人教版八年级数学上册
11.2.1《三角形的内角》同步训练习题
一．选择题（共7小题）
1．（2015?肥城市一模）将一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
2．（2015?绵阳）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（ ）2-1-c-n-j-y
A．118° B．119° C．120° D．121°
3．（2015?临夏州模拟）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上的点，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=（ ） 21*cnjy*com
A．110° B．140° C．220° D．70°
4．（2015?路南区一模）如果CD平分含30°三角板的∠ACB，则∠1等于（ ）
A．110° B．105° C．100° D．95°
5．（2015?郑州模拟）如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于（ ）【出处：21教育名师】
A．110° B．115° C．120° D．130°
6．（2015春?晋江市期末）若△ABC满足下列某个条件，则它不是直角三角形的是（ ）
A．∠C=∠A+∠B B．∠C=∠A﹣∠B
C．∠A：∠B：∠C=1：4：3 D．∠A=2∠B=3∠C
7．（2015春?苏州校级期末）如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是（ ）21*cnjy*com
A．180° B．270° C．360° D．540°
二．填空题（共7小题）
8．（2015?建宁县校级质检）三角形的一个内角平分线与其相邻的外角平分线所夹的角的度数是 ．
9．（2015春?雅安校级期中）直角三角形两锐角平分线所夹钝角是 度．
10．（2015春?重庆校级期末）如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，且∠B=50°，∠C=70°，则∠EAD= ．
11．（2015春?山亭区期末）如图，已知△ABC中，∠B=90°，角平分线AD、CF相交于E，则∠AEC的度数是 ．
12．（2015春?道外区期末）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=70°，AD平分∠BAC，交BC于F，DE⊥BC于E，则∠D= °．
13.（2015春?无锡校级月考）把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ABC= ．
14．（2015秋?周口校级月考）如图，已知∠B=46°，△ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= ．
三．解答题（共4小题）
15．（2015春?泰兴市期末）如图，BD是∠ABC的平分线，DE∥CB，交AB于点E，∠A=45°，∠BDC=60°，求△BDE各内角的度数．
16．（2015春?茂名期末）如图，△ABC中，∠A=46°，CE是∠ACB的平分线，B、C、D在同一直线上，FD∥EC，∠D=42°，求证：∠B=50°．
17．（2015春?滦平县期末）如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=20°，AD为△ABC的高，AE为角平分线．求∠EAD的度数．21cnjy.com
18．（2015春?太仓市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，若∠EBC=32°，∠AEB=70°．
（1）求证：∠BAD：∠CAD=1：2；
（2）若点F为线段BC上的任意一点，当△EFC为直角三角形时，求∠BEF的度数．
人教版八年级数学上册
11.2.1《三角形的内角》同步训练习题答案
一．选择题（共7小题）
1．（2015?肥城市一模）将一副三角板按图中的方式叠放，则∠α等于（ ）
A．75° B．60° C．45° D．30°
2．（2015?绵阳）如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线BE，CD相交于点F，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（ ）
A．118° B．119° C．120° D．121°
【考点】三角形内角和定理．21世纪教育网
【分析】由三角形内角和定理得∠ABC+∠ACB=120°，由角平分线的性质得∠CBE+∠BCD=60°，再利用三角形的内角和定理得结果．
【解答】解：∵∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∵BE，CD是∠B、∠C的平分线，
∴∠CBE=∠ABC，∠BCD=，
∴∠CBE+∠BCD=（∠ABC+∠BCA）=60°，
∴∠BFC=180°﹣60°=120°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和角平分线的性质，综合运用三角形内角和定理和角平分线的性质是解答此题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
3．（2015?临夏州模拟）如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上的点，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=（ ）
A．110° B．140° C．220° D．70°
【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．21世纪教育网
【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠ADE+∠AED，再根据翻折变换的性质可得∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，然后利用平角等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠A=70°，
