人教版八年级数学上册
11.3.1《多边形》同步训练习题
一．选择题（共7小题）
1．（2015秋?克什克腾旗校级月考）下列图中不是凸多边形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2015秋?克什克腾旗校级月考）下列图形中，是正多边形的是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．长方形 D．正方形
3．n边形的内角的和等于（ ）
A．（n﹣1）×180° B．（n﹣2）×180° C．（n﹣3）×180° D．（n﹣4）×180°
4．（2015秋?三亚校级月考）一个四边形截去一个内角后变为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．以上均有可能
5．（2014秋?朝阳区期末）在六边形内任取一点，把这个点与六边形的各顶点分别连接可以得到（ ）
A．4个三角形 B．5个三角形 C．6个三角形 D．7个三角形
6．（2012秋?渝中区校级期末）从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（ ）个三角形．
A．6 B．5 C．8 D．7
7．从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（ ）21cnjy.com
A．2001 B．2005 C．2004 D．2006
二．填空题（共7小题）
8．（2014春?邵阳期末）能伸缩的校门，它利用了四边形的一个性质是 ．
9．（2013秋?景泰县校级月考）在平面内， ， 的多边形叫正多边形．
10．多边形相邻两边组成的角叫做它的 ；多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的 ；连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的 ．21·世纪*教育网
11．若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是 ．
12．若一个六边形的各条边都相等，当边长为3cm时，它的周长为 cm．
13．如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出 个三角形．2-1-c-n-j-y
14．（2011?肇庆）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 ．
三．解答题（共4小题）
15．用两个一样大小的含30°角的三角板可以拼成多少个形状不同的四边形？请画图说明．
16．（2012春?西城区校级期中）把一个多边形沿着几条直线剪开，分割成若干个多边形．分割后的多边形的边数总和比原多边形的边数多13条，内角和是原多边形内角和的1.3倍．求：21*cnjy*com
（1）原来的多边形是几边形？
（2）把原来的多边形分割成了多少个多边形？
17．已知线段AC=8，BD=6．
（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图1，图2和图3中的四边形ABCD的面积分别为S1、S2和S3，则S1= ，S2= ，S3= ；
（2）如图4，对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想；
（3）当线段BD与AC（或CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积是多少？
18．已知正n边形的周长为60，边长为a
（1）当n=3时，请直接写出a的值；
（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值．
人教版八年级数学上册
11.3.1《多边形》同步训练习题参考答案
一．选择题（共7小题）
1．（2015秋?克什克腾旗校级月考）下列图中不是凸多边形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2015秋?克什克腾旗校级月考）下列图形中，是正多边形的是（ ）
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．长方形 D．正方形
【考点】多边形．21世纪教育网
【分析】根据正多边形的定义；各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形可得答案．
【解答】解：正方形四个角相等，四条边都相等，
故选：D．
【点评】此题主要考查了正多边形，关键是掌握正多边形的定义．
3．n边形的内角的和等于（ ）
A．（n﹣1）×180° B．（n﹣2）×180° C．（n﹣3）×180° D．（n﹣4）×180°
【考点】多边形；多边形内角与外角．21世纪教育网
