2023-2024学年河南省开封市五校高二（下）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省开封市五校高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
3.从集合中任取两个不同的数，组成复数，其中虚数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.将个志愿者的名额分配给个班，每班至少一个名额，则不同的分配方法的种数为( )
A. B. C. D.
5.已知，是一个随机试验中的两个事件，且，则( )
A. B. C. D.
6.甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”甲、乙等名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单独人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.A、两组各有人独立的破译某密码，组每个人成功破译出该密码的概率为，组每个人成功破译出该密码的概率为，记、两组中成功破译出该密码的人数分别为，，若，则下列关系正确的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于同余的问题用表示整数被整除，设，，且，若，则称与对模同余，记为已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，且，则( )
A. B.
C. D.
10.若，则下列说法正确的有( )
A. B.
C. D.
11.如图，在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，则下列说法正确的是( )
A.
B. 当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的体积为
C. 当二面角的余弦值为时，
D. 若二面角的大小为，且时，直线与所成角的余弦值最大为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的值为______．
13.一个袋子中共有个大小相同的球，其中个红球，个白球，从中随机摸出个球，设取到白球的个数为，则的方差为______．
14.在某市举办的城市运动会的跳高比赛中，甲、乙两名跳高运动员一次试跳米高度成功的概率分别是、，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，若甲、乙各试跳两次，则两人中恰有一人第二次才成功的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影我本是高山于年月日上映，某数学组有名男教师和名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起求：
名女教师必须坐在一起的坐法有多少种？
名女教师互不相邻的坐法有多少种？
16.本小题分
某市高二年级期末统考的物理成绩近似服从正态分布，规定：分数高于分为优秀．
估计物理成绩优秀的人数占总人数的比例；
若该市有名高二年级的考生，估计全市物理成绩在内的学生人数参考数据：若，则，，．
17.本小题分
已知椭圆的上顶点与左、右焦点连线的斜率之积为．
求椭圆的离心率；
已知椭圆的左、右顶点分别为，，且，点是上任意一点与，不重合，直线，分别与直线：交于点，，为坐标原点，求．
18.本小题分
在某大学组织农村专项招生考试面试环节，共设置道面试题目，每道题分已知某学生对于前道题，每道题答对的概率均为；对于第道题，答对的概率为记该学生的总得分为．
求该学生前道题至少答对道题的概率；
求的分布列及数学期望．
19.本小题分
给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“固点”经研究发现所有的三次函数都有“固点”，且该“固点”也是函数的图象的对称中心根据以上信息和相关知识回答下列问题：已知函数．
当时，试求的对称中心；
讨论的单调性；
当时，有三个不相等的实数根，当取得最大值时，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
所以．
故选：．
先求出集合，再利用集合的交集运算求解．
本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的交集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为展开式的通项公式为，
令，得，所以，
即展开式的常数项为．
故选：．
利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为，求出，将的值代入通项求出常数项．
本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：若为虚数，则，
则，，，有种，则对应的有种，
则共有个．
故选：．
根据复数的概念进行求解即可．
本题考查了复数的基本概念，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：将个名额排成一排形成个空档，在个空档中放入个挡板，有种方法，
则不同的分配方法的种数为．
故选：．
由相同元素分组问题隔板法求解．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了相同元素分组问题，属基础题．
5.【答案】
【解析】解：，，．
故选：．
由条件概率计算公式直接计算即可．
本题考查条件概率的应用，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，甲、乙都单独人去某一个景点打卡游玩，
则剩下的人去其他的两个景点游玩，则其余位主播有两种情况：
位主播去一个景点，位主播去另外一个景点，有种不同游玩方法，
分别都是位主播去一个景点，种不同游玩方法，
则不同游玩方法种．
故选：．
根据题意，剩下的人去其他的两个景点游玩，由此按旅游的人数分种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由题意可知：服从二项分布，所以，，
同理：服从二项分布，所以，，
因为，所以，所以，
对于二次函数，对称轴，所以在上函数单调递增，
所以当时，有，即．
故选：．
由题意分析，均服从二项分布，利用二项分布的均值和方差公式直接求得．
本题主要考查了二项分布的均值和方差公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：