∴∠ADE+∠AED=180°﹣70°=110°，
∵△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，
∴∠A′DE=∠ADE，∠A′ED=∠AED，
∴∠1+∠2=180°﹣（∠A′ED+∠AED）+180°﹣（∠A′DE+∠ADE）=360°﹣2×110°=140°．21·世纪*教育网
故选B．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，整体思想的利用求解更简便．
4．（2015?路南区一模）如果CD平分含30°三角板的∠ACB，则∠1等于（ ）
A．110° B．105° C．100° D．95°
【考点】三角形内角和定理．21世纪教育网
【分析】先根据角平分线定义得到∠ACD=45°，然后在△ACD中根据三角形内角和求∠1的度数．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=×90°=45°，
在△ACD中，∵∠1+∠A+∠ACD=180°，
∴∠1=180°﹣30°﹣45°=105°．
故选B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．对三角板的特殊角要了解．
5．（2015?郑州模拟）如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A=50°，则∠BOC等于（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130°
【考点】三角形内角和定理；角平分线的定义．21世纪教育网
【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数，再根据三角形的内角和等于180°即可求出∠BOC的度数．
【解答】解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣50°=130°，
∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×130°=65°，
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣65°=115°．
故选B．
【点评】本题主要利用三角形的内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握定理和概念是解题的关键．
6．（2015春?晋江市期末）若△ABC满足下列某个条件，则它不是直角三角形的是（ ）
A．∠C=∠A+∠B B．∠C=∠A﹣∠B
C．∠A：∠B：∠C=1：4：3 D．∠A=2∠B=3∠C
【考点】三角形内角和定理．21世纪教育网
【分析】根据三角形内角和定理得出∠A+∠B+∠C=180°，根据选项中的条件求出三角形的最大角的度数，再判断即可．
【解答】解：A、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=∠A+∠B，
∴∠C=90°，即三角形是直角三角形，故本选项错误；
B、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠C=∠A﹣∠B，
∴∠A=90°，即三角形是直角三角形，故本选项错误；
C、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A：∠B：∠C=1：4：3
∴∠B=90°，即三角形是直角三角形，故本选项错误；
D、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=2∠B=3∠C，
∴∠A≈98°，即三角形不是直角三角形，故本选项正确；
故选D．
【点评】本题考查了直角三角形的判定，三角形内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于180°．
7．（2015春?苏州校级期末）如图所示，把一个三角形纸片ABC的三个顶角向内折叠之后（3个顶点不重合），那么图中∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．180° B．270° C．360° D．540°
【考点】三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．21世纪教育网
【分析】由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A'，又知∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，故能求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和．
【解答】解：由题意知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A'，
∵∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2（∠B+∠C+∠A）=360°．
故选C．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知图形翻折变换的性质是解答此题的关键．
二．填空题（共7小题）
8．（2015?建宁县校级质检）三角形的一个内角平分线与其相邻的外角平分线所夹的角的度数是 90° ．21教育网
【考点】三角形内角和定理；三角形的角平分线、中线和高．21世纪教育网
【分析】首先根据AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAF的平分线，判断出∠BAD=∠CAD，∠BAE=∠EAF，进而判断出∠BAD+∠BAE=∠CAD+∠EAF；然后根据∠BAD+∠BAE+∠CAD+∠EAF=180°，求出∠BAD+∠BAE的度数，即可判断出三角形的一个内角平分线与其相邻的外角平分线所夹的角的度数是多少．
