2023-2024学年安徽省合肥市普通高中六校联盟高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年安徽省合肥市普通高中六校联盟高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数的图象如图所示，且为的导函数，则( )
A. B.
C. D.
2.已知函数的图像上任意一点，在点处切线与，轴分别相交于，两点，则的面积为( )
A. B. C. D.
3.已知函数若函数在上单调递减，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
4.以“奔跑合肥，科创未来”为主题的合肥马拉松，于月日开跑，共有万余名跑者在滨湖新区纵情奔跑，本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑约公里等多个项目，社会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑三个项目进行志愿者活动，则下列说法正确的是( )
A. 若全程马拉松项目必须安排人，其余两项各安排人，则有种不同的分配方案
B. 若全程马拉松项目必须安排人，其余两项各安排人，则有种不同的分配方案
C. 安排这人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有种不同的站法
D. 安排这人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有种不同的站法
5.已知可导函数的导函数为，，若对任意的，都有，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
6.若函数，既有极大值又有极小值，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知、、，那么，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若，则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.某学生在物理，化学，生物，政治，历史，地理这六门课程中选择三门作为选考科目，则下列说法正确的是( )
A. 若任意选择三门课程，则总选法为
B. 若物理和历史至少选一门，则总选法为
C. 若物理和历史不能同时选，则总选法为
D. 若物理和历史至少选一门且不能同时选，则总选法为
11.已知函数和有相同的最大值，直线与两曲线和恰好有三个交点，从左到右三个交点横坐标依此为，，，则以下说法正确的是( )
A. B.
C. ，，成等差数列 D. ，，成等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，为了迎接五一国际劳动节，某学校安排同学们在，，，四块区域植入花卉，现有种不同花卉可供选择，要求相邻区域植入不同花卉，不同的植入方法有______结果用数字作答．
13.写出一个同时具有下列性质的函数：______．
；当时，；是奇函数．
14.设实数，若对，不等式恒成立，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数图象在点处切线斜率为，且时，有极值．
求的解析式；
求函数极值．
16.本小题分
北京时间年月日时分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号遥十七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙为了某次航天任务，准备从名预备队员中其中男人，女人中选择人作为航天员参加该次任务．
若至少有一名女航天员参加此次航天任务，共有多少种选法？结果用数字作答
若选中的名航天员需分配到，，三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少种选派方式？结果用数字作答
17.本小题分
设为实数，已知，．
求在区间的值域；
对于，，使得成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知，．
讨论的单调性；
若对于定义域内任意恒成立，求取值范围．
19.本小题分
英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，注：表示的阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式．
根据该公式估算的值，精确到小数点后两位；
由该公式可得：当时，试比较与的大小，并给出证明；
设，证明：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由图可得，函数在上单调递增，
在上单调递减，
在上单调递增．
所以，．
故选：．
根据函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．
本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，所以切线的斜率，切线方程为，
令得；再令得；所以．
故选：．
求导数求出切线方程，令和求出三角形的底和高，可得结果．
本题主要考查利用导数研究切线方程，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：，
若函数在上单调递减，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
所以在上恒成立，
直线，
由对勾函数的性质可知函数在上单调递增，
所以当时，取得最大值为，
所以，所以的最小值为．
故选：．
对求导，由函数在上单调递减，可得在上恒成立，参变量分离，求函数的最值，进而可得的取值范围，从而可得最小值．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：对于，先从人中选安排到全程马拉松项目有种方法，
然后剩下人到其它两个项目有，
则由分步乘法原理可知共有种分配方案，所以A错误，B错误；
对于，先将甲、乙捆绑在一起看成一个整体，再与剩下的人进行全排列，
所以不同的站法有种，所以C错误，D正确．
故选：．
对于，先从人中选安排到全程马拉松项目，然后剩下人到其它两个项目即可，对于，利用捆绑法求解即可．
本题主要考查了排列组合知识，考查了捆绑法的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：令，
则，
因为对任意的，都有，
所以恒成立，
所以在上单调递增，
因为，所以，
所以，
所以，即不等式的解集为．
故选：．
令，求导，结合已知可得的单调性，将已知不等式进行转化，利用的单调性即可求解的取值范围．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：由题意得定义域为，，
因为函数既有极大值又有极小值，
所以有两个不相等的正根，
则，解得
故选：．
先求出定义域，再求导数得两个不相等的正根，可求出结果．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：先比较，，
，，
即比较与大小，
令，，
则，
所以在上单调递减，
所以，即，
又因为，所以，
所以，
即，
再比较，，
，
设，，
则，
所以在上单调递减，