，
又能够被整除，
被除余，
，又除以余，A错误；
除以余，B错误；
除以余，C错误；
除以余，D正确．
故选：．
利用二项式定理及“中国剩余定理”逐项分析可得答案．
本题考查二项式定理，解题中需要理清思路，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，由组合数的性质可知，故A项错误；
对于，因为，
故，故B项正确；
对于，由，可知，故C项正确；
对于，，故D项错误．
故选：．
根据组合数的公式及其性质，对各项的结论逐一加以验证，即可得到本题的答案．
本题主要考查排列数与组合数公式及其性质等知识，考查了计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：令，则，则已知等式，
即，
再令，可得，即，故A正确．
令，可得，又，所以，故B正确．
令，可得．
再把代入，可得，
，故C错误．
由题可知，故D正确．
故选：．
令，再令，求得的值，再分别令，，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：在三棱锥中，和均为边长为的等边三角形，
取的中点，连接，，如图，
则，，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以，A正确；
对于：由上可知，
又平面，
所以平面平面，又平面平面，
于是点在平面上的射影在直线上，
所以点到平面的距离，当且仅当时取等号，
因为面积为定值，
所以最大时三棱锥的体积最大，
此时平面平面，且平面，平面，
令，的中心分别为，，
三棱锥外接球球心为，则平面，平面，
所以，，
四边形是矩形，，，
因此三棱锥的外接球半径，
所以三棱锥的外接球的体积，B错误；
对于：由选项A知，为二面角的平面角，即，
因为，，
所以，
所以，C正确；
对于：二面角的大小为，即，
所以，
记直线与所成角的大小为，
则，，
当 时，，，
所以，则，
所以的最大值为，D正确．
故选：．
取的中点，连接，，利用线面垂直的判断判断；确定三棱锥体积最大时图形位置，并求出球半径计算判断；利用空间向量数量积判断；求出异面直线夹角余弦的函数关系求解判断作答．
本题考查球有关的内切或外接问题时，解题关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，
所以．
故答案为：．
利用三角函数的诱导公式，二倍角的正余弦公式以及同角三角函数的基本关系化简即可求得．
本题考查三角恒等变换的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由题意，满足超几何分布，且的取值为，，，
则，，，
所以，，
所以．
故答案为：．
由题意的取值为，，，计算出各自对应的概率，求出期望和方差即可求解．
本题考查了离散型随机变量的方差计算，属于中档题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件同时发生的概率的求法．
【解答】
解：记“甲第次试跳成功”为事件，“乙第次试跳成功”为事件，依题意得
，，且，相互独立，
“甲第二次试跳才成功”为事件，且两次试跳相互独立，
，
故甲第二次试跳才成功的概率为；
同理可求得乙第二次试跳才成功的概率为；
故两人中恰有一人第二次才成功的概率为．
故答案为：．
记“甲第次试跳成功”为事件，“乙第次试跳成功”为事件，依题意得，，且，相互独立，由此能求出两人中恰有一人第二次才成功的概率．
15.【答案】解：根据题意，先将名女教师排在一起，有种坐法，
将捆好的女教师视为一个整体，与名男教师进行排列，共有种坐法，
相乘共有种坐法；
根据题意，先将名男教师排好，有种坐法，
再在个空种选个，有种坐法，
相乘共有种坐法．
【解析】女老师相邻捆绑，求出结果，再和其他老师全排，相乘可得结果；
先全排男老师，求出结果，再中个空中选个进行排列，相乘可得结果．
本题考查相邻问题及不相邻用插空的排列方法，属于基础题．
16.【答案】解：设学生的物理得分为随机变量，则，所以，，
所以，
，
所以物理成绩优秀的人数占总人数的比例为．
由题意，得，，
即，，
所以
所以．
又，所以全市物理成绩在内的学生人数估计为人．
【解析】由计算可得；，由此计算可得．
本题考查正态分布的应用，属于中档题．
17.【答案】解：根据题意可得椭圆的上顶点的坐标为，左、右焦点的坐标分别为，，
由题意可知，即，
又，所以，即，
可得椭圆的离心率．
由，得，即，
所以椭圆的方程为．
如图所示：
设，则，即，
又，，则直线的方程为，
直线的方程为；
因为直线，分别与直线：交于点，，
可得，
所以．
即．
【解析】由椭圆标准方程可写出顶点以及焦点坐标，由斜率之积可得，即可求出离心率；
设出点坐标，写出直线和的方程求出交点，坐标，利用化简的表达式即可求得结果．
本题考查了直线与椭圆的综合，椭圆的性质，考查了转化思想和方程思想，属中档题．
18.【答案】解：设事件表示“该学生前道题至少答对道题”，
则；
由题意可知，的取值可能为，，，，，
则，，，，
，
所以的分布列为：
所以．
【解析】利用独立事件的概率乘法公式求解；
由题意可知，的取值可能为，，，，，再利用独立事件的概率乘法公式求出相应的概率，进而得到的分布列，再结合期望公式求解．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
19.【答案】解：，，，
令，得，
又，
所以的对称中心为．
，
令，则，，
当时，，恒成立，
所以函数在上单调递增，
当时，，
所以在，上，，函数上单调递增，
在上，，函数上单调递减，
当时，，
所以在，上，，函数上单调递增，
在上，，函数上单调递减，
综上所述：
当时，在上单调递增，
当时，在，上单调递增，在上单调递减，
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
，，
令，得，
又，
所以对称中心为，
当和时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
，，
要使得有三个解，则需，，且，，是方程的根，
由于对称性，为了简化研究，只研究的情况，
，
根据常数项知，
根据对称性知，，且，
所以，即，
所以，
当时，取得最大值，此时．
【解析】求导得到导函数，再求导取为，计算得到对称中心．
求导得到导函数，考虑，，三种情况，分类讨论得到答案．
确定函数对称中心，根据对称性和常数项得到，，计算，得到答案．
本题考查了导数的综合应用，参数范围问题，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
第1页，共1页