【解答】解：如图，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAF的平分线，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAE=∠EAF，
∴∠BAD+∠BAE=∠CAD+∠EAF，
又∵∠BAD+∠BAE+∠CAD+∠EAF=180°，
∴∠BAD+∠BAE=180°÷2=90°
即∠DAE=90°，
∴三角形的一个内角平分线与其相邻的外角平分线所夹的角的度数是90°．
故答案为：90°．
【点评】（1）此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．21·cn·jy·com
（2）此题还考查了三角形的角平分线的性质和应用，以及三角形的外角的性质和应用，要熟练掌握．
9．（2015春?雅安校级期中）直角三角形两锐角平分线所夹钝角是 135 度．
【考点】三角形内角和定理．21世纪教育网
【分析】先画图，再根据图来解答．先利用AE、BF是两个锐角的角平分线，可知∠BAD+∠DBA=45°．在△ABD中，利用三角形内角和等于180°，可求∠ADB．
【解答】解：如右图所示，AE、BF分别是Rt△ABC两个锐角的角平分线．
∵△ABC是直角三角形，
∴∠BAC+∠BAC=90°，
又∵AE、BF是∠BAC、∠ABC的角平分线，
∴∠BAD+∠ABD=（∠BAC+∠BAC）=×90°=45°，
∴在△ABD中，∠ADB=180°﹣（∠BAD+∠ABD）=180°﹣45°=135°．
【点评】本题利用了三角形内角和定理、角平分线的定义．
三角形三个内角的和等于180°．
10．（2015春?重庆校级期末）如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高线，且∠B=50°，∠C=70°，则∠EAD= 10° ．2·1·c·n·j·y
【考点】三角形内角和定理．21世纪教育网
【分析】根据三角形的内角和等于180°求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAD，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAE，然后根据∠EAD=∠BAE﹣∠BAD代入数据进行计算即可得解．
【解答】解：∵∠B=50°，∠C=70°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣50°﹣70°=60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠BAC=×60°=30°，
∵AE是△ABC的高线，
∴∠BAE=90°﹣∠B=90°﹣50°=40°，
∴∠EAD=∠BAE﹣∠BAD=40°﹣30°=10°．
故答案为：10°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，是基础题，准确识图找出各角度之间的关系是解题的关键．
11．（2015春?山亭区期末）如图，已知△ABC中，∠B=90°，角平分线AD、CF相交于E，则∠AEC的度数是 135° ．
【考点】三角形内角和定理．21世纪教育网
【分析】根据三角形的内角和定理求出∠BAC+∠ACB，再根据角平分线的定义求出∠EAC+∠ECA，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠B=90°，
∴∠BAC+∠ACB=180°﹣90°=90°，
∵角平分线AD、CF相交于E，
∴∠EAC+∠ECA=（∠BAC+∠ACB）=×90°=45°，
在△ACE中，∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣45°=135°．
故答案为：135°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
12．（2015春?道外区期末）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=70°，AD平分∠BAC，交BC于F，DE⊥BC于E，则∠D= 20 °．
【考点】三角形内角和定理．21世纪教育网
【分析】根据三角形内角和定理易求∠BAC的度数，因为AD平分∠BAC，进而可求出∠CAF的度数，再根据三角形内角和定理可求出∠AFC的度数，由对顶角相等和垂直的性质即可求出∠D的度数．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：∵∠B=30°，∠C=70°，
∴∠BAC=80°
∵AD平分∠BAC，
∴∠FAC=40°，
∴∠AFC=180°﹣70°﹣40°=70°，
∴∠EFD=70°，
∵DE⊥BC于E，
∴∠DEF=90°，
∴∠D=90°70°=20°，
故答案为20．
【点评】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°，是基础题，准确识别图形是解题的关键．
13．（2015春?无锡校级月考）把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠ABC= 75° ．
【考点】三角形内角和定理．21世纪教育网
【专题】计算题．
【分析】根据三角形的内角和定理，可求出∠ABC=180°﹣（∠BAC+∠BCA）=75°．
【解答】解：∵依题可知∠ABC=180°﹣（∠BAC+∠BCA）=75°．
【点评】本题主要考查三角形的内角和定理和三角板的度数．
14．（2015秋?周口校级月考）如图，已知∠B=46°，△ABC的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= 67° ．
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．21世纪教育网
【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角定理求得∠DAC+∠ACF=（∠B+∠B+∠1+∠2）=113°；最后在△AEC中利用三角形内角和定理可以求得∠AEC的度数．
