2023-2024学年黑龙江省哈尔滨三十二中高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年黑龙江省哈尔滨三十二中高二（下）期中数学试卷
1.如果三个数，，成等差数列，则的值为( )
A. B. C. D.
2.数列的前的项和为，则( )
A. B. C. D.
3.名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.设，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知是各项均为正数的等比数列，且，则公比( )
A. 或 B. C. D.
6.曲线在点处的切线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
7.在公差不为的等差数列中，，，是公比为的等比数列，则( )
A. B. C. D.
8.若曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为( )
A. B. C. D.
9.下列求导正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是( )
A. 在上单调递减
B. 在处取得最大值
C. 在上单调递减
D. 在处取得最小值
11.已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是( )
A. 是递减数列 B. ，
C. D.
12.一张餐桌上有盘不同的菜，甲、乙、丙名同学每人从中各取盘菜，不同的取法共有______种
13.设函数，若，则 ______．
14.已知等差数列的前项和为若，，则 ______．
15.已知是等差数列，是等比数列，且，，．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.设函数．
求曲线在处的切线方程；
求的单调区间与极值；
求出方程的解的个数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等差数列，是基础题，解题时要注意等差数列的概念的合理运用．
利用等差数列的概念求解．
【解答】
解：三个数，，成等差，
，即，
解得．
故选D．
2.【答案】
【解析】解：因为，
所以当，时，，
所以当，时，，
即当，时，，
当时，，不满足上式，
所以，
所以．
故选：．
直接利用当，时，求解数列的通项公式，赋值即可得出所求的答案．
本题考查数列的通项公式的求法，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
3.【答案】
【解析】解：依题意从同学中选出人安排到甲场馆有种方法，
再将剩下的名同学分成两组，每组两人，并安排到乙丙场馆，有种方法，
故共有种安排方法．
故选：．
先从同学中选出人安排到甲场馆，再将剩下的名同学分成两组，每组两人，并安排到乙丙场馆，最后由分步计数原理得解．
本题考查排列组合知识的应用，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考察了导数的四则运算法则，及简单的对数方程的解法，解题时要熟记导数运算法则和对数运算法则，准确运算．
先利用导数乘法的运算法则求函数的导函数，再解对数方程即可．
【解答】
解：
，，即
故选：．
5.【答案】
【解析】解：等比数列中，各项均为正数，且，
即，所以，
即，解得或不合题意，舍去，
所以公比．
故选：．
根据等比数列的通项公式，列出方程，即可求出公比的值．
本题考查了等比数列的定义与性质应用问题，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
当时，，即曲线在点处的切线的斜率为，
则倾斜角为．
故选：．
求导，利用导数的几何意义可得斜率，进而得到倾斜角．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：在公差不为的等差数列中，，，是公比为的等比数列，
所以，
所以，
又，
则．
故选：．
由已知结合等差数列的通项公式及等比数列的性质即可求解．
本题主要考查了等差数列的通项公式及等比数列的性质的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，，
又曲线在点处的切线与直线垂直，
则，解得．
故选：．
求导后可得，再根据垂直关系可得，进而得解．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：，A错误；
，B正确；
，C正确；
，D正确．
故选：．
由已知结合函数的求导公式检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数的求导公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：当或时，，故函数在，上单调递减，
当或时，，故函数在上单调递增，
当或时函数取得极大值，
函数最大值为，，
无最小值，
故选：．
结合图象，求出函数的单调区间，在判断函数的最值．
本题考查了导数和函数的单调性和极值，最值的关系，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：等差数列的前项和为，且，所以，
又，所以，
所以公差，是递增数列，选项A错误；
所以，所以，选项B正确；
由，，且，所以，选项C正确；
因为，，所以的最小值为，所以，选项D正确．
故选：．
根据等差数列的通项公式与前项和公式，对选项中的命题分析、判断正误即可．
本题考查了等差数列的定义与性质应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：可以先从这盘菜中取盘给同学甲，然后从剩下的盘菜中取盘给同学乙，最后从剩下的盘菜中取盘给同学丙，
按分步乘法计数原理，不同的取法种数为．
故答案为：．
利用分步乘法计数原理求解．
本题主要考查了分步乘法计数原理的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：因为，
所以，
若，
解得，．
故答案为：．
先对函数求导，然后把代入导函数，结合已知即可求解．
本题主要考查了函数求导公式的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：等差数列中，设首项为，公差为，则，，
解得，，所以，
所以．
故答案为：．
根据等差数列的定义与性质，求出首项与公差，再计算前项和，利用裂项法求出．
本题考查了等差数列的定义与性质应用问题，也考查了数学运算核心素养，是基础题．
15.【答案】解：因为是等差数列，是等比数列，且，，
故公比，，
所以，
所以公差，
所以；
，
所以
，
即数列的前项和．
【解析】先求出等比数列的公比，然后结合通项公式求，再由等差数列的性质及通项公式求出；
先求出，然后结合等差数列与等比数列的求和公式及分组求和即可求解．
本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式，求和公式的应用，还考查了分组求和方法的应用，属于中档题．
16.【答案】解：函数，定义域为，
，
故，，
所以曲线在处的切线方程为：，即；
因为，
当或时，，原函数单调递增；
当时，，原函数单调递减；
所以的单调递增区间为，；的单调递减区间为．
的极大值为；的极小值为．
由可得，函数的极大值为；的极小值为．
方程的解的个数即为与的交点个数；
故当或时，方程的解为个；
当或时，方程的解为个；
当时，方程的解为个．
【解析】求出导函数，进而求解结论；
根据导函数的正负即可求解结论；
把问题转化为与的交点个数，数形结合即可求解结论．
本题主要考查导数知识的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
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