,
故正确;
由,
令,解得:,
令,解得:或,
在区间上先增后减,
故错误;
故答案为:.
【分析】
根据的表达式求出其定义域,判断正确;根据基本不等式的性质求出的值域,判断正确;根据奇偶性的定义,判断正确;根据函数的单调性,判断错误.
本题考察了函数的定义域、值域问题,考察函数的奇偶性和单调性,是一道中档题.
16.【答案】解:由题意可知,
当时,,所以,
因为,或,
所以;
由知,,
若,即,解得,此时满足;
若,欲使,需,
解得,
综上,所求实数的取值范围是.
【解析】先求出集合,,然后结合集合的交集及补集运算即可求解;
由已知结合集合的包含关系对是否为空集进行分类讨论可求.
本题主要考查了集合的交集及补集运算,还考查了集合包含关系的应用,属于中档题.
17.【答案】解:,
,
化简得:
又
联立得:,,
;
,
时,,的变化情况如下:
由上表可知,在上的最大值是,最小值是.
【解析】求出,由函数在处取得极值得到,又,联立两个关于、的二元一次方程,求出和,得到解析式;再求出函数时的单调性,即可求函数的最大值与最小值.
本题考查利用导数研究函数最值的能力;函数在某点处有极值,那么导函数在此的函数值为.
18.【答案】解:由题意,设顾客享受到折优惠为事件,则.
小方、小红两人其中有一人享受折优惠的概率为.
若小勇选择方案一,设付款金额为元,则可能的取值为,,.
则,,.
故的分布列为
元.
若小勇选择方案二,设摸到红球的个数为,付款金额为元,则.
由已知,可得,故,
元.
由上知:,故小勇选择方案一更划算.
【解析】设顾客享受到折优惠为事件,求出概率,然后小方、小红两人其中有一人享受折优惠的概率即可.
可能的取值为,,求出概率,得到分布列,然后求解期望.小勇选择方案二,求解期望,判断结果即可.
本题考查离散型随机变量分布列以及期望的求法,考查转化思想以及计算能力,是中档题.
19.【答案】解:Ⅰ由表可知,男生成绩优秀的人数为人,女生成绩优秀的人数为人,
则该学校男生综合成绩的优秀率为,女生综合成绩的优秀率为;
Ⅱ表中成绩良好的男生人,女生人,共人,
从中随机抽取人,女生人数为,,,.
则,,,.
的分布列为:
;
Ⅲ名学生的综合成绩为,,.
【解析】Ⅰ由表求出男生与成绩优秀的人数,分别除以得答案;
Ⅱ表中成绩良好的男生人,女生人,共人,从中随机抽取人,女生人数为,,,分别求得概率,可得分布列及期望;
Ⅲ直接写出名学生的综合成绩为:,,.
本题考查离散型随机变量的期望与方差,考查古典概型概率的求法,是中档题.
20.【答案】解:Ⅰ因为,
所以,故,
所以,
所以切线方程为,即.
Ⅱ当时,,,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以的最小值为,
故时,.
Ⅲ对于函数,,
当时,,没有零点,
当时,,
当时,,所以在区间上单调递增,
当时,,所以在区间上单调递减,
当时,,所以在区间上单调递增,
所以是函数的极大值,是的极小值,
因为,
所以在上有且只有一个零点,
由,
若,即,在区间上没有零点.
若,即,在区间上只有一个零点.
若,即,由于,所以在区间上有一个零点.
由Ⅱ知,当时,,
所以,
故在区间上有一个零点,
因此时,在区间上有两个零点,
综上,当有两个零点时,.
【解析】Ⅰ对求导得,由导数的几何意义可得,进而由点斜式写出切线的方程.
Ⅱ当时,,对求导得,分析的正负,单调性,进而可得的最小值,即可证明.
Ⅲ对于函数,,分两种情况当时,当时,分析的单调性,最值,进而得函数的零点.
本题考查导数的综合应用,解题中注意分类讨论思想的应用,属于中档题.
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