【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC=∠DAC，∠ECA=∠ACF，
∵∠DAC=∠B+∠2，∠ACF=∠B+∠1
∴∠DAC+∠ACF=（∠B+∠2）+（∠B+∠1）=（∠B+∠B+∠1+∠2），
∵∠B=46°（已知），∠B+∠1+∠2=180°（三角形内角和定理），
∴∠DAC+∠ACF=113°
∴∠AEC=180°﹣（∠DAC+∠ACF）=67°．
故答案是：67°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质．解题时注意挖掘出隐含在题干中已知条件“三角形内角和是180°”．
三．解答题（共4小题）
15．（2015春?泰兴市期末）如图，BD是∠ABC的平分线，DE∥CB，交AB于点E，∠A=45°，∠BDC=60°，求△BDE各内角的度数．
【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．21世纪教育网
【专题】计算题．
【分析】利用三角形的外角性质，先求∠ABD，再根据角平分线的定义，可得∠DBC=∠ABD，运用平行线的性质得∠BDE的度数，根据三角形内角和定理可求∠BED的度数．
【解答】解：∵∠A=45°，∠BDC=60°，
∴∠ABD=∠BDC﹣∠A=15°．
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠DBC=∠EBD=15°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE=∠DBC=15°；
∴∠BED=180°﹣∠EBD﹣∠EDB=150°．
【点评】本题综合考查了平行线的性质及三角形内角与外角的关系，三角形内角和定理．
16．（2015春?茂名期末）如图，△ABC中，∠A=46°，CE是∠ACB的平分线，B、C、D在同一直线上，FD∥EC，∠D=42°，求证：∠B=50°．
【考点】三角形内角和定理；平行线的性质．21世纪教育网
【专题】应用题．
【分析】根据两直线平行，同位角相等，即可得出∠BCE的度数，再根据角平分线的性质即可得出∠ACB的度数，再根据三角形的内角和定理即可证明．
【解答】证明：∵FD∥EC，∠D=42°，
∴∠BCE=42°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACB=2∠BCE=84°，
∵∠A=46°，
∴∠B=180°﹣84°﹣46°=50°．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的性质以及平行线的性质，难度适中．
17．（2015春?滦平县期末）如图，在△ABC中，∠B=60°，∠C=20°，AD为△ABC的高，AE为角平分线．求∠EAD的度数．21教育名师原创作品
【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质．21世纪教育网
【分析】首先根据三角形的内角和定理，求出∠BAC的度数是多少；然后根据AE为角平分线，求出∠BAE的度数是多少；最后在Rt△ABD中，求出∠BAD的度数，即可求出∠EAD的度数是多少．
【解答】解：∵∠B=60°，∠C=20°，
∴∠BAC=180°﹣60°﹣20°=100°，
∵AE为角平分线，
∴∠BAE=100°÷2=50°，
∵AD为△ABC的高，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°﹣60°=30°，
∴∠EAD=∠BAE﹣∠BAD=50°﹣30°=20°，
即∠EAD的度数是20°．
【点评】（1）此题主要考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°．21世纪教育网版权所有
（2）此题还考查了三角形的外角的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
18．（2015春?太仓市期末）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，若∠EBC=32°，∠AEB=70°．www.21-cn-jy.com
（1）求证：∠BAD：∠CAD=1：2；
（2）若点F为线段BC上的任意一点，当△EFC为直角三角形时，求∠BEF的度数．
【考点】三角形内角和定理．21世纪教育网
【分析】（1）由角平分线得出∠ABC，得出∠BAD=26°，再求出∠C，得出∠CAD=52°，即可得出结论；【版权所有：21教育】
（2）分两种情况：①当∠EFC=90°时；②当∠FEC=90°时；由角的互余关系和三角形的外角性质即可求出∠BEF的度数．
【解答】（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBC=64°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠BAD=90°﹣64°=26°，
∵∠C=∠AEB﹣∠EBC=70°﹣32°=38°，
∴∠CAD=90°﹣38°=52°，
∴∠BAD：∠CAD=1：2；
【点评】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质，角的互余关系；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
人教版八年级数学上册
11.2.2《三角形的外角》同步训练习题
一．选择题（共7小题）
1．（2015秋?铁力市校级月考）下列说法错误的是（ ）
A．有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形
B．有两个角互余的三角形是直角三角形
C．直角三角形只有一条高
D．任何一个三角形中，最大角不小于60度
2．（2015春?长春期末）已知，如图，△ABC中，∠B=∠DAC，则∠BAC和∠ADC的关系是（ ）21·世纪*教育网
A．∠BAC＜∠ADC B．∠BAC=∠ADC
C．∠BAC＞∠ADC D．不能确定
3．（2015春?定陶县期末）三角形的一个外角与它相邻的内角相等，而且等于与它不相邻的两个内角中的一个角的3倍．则这个三角形各角的度数是（ ）
