2023-2024学年陕西省渭南市韩城市高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省渭南市韩城市高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列，，，，，，则这个数列的第项为( )
A. B. C. D.
2.某质点沿直线运动，其位移单位：与时间单位：之间的关系为，则该质点在这段时间内的平均速度为( )
A. B. C. D.
3.某跳水运动员在距离地面高的跳台上练习跳水，其重心相对于水面的高度单位：与起跳后的时间单位：的函数关系是，则该运动员在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
4.已知为等差数列，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数等于( )
A. B. C. D.
6.若函数，则等于( )
A. B. C. D.
7.“数列和都是等比数列”是“数列是等比数列”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知实数，，，，成等比数列，集合，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的前项和为，则下列结论正确的有( )
A. 是递减数列 B. 是等差数列 C. 是递增数列 D.
10.下列函数的求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
11.某同学完成假期作业后，离开学还有天时间决定去某公司体验生活，公司给出的薪资有三种方案；方案；每天元；方案：第一天元，以后每天比前一天多元；方案：第一天元，以后每天比前一天翻一番，为了使体验生活期间的薪资最多，下列方案选择正确的是( )
A. 若体验天，则选择方案 B. 若体验天，则选择方案
C. 若体验天，则选择方案 D. 若体验天，则选择方案
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数在上存在导数，且，则 ______．
13.高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智如南宋数学家杨辉在详解九章算法商功一书中记载的三角垛、方垛、刍蔓垛等的求和都与高阶等差数列有关如图是一个三角垛，最顶层有个小球，第二层有个，第三层有个，第四层有个，，则第层小球的个数为______．
14.在如图所示的表格中，每个空格中填入一个数字，使每一行方格中的数成等比数列，每一列方格中的数成等差数列，则所填数字之积的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
一小球做简谐振动，其运动方程为，其中单位：是小球相对于平衡点的距离，单位：为运动时间．
Ⅰ求小球在时刻的速度；
Ⅱ从开始，最少经过多长时间该小球的瞬时速度达到最大？
16.本小题分
已知等差数列的前项和为，且，．
Ⅰ求的通项公式；
Ⅱ求使成立的的取值集合．
17.本小题分
已知是各项为正数的等比数列，其前项和为，，．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ求数列的前项和．
18.本小题分
已知数列满足，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求数列的前项和．
19.本小题分
记无穷数列前项中的最大值为，最小值为，令．
Ⅰ若，请写出，，的值；
Ⅱ求证：“数列是递增的等差数列”是“数列是递增的等差数列”的充要条件．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：数列的项可化为，，，，，，，
则这个数列的通项公式为，
所以这个数列的第项为．
故选：．
归纳出数列的通项公式即可求解．
本题主要考查了数列的通项公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：根据题意，位移单位：与时间单位：之间的关系为，
则该质点在这段时间内的平均速度为．
故选：．
根据题意，由平均速度的计算方法，列式计算，即可得答案．
本题考查变化率的计算，涉及平均变化率的计算公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
则，
当时，，
即该运动员在时的瞬时速度为．
故选：．
利用瞬时变化率的实际意义求解．
本题主要考查了瞬时变化率的实际意义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：为等差数列，，，
，
解得，，
．
故选：．
利用等差数列的性质列方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．
本题考查等差数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：曲线，
则，
直线的斜率为，
曲线在点处的切线与直线垂直，
则，解得．
故选：．
结合导数的几何意义，以及直线垂直的性质，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，以及直线垂直的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
，，
，，
，，
．
故选：．
根据幂函数的求导公式求导即可．
本题考查了幂函数的求导公式，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：若数列，都是等比数列，设其公比分别为，为常数，
则，
所以当时，，为常数，
由等比数列的定义知，数列是以为首项，以为公比的等比数列，
故充分性成立；
若数列是等比数列，设，
当，时，满足，
但，都不是等比数列，故必要性不成立．
所以“数列、都是等比数列”是“数列为等比数列”的充分不必要条件．
故选：．