【分析】从四边形的一个顶点出发可以画1条对角线，把四边形分成两个三角形，所以四边形内角和为：（4﹣2）×180°，从五边形的一个顶点出发可以画2条对角线，把五边形分成三个三角形，所以四边形内角和为：（5﹣2）×180°，从n边形的一个顶点出发可以画（n﹣3）条对角线，把四边形分成（n﹣2）个三角形，所以n边形内角和为：（n﹣2）×180°．2·1·c·n·j·y
【解答】解：因为三角形的内角和是180°，四边形的内角和是360°，五边形的内角和是540°，
∴n边形的内角的和公式：（n﹣2）×180°，
故选：B．
【点评】此题主要考查了多边形内角和公式．正确的记忆多边形内角和公式是解决问题的关键．
4．（2015秋?三亚校级月考）一个四边形截去一个内角后变为（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．以上均有可能
【考点】多边形．21世纪教育网
【分析】一个四边形截去一个角是指可以截去两条边，而新增一条边，得到三角形；也可以截去一条边，而新增一条边，得到四边形；也可以直接新增一条边，变为五边形．可动手画一画，具体操作一下．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：如图可知，一个四边形截去一个角后变成三角形或四边形或五边形．
故选：D．
【点评】本题考查了多边形，解决此类问题的关键是动手画一画准确性高，注意不要漏掉情况．
5．（2014秋?朝阳区期末）在六边形内任取一点，把这个点与六边形的各顶点分别连接可以得到（ ）
A．4个三角形 B．5个三角形 C．6个三角形 D．7个三角形
【考点】多边形．21世纪教育网
【分析】根据六边形有六个顶点，连接六个顶点，可得六个三角形．
【解答】解：在六边形内任取一点，把这个点与六边形的各顶点分别连接可以得到六个三角形，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形，利用了图形的分割：六个顶点可分割成六个三角形．
6．（2012秋?渝中区校级期末）从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（ ）个三角形．
A．6 B．5 C．8 D．7
【考点】多边形．21世纪教育网
【专题】规律型．
【分析】从n边形的一个顶点出发，连接这个点与其余各顶点，可以把一个四边形分割成（n﹣2）个三角形．
【解答】解：从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7﹣2=5个三角形．21世纪教育网版权所有
故选：B．
【点评】本题考查的知识点为：从n边形的一个顶点出发，可把n边形分成（n﹣2）个三角形．
7．（2010秋?毕节市校级期中）从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A．2001 B．2005 C．2004 D．2006
【考点】多边形．21世纪教育网
【分析】可根据多边形的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数与多边形的边数的关系求解．
【解答】解：多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，
则这个多边形的边数为2003+1=2004．
故选C．
【点评】多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到的三角形个数=多边形的边数﹣1．
二．填空题（共7小题）
8．（2014春?邵阳期末）能伸缩的校门，它利用了四边形的一个性质是 四边形的不稳定性 ．
【考点】多边形．21世纪教育网
【分析】由四边形的特性可知，四边形具有不稳定性，所以容易变形，伸缩门的运用了四边形易变形的特性．
【解答】解：伸缩门做成四边形的形状，是利用四边形的易变形的特性．
故答案为：四边形的不稳定性．
【点评】此题主要考查了四边形的特性是容易变形．
9．（2013秋?景泰县校级月考）在平面内， 各边都相等 ， 各内角也相等 的多边形叫正多边形．
【考点】多边形．21世纪教育网
【分析】利用正多边形的定义直接填空得出即可．
【解答】解：如果多边形的各边都相等，各内角也相等，那么就称它为正多边形．
故答案为：各边都相等，各内角也相等．
【点评】此题主要考查了掌握正多边形概念．如果多边形的各边都相等，各内角也相等，那么就称它为正多边形．【来源：21cnj*y.co*m】
10．多边形相邻两边组成的角叫做它的 内角 ；多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的 外角 ；连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的 对角线 ．
【考点】多边形．21世纪教育网
【分析】根据多边形的定义以及外角的定义和对角线的定义分别分析得出即可．
【解答】解：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角；
多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角；