A．45°，45°，90° B．36°，72°，72° C．25°，21°，134° D．30°，60°，90°
4．（2015春?龙口市期中）如图所示，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=35°，则∠BDC的度数为（ ）
A．60° B．70° C．80° D．85°
5．（2014?天水一模）如图，点D、B、C在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°．则∠1=（ ）
A．60° B．50° C．45° D．25°
6．（2015春?启东市期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
7．（2015春?泰山区期中）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
二．填空题（共7小题）
8．（2015?徐州模拟）直角三角形的一锐角为60°，则另一锐角为 ．
9．（2015春?孟津县期末）直角三角形中两个锐角的差为20°，则两个锐角的度数分别是 ．
10．（2015春?北京校级期中）如图，△ABC中，∠A=50°，∠ABO=18°，∠ACO=32°，则∠BOC= ．
11．（2015春?保山校级期中）如图，已知△ABC为直角三角形，∠B=90°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2等于 度．
12．（2015秋?萧山区月考）如图，AC与BD相交于点O，AB∥CD，如果∠C=30.2°，∠B=50°56’，那么∠BOC为 ．
13．（2014?天心区模拟）一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠α是 °．
14．（2014春?孟津县期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 度．
三．解答题（共5小题）
15．（2015秋?武威校级月考）如图，在△ACB中，∠ACB=900，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．
16．（2015春?昆明校级期末）如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．www.21-cn-jy.com
17．（2015春?高密市期末）一个零件的形状如图，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是21°和32°，现测量得∠BDC=148°，你认为这个零件合格吗？为什么？www-2-1-cnjy-com
18．（2015春?荔城区期末）如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB=∠ABC．
（1）图1中，作∠BAC的角平分线AD，分别交CB、BE于D、F两点，求证：∠EFD=∠ADC；
（2）图2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD，分别交CB、BE的延长线于D、F两点，试探究（1）中结论是否仍成立？为什么？
19．（2014春?唐河县期末）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+∠A，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，
∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A，
∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）=90°+∠A．
（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
（2）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）
（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）
人教版八年级数学上册
11.2.2《三角形的外角》同步训练习题答案解析
一．选择题（共7小题）
1．（2015秋?铁力市校级月考）下列说法错误的是（ ）
A．有一个外角是锐角的三角形是钝角三角形
B．有两个角互余的三角形是直角三角形
C．直角三角形只有一条高
D．任何一个三角形中，最大角不小于60度
【点评】本题考查了钝角三角形、直角三角形的概念．注意D中，如果最大角小于60°，则三个角的和就小于180°，与三角形的内角和定理，内角和为180°相矛盾．21教育网
2．（2015春?长春期末）已知，如图，△ABC中，∠B=∠DAC，则∠BAC和∠ADC的关系是（ ）
A．∠BAC＜∠ADC B．∠BAC=∠ADC C．∠BAC＞∠ADC D．不能确定
【考点】三角形的外角性质．21世纪教育网
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ADC=∠B+∠BAD，再根据∠BAC=∠BAD+∠DAC即可得解．
【解答】解：由三角形的外角性质，∠ADC=∠B+∠BAD，
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠B=∠DAC，
∴∠BAC=∠ADC．
故选B．
【点评】本题主要考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
3．（2015春?定陶县期末）三角形的一个外角与它相邻的内角相等，而且等于与它不相邻的两个内角中的一个角的3倍．则这个三角形各角的度数是（ ）
A．45°，45°，90° B．36°，72°，72° C．25°，21°，134° D．30°，60°，90°
【考点】三角形的外角性质．21世纪教育网
【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和与三角形的内角和等于180°可以求出与这个外角相邻的内角等于90°，然后根据这个外角等于与它不相邻的两个内角中的一个角的3倍，求出这个内角即可．