根据等比数列的定义和通项公式可证明充分性成立，举例说明可证明必要性不成立，即可求解．
本题考查充分必要条件，考查等比数列的定义，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：实数，，，，成等比数列，
集合，且，
当取最小值时，，，且，
解得，
此时，．
故选：．
利用等比数列的性质得：当取最小值时，，，且，由此能求出．
本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】
【解析】解：根据题意，数列的前项和为，
当时，有，
当时，有，
综合可得：，
则数列是首项为，公差的的等差数列，
依次分析选项：
对于，数列是公差的的等差数列，是递增数列，A错误；
对于，数列是首项为，公差的的等差数列，B正确；
对于，当时，，此时，不是递增数列，C错误；
对于，，D正确．
故选：．
根据题意，由数列的前项和公式推出数列的通项公式，结合等差数列的性质依次分析选项，综合可得答案．
本题考查数列的函数特性，涉及等差数列的性质，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：，A错误；
，B正确；
，C正确；
，D正确．
故选：．
由已知结合函数的求导公式及求导法则检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数的求导公式及求导法则的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于：若体验天，方案：元，方案：元，方案：元，
，体验天，选择方案，故A正确；
对于：若体验天，方案：元，方案：元，方案：元，
，体验天，选择方案，故B错误；
对于：若体验天，方案：元，方案：元，方案：元，
，体验天，选择方案，故C正确；
对于：若体验天，方案：元，方案：元，方案：元，
，体验天，选择方案，故D正确．
故选：．
根据等差数列和等比数列的求和公式，逐一分析选项，比较大小，即可得出答案．
本题考查等差数列和等比数列的综合应用，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由题意可得．
故答案为：．
利用极限的运算性质以及导数的几何意义化简即可求解．
本题考查了极限的运算性质以及导数的几何意义，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：第层有个球，则，，，，
结合高阶等差列的概念知：
，，，，，
第层小球的个数为：
．
故答案为：．
记第层有个球，则根据题意可得，再根据累加法求解即可．
本题考查等差数列性质、累加法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
14.【答案】
【解析】解：由题意得，，
因为，，成等比数列，所以，
因为，，成等差数列，所以，
又，，成等比数列，，，成等比数列，
所以，，
因为，
所以，，
故．
故答案为：．
由已知结合等差数列与等比数列的性质分别求出，，，，，即可求解．
本题主要考查了等差数列与等比数列的性质的应用，属于基础题．
15.【答案】解：Ⅰ，
瞬时速度为，
小球在时刻的速度为；
Ⅱ由Ⅰ知小球的瞬时速度为，
小球的瞬时速度最大时，
解得，即，，
最少经过该小球的瞬时速度达到最大．
【解析】Ⅰ由题意可知，瞬时速度为，再令求解即可；
Ⅱ根据正弦函数的性质求解．
本题主要考查了导数的实际意义，属于基础题．
16.【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为，
，，
，
解得，，
的通项公式为．
Ⅱ由Ⅰ知，
，，整理得，
，，解得．
满足条件的的取值集合为．
【解析】Ⅰ根据等差数列的通项公式和前项和公式建立方程组，能求出结果；
Ⅱ利用等差数列的通项公式和前项和公式化简单不等式，能求出结果．
本题考查等差数列的通项公式和前项和公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：Ⅰ是各项为正数的等比数列，其前项和为，，．
可得，解得舍去，则；
Ⅱ数列的前项和，
，
两式相减可得，
则．
【解析】Ⅰ由等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求；
Ⅱ由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和．
本题考查等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：Ⅰ由，，可得，，，，，
数列是最小正周期为的数列，则；
Ⅱ数列前项和
．
【解析】Ⅰ由数列的递推式，计算前几项，推得数列是最小正周期为的数列，可得所求值；
Ⅱ运用数列的分组求和，结合数列的周期性，计算可得所求和．
本题考查数列的递推式和数列的周期性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ，，，，
，，，
，
，，．
Ⅱ证明：充分性当数列是递增的等差数列时，设其公差为，则，
，，，
，
，
数列是递增的等差数列，即充分性成立．
必要性当数列是递增的等差数列时，设其公差为，则，
，
若，则，，从而，这与矛盾，
若，则，，从而，这与矛盾，
若，则，，从而，符合题意，
，数列是递增的等差数列，即必要性成立．
“数列是递增的等差数列”是“数列是递增的等差数列”的充要条件．
【解析】Ⅰ由，得，，，从而，，，进而，由此能求出，，．
Ⅱ当数列是递增的等差数列时，推导出，从而得到数列是递增的等差数列；当数列是递增的等差数列时，若，则，，从而，得到数列是递增的等差数列．由此能证明“数列是递增的等差数列”是“数列是递增的等差数列”的充要条件．
本题考查等差数列的性质、数列的单调性、最值、充分条件、必要条件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
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