所以，即，
因为当时，，所以，
所以当时，，
所以，即，
综上所述，．
故选：．
由题意可知，，，，构造函数，，利用其单调性可比较与的大小，构造函数，，利用其单调性可比较与的大小，进而得到，，的大小关系．
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：设，
则有，解得；
，解得，
所以，
令，，
则，
令，
则，
所以在上单调递减，
又，
所以当时，，
当时，，
即当时，，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以．
即的最大值为．
故选：．
设，则有，令，，利用导数求解即可．
本题考查了导数的综合运用、转化思想，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：若，则，A错误；
若，则，B正确；
若，则，C正确；
若，则，D错误．
故选：．
由已知结合函数的求导公式及求导法则检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数的求导公式及求导法则的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：：若任意选择三门课程，选法总数为种，
故A正确；
：在物理、化学中选一门，其它选两门，
有种，
物理、化学都选，其它选一门，
有种，
总共有种选法，
故B错误；
：任选门的种选法中，排除物理、历史同时选的种选法，
则物理和历史不能同时选，
则总选法为，
故C正确；
：若物理和历史至少选一门且不能同时选，
则总选法为，
故D正确．
故选：．
对于，应用组合公式可得；对于，由分类加法和分步乘法计数原理可得；对于，由间接法可得；对于，结合分步乘法计数原理可判断．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法计数原理及分步乘法计数原理，属中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以令，得，
令，得，
当时，在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以有最小值，无最大值，不合题意，
当时，在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以，
在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以，
因为函数和有相同的最大值，
所以，
所以，，即，对；
作出函数与的图像可得：
根据题意知当直线过两个函数的交点时，满足题意，
设，
直线与在的坐标的交点为，
直线与在的右边的交点为，
所以，且，，，
因为，
所以，
即，
又，，且在上单调递增，
所以，
所以，由，
所以，
又，，且在上单调递减，
所以，
所以，
所以，
所以，，成等比数列，
所以，即错，对．
故选：．
求导分析，的单调性，进而可得，的最大值，即，即可解得，，作出函数与的图像可得当直线过两个函数的交点时，满足题意，设，直线与在的坐标的交点为，直线与在的右边的交点为，则，且，，，进而可得答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：区域有种选择，区域有种选择，区域有种选择，区域有种选择，
由分步乘法计数原理可知，不同的植入方法共有种．
故答案为：．
依次考虑、、、区域，利用分步乘法计数原理可得结果．
本题考查了分步乘法计数原理，属于基础题．
13.【答案】答案不唯一
【解析】解：由，即满足；
对于，在上要使导函数恒成立，故，所以；
由知：，注意定义域要关于原点对称，满足是奇函数；
综上，且，满足上述要求．
故答案为：答案不唯一．
根据对数的运算性质及对数函数的导数，结合题设性质写出一个满足要求的函数解析式即可．
本题主要考查了对数函数的性质，考查了函数的奇偶性，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由，
构造函数，
所以在为增函数，则，
即对，不等式恒成立，
则，，
构造函数，
令，得；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，即．
故答案为：．
构造函数，判定其单调性得，分离参数根据恒成立求即可．
本题考查了恒成立问题，考查了转化思想及导数的综合运用，属于中档题．
15.【答案】解：因为切线斜率为，则，
又时，有极值，则，
则；
由，，
令，得或，
令或，
则在上单调递增，在上单调递减，
则在时取极大值为，
在时取极小值为．
【解析】在处的切线斜率为，结合导数的几何意义可得，由时，有极值可得，即可得答案；
由结果，利用导数知识可得的单调区间和极值；
本题主要考查利用导数求单调性和极值，属于中档题．
16.【答案】解：由题意，分成种情况讨论：
只有一名女性种选法，
有两名女性种选法，
有三名女性种选法，
所以共有种选法；
根据题意，先选名航天员，然后分为，，的三组，然后分配到，，实验室，
则，
所以共有种选派方式．
【解析】由分类加法计数原理即可求解；
利用部分平均分配即可求解．
本题考查了分类加法计数原理和部分平均分配，属于中档题．
17.【答案】解：，
当时，，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
函数在区间上的最小值为，
，
值域为．
，，使得成立，
，
又在上单调递增，
函数在区间上的最小值为，
，即实数的取值范围是．
【解析】对求导，利用导数判断函数的单调性，从而可得函数的最值，进而可得函数的值域；
已知等价于，求出的最小值，可得的不等式，求解即可．
本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：，．
，；
当时，，故在上单调递增；
当时，令，则，
故在上单调递增，在上单调递减：
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增．在上单调递减，
由题意对于定义域内任意恒成立，
即对于定义域内任意恒成立，
可知，，
即，
令，
所以，
令，则，
由于，，
所以存在，使得，
在上单调递减，在上单调递增，
最小值为，
由于，满足，
两边取对数，即，
由，
故，解得，
即取值范围为．
【解析】对函数求导后，分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间；
将问题转化为在上恒成立，构造函数，求出后得，再构造函数，对其求导判断其单调性，从而可求出的单调区间，求出其最小值，进而可求取值范围．
本题考查导数的综合应用，考查利用导数解决函数的单调性，不等式恒成立问题，属于难题．
19.【答案】解：令，，，，，，
故，，，，，
由麦克劳林公式公式得：，
所以．
当时，．
证明：令，，
，恒成立，
所以在上单调递增，且，
所以恒成立，所以在上单调递增，
且，所以．
证明：由知，，，当且仅当时取等号，
故当时，，，
，
而，
所以，
故
，
而，
所以：．
【解析】本题考查对新定义的理解，利用导数证明不等式，放缩法证明不等式，属难题．
根据麦克劳林公式，求出，代入即可求出结果；
构造函数，，求导，分析导数的符号，得出原函数的单调性和最值，即可证明结论；
对变形得，根据的结论，放缩得到，然后求和即可证明结论．
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