【解答】解：根据题意，与这个外角相邻的内角等于180°÷2=90°，
∵这个外角等于与它不相邻的两个内角中的一个角的3倍，
∴90°÷3=30°，
∴90°﹣30°=60°，
∴这个三角形各角的度数是：30°，60°，90°．
故选D．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质和三角形的内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
4．（2015春?龙口市期中）如图所示，已知∠1=20°，∠2=25°，∠A=35°，则∠BDC的度数为（ ）2·1·c·n·j·y
A．60° B．70° C．80° D．85°
【考点】三角形的外角性质；余角和补角；三角形内角和定理．21世纪教育网
【分析】先根据三角形内角和等于180°求出∠3+∠4的度数，再根据三角形的内角和等于180°即可求出∠BDC的度数．【出处：21教育名师】
【解答】解：∵∠1=20°，∠2=25°，∠A=35°，
∴∠3+∠4=180°﹣∠1﹣∠2﹣∠A=180°﹣20°﹣25°﹣35°=100°，
在△BDC中，∠BDC=180°﹣∠3﹣∠4=180°﹣100°=80°．
故选C．
【点评】本题三角形的内角和等于180°求解，是基础题，准确识别图形是解题的关键．
5．（2014?天水一模）如图，点D、B、C在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°．则∠1=（ ）
A．60° B．50° C．45° D．25°
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．21世纪教育网
【分析】先根据三角形外角的性质求出∠ABD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠ABD是△ABC的外角，∠A=60°，∠C=50°，
∴∠ABD=∠A+∠C=60°+50°=110°，
在△BDE中，
∵∠D=25°，∠ABD=110°，
∴∠1=180°﹣25°﹣110°=45°．
故选C．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．
6．（2015春?启东市期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=（ ）
A．40° B．30° C．20° D．10°
【考点】直角三角形的性质；三角形的外角性质；翻折变换（折叠问题）．菁优
【分析】在直角三角形ABC中，由∠ACB与∠A的度数，利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，再由折叠的性质得到∠CA′D=∠A，而∠CA′D为三角形A′BD的外角，利用三角形的外角性质即可求出∠A′DB的度数．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，
∴∠B=180°﹣90°﹣55°=35°，
由折叠可得：∠CA′D=∠A=55°，
又∵∠CA′D为△A′BD的外角，
∴∠CA′D=∠B+∠A′DB，
则∠A′DB=55°﹣35°=20°．
故选：C．
【点评】此题考查了直角三角形的性质，三角形的外角性质，以及折叠的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．
7．（2015春?泰山区期中）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠A+∠P=（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．21世纪教育网
【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠A的度数，根据补角的定义求出∠ACB的度数，根据三角形的内角和即可求出∠P的度数，即可求出结果．21*cnjy*com
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∵∠ABP=20°，∠ACP=50°，
∴∠ABC=2∠ABP=40°，∠ACM=2∠ACP=100°，
∴∠A=∠ACM﹣∠ABC=60°，
∠ACB=180°﹣∠ACM=80°，
∴∠BCP=∠ACB+∠ACP=130°，
∵∠BPC=20°，
∴∠P=180°﹣∠PBC﹣∠BCP=30°，
∴∠A+∠P=90°，
故选C．
【点评】本题考查了角平分线的定义，一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和以及补角的定义以及三角形的内角和为180°，难度适中．
二．填空题（共7小题）
8．（2015?徐州模拟）直角三角形的一锐角为60°，则另一锐角为 30° ．
【考点】直角三角形的性质．21世纪教育网
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】解：∵直角三角形的一锐角为60°，
∴另一锐角为90°﹣60°=30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，熟记直角三角形两锐角互余是解题的关键．
9．（2015春?孟津县期末）直角三角形中两个锐角的差为20°，则两个锐角的度数分别是 55°、35° ．【来源：21cnj*y.co*m】
【考点】直角三角形的性质．21世纪教育网
【分析】设一个锐角为x，根据题意表示出另一个锐角，根据直角三角形的性质列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设一个锐角为x，则另一个锐角为x﹣20°，
则x+x﹣20°=90°，
解得，x=55°，
x﹣20°=35°
故答案为：55°、35°．
【点评】本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形的两个锐角互余是解题的关键，注意方程思想的正确运用．
10．（2015春?北京校级期中）如图，△ABC中，∠A=50°，∠ABO=18°，∠ACO=32°，则∠BOC= 100° ．
【考点】三角形的外角性质．21世纪教育网
【分析】延长BO与AC相交于点D，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：如图，延长BO与AC相交于点D，
由三角形的外角性质，在△ABD中，∠1=∠A+∠ABO=50°+18°=68°，
在△COD中，∠BOC=∠1+∠ACO=68°+32°=100°．
故答案为：100°．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并作辅助线构造成三角形是解题的关键．21世纪教育网版权所有
11．（2015春?保山校级期中）如图，已知△ABC为直角三角形，∠B=90°，若沿图中虚线剪去∠B，则∠1+∠2等于 270 度．
【考点】三角形的外角性质．21世纪教育网
【分析】如图，根据题意可知∠1=90°+∠BNM，∠2=90°+∠BMN，然后结合三角形内角和定理即可推出∠1+∠2的度数．
【解答】解：∵△ABC为直角三角形，∠B=90，
∴∠1=90°+∠BNM，∠2=90°+∠BMN，
∴∠1+∠2=270°．
故答案为：270．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质、三角形内角和定理，关键在于求证∠1=90°+∠BNM，∠2=90°+∠BMN．21cnjy.com
12．（2015秋?萧山区月考）如图，AC与BD相交于点O，AB∥CD，如果∠C=30.2°，∠B=50°56’，那么∠BOC为 81°8′ ．
【点评】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
13．（2014?天心区校级模拟）一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠α是 75 °．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．21世纪教育网
【分析】根据三角板的常数以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠1的度数，再根据直角等于90°计算即可得解．
【解答】解：如图，∠1=45°﹣30°=15°，
∠α=90°﹣∠1=90°﹣15°=75°．
故答案为：75．
【点评】本题考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，熟知三角板的度数是解题的关键．
14．（2014春?孟津县期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 180 度．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．21世纪教育网
【专题】探究型．
【分析】根据三角形外角的性质可知∠B+∠C=∠2，∠A+∠E=∠1，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠2是△OBC的外角，
∴∠B+∠C=∠2，
∵∠1是△AEF的外角，
∴∠A+∠E=∠1，
∵∠1+∠2+∠D=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．
故答案为：180．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟知“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解答此题的关键．
三．解答题（共5小题）
15．（2015秋?武威校级月考）如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．
【考点】直角三角形的性质．21世纪教育网
【专题】证明题．
【分析】（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；
（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA=90°﹣∠CAF，∠AED=90°﹣∠DAE，再根据角平分线的定义得出∠CAF=∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF=∠CFE． 21*cnjy*com
【解答】证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B；
（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAE，
∴∠AED=∠CFE，
又∵∠CEF=∠AED，
∴∠CEF=∠CFE．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中．
16．（2015春?昆明校级期末）如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．
【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理．21世纪教育网
【分析】△ABD中，由三角形的外角性质知∠3=2∠2，因此∠4=2∠2，从而可在△BAC中，根据三角形内角和定理求出∠4的度数，进而可在△DAC中，由三角形内角和定理求出∠DAC的度数．
【解答】解：设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x．
因为∠BAC=63°，
所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，
所以x=39°；
所以∠3=∠4=78°，
∠DAC=180°﹣∠3﹣∠4=24°．
【点评】此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用．
17．（2015春?高密市期末）一个零件的形状如图，按规定∠A应等于90°，∠B、∠C应分别是21°和32°，现测量得∠BDC=148°，你认为这个零件合格吗？为什么？21·cn·jy·com
【考点】三角形的外角性质．21世纪教育网
【专题】应用题．
【分析】直接利用图形中的外角和等于与它不相邻的两个内角和求解．
【解答】解：延长CD与AB相交于点F．
∵∠DFB=∠C+∠A=32°+90°=122°，
又∵∠BDC=∠DFB+∠B=122°+21°=143°，
∵实际量得的∠BDC=148°，
143°≠148°，
∴这个零件不合格．
【点评】本题考查了三角形的内角和外角之间的关系．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．
18．（2015春?荔城区期末）如图，在△ABC中，点E在AC上，∠AEB=∠ABC．
（1）图1中，作∠BAC的角平分线AD，分别交CB、BE于D、F两点，求证：∠EFD=∠ADC；
（2）图2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分线AD，分别交CB、BE的延长线于D、F两点，试探究（1）中结论是否仍成立？为什么？
【考点】三角形的外角性质．21世纪教育网
【分析】（1）首先根据角平分线的性质可得∠BAD=∠DAC，再根据内角与外角的性质可得∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，进而得到∠EFD=∠ADC；【来源：21·世纪·教育·网】
（2）首先根据角平分线的性质可得∠BAD=∠DAG，再根据等量代换可得∠FAE=∠BAD，然后再根据内角与外角的性质可得∠EFD=∠AEB﹣∠FAE，∠ADC=∠ABC﹣∠BAD，进而得∠EFD=∠ADC．2-1-c-n-j-y
【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠DAC，
∵∠EFD=∠DAC+∠AEB，∠ADC=∠ABC+∠BAD，
又∵∠AEB=∠ABC，
∴∠EFD=∠ADC；
（2）探究（1）中结论仍成立；
理由：∵AD平分∠BAG，
∴∠BAD=∠GAD，
∵∠FAE=∠GAD，
∴∠FAE=∠BAD，
∵∠EFD=∠AEB﹣∠FAE，∠ADC=∠ABC﹣∠BAD，
又∵∠AEB=∠ABC，
∴∠EFD=∠ADC．
【点评】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
19．（2014春?唐河县期末）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．【版权所有：21教育】
探究1：如图1，在△ABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分析发现∠BOC=90°+∠A，理由如下：
∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，
∴∠1+∠2=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣∠A）=90°﹣∠A，
∴∠BOC=180°﹣（∠1+∠2）=180°﹣（90°﹣∠A）=90°+∠A．
（1）探究2：如图2中，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
（2）探究3：如图3中，O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A有怎样的关系？（直接写出结论）
（3）拓展：如图4，在四边形ABCD中，O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，则∠BOC与∠A+∠D有怎样的关系？（直接写出结论）
【考点】三角形的外角性质；三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理．21世纪教育网
【专题】探究型；整体思想．
【分析】（1）根据角平分线的定义表示出∠OBC，∠OCD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠ACD和∠OCD，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式整理即可得解；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠DBC和∠BCE，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；21教育名师原创作品
（3）根据四边形内角和等于360°求出∠ABC+∠BCD，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB，然后利用三角形内角和定理列式整理即可得解．
【解答】解：（1）探究2结论：∠BOC=∠A．
理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCD=∠ACD，
又∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，
∴∠OCD=（∠A+∠ABC）=∠A+∠ABC=∠A+∠OBC，
又∵∠OCD是△BOC的一个外角，
∴∠BOC=∠OCD﹣∠OBC=∠A+∠OBC﹣∠OBC=∠A；
（3）拓展：结论∠BOC=（∠A+∠D）．
在四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD=（360°﹣∠A﹣∠D），
∵O是∠ABC与∠DCB的平分线BO和CO的交点，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠BCD，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠BCD）=（360°﹣∠A﹣∠D），
在△OBC中，∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠D）=（∠A+∠D），
即∠BOC=（∠A+∠D）．
【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