连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
故答案为：内角，外角，对角线．
【点评】此题主要考查了多边形有关定义，熟练掌握相关概念是解题关键．
11．（2011春?郯城县期中）若一个多边形截去一个角后，变成六边形，则原来多边形的边数可能是 5，6，7 ．21教育网
【考点】多边形．21世纪教育网
【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．
【解答】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．
【点评】此类问题要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况．
12．若一个六边形的各条边都相等，当边长为3cm时，它的周长为 18 cm．
【考点】多边形．21世纪教育网
【专题】计算题．
【分析】由于六边形的各条边都相等，则六边形的周长=各条边的长×6．
【解答】解：六边形的周长为：3×6=18cm．
故这个六边形的周长为18cm．
故答案为：18．
【点评】本题考查了多边形的周长计算，是基础题型，比较简单．
13．（2008秋?高碑店市期中）如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出 （n﹣1） 个三角形．
【考点】多边形．21世纪教育网
【分析】（1）三角形分割成了两个三角形；
（2）四边形分割成了三个三角形；
（3）以此类推，n边形分割成了（n﹣1）个三角形．
【解答】解：n边形可以分割出（n﹣1）个三角形．
【点评】此题注意观察：是连接n边形的其中一边上的点．根据具体数值进行分析找规律．
n边形分割成了（n﹣1）个三角形．
14．（2011?肇庆）如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 n2+2n ．
【考点】多边形．21世纪教育网
【专题】压轴题；规律型．
【分析】第1个图形是2×3﹣3，第2个图形是3×4﹣4，第3个图形是4×5﹣5，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）﹣（n+2）=n2+2n．www.21-cn-jy.com
【解答】解：第n个图形需要黑色棋子的个数是n2+2n．
故答案为：n2+2n．
【点评】首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去．
三．解答题（共4小题）
15．用两个一样大小的含30°角的三角板可以拼成多少个形状不同的四边形？请画图说明．
【考点】多边形．21世纪教育网
【专题】作图题．
【分析】若让它们的斜边重合，则可以拼出矩形或一组对角是直角的四边形；若让它们的直角边重合，则可以拼出两种不同的平行四边形．
【解答】解：四个．如图所示：
【点评】能够让它们的边分别重合进行不同的拼图．考查了学生的实践能力．
16．（2012春?西城区校级期中）把一个多边形沿着几条直线剪开，分割成若干个多边形．分割后的多边形的边数总和比原多边形的边数多13条，内角和是原多边形内角和的1.3倍．求：www-2-1-cnjy-com
（1）原来的多边形是几边形？
（2）把原来的多边形分割成了多少个多边形？
【考点】多边形；规律型：图形的变化类．21世纪教育网
【分析】把多边形沿直线剪开，每增加一个多边形，边数的增加会出现以下三种情况：①当直线经过两个顶点时，增加两条边；②当直线经过一个顶点时，增加三条边；③当直线不经过顶点时，增加四条边．于是，当将原多边形分割成4个小多边形，最多可以增加4×3=12条边，当将原多边形分割成8个小多边形，最少可以增加2×7=14条边．所以分割后的多边形的个数是5，6，7中的一个．设原多边形的边数是n，分割成边数为a1，a2，…，am的m个多边形，则m个多边形的总边数为a1+a2+…+am由题意，可得方程a1+a2+…+am=n+13，
180（a1﹣2）+180（a2﹣2）+…+180（am﹣2）=1.3×180（n﹣2），再整理可得3n+20m=156，再讨论出二元一次方程的整数解即可．21·cn·jy·com
【解答】解：设原多边形的边数是n，分割成边数为a1，a2，…，am的m个多边形，则m个多边形的总边数为a1+a2+…+am，由题意有 21*cnjy*com
a1+a2+…+am=n+13，
180（a1﹣2）+180（a2﹣2）+…+180（am﹣2）=1.3×180（n﹣2），
则3n+20m=156，
解得：m=6，n=12．
故原来的多边形是12边形，把原来的多边形分割成了6个小多边形．
【点评】此题主要考查了多边形，关键是掌握多边形内角和公式180°（n﹣2）．
17．已知线段AC=8，BD=6．
（1）已知线段AC垂直于线段BD．设图1，图2和图3中的四边形ABCD的面积分别为S1、S2和S3，则S1= 24 ，S2= 24 ，S3= 24 ；
（2）如图4，对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，请你就四边形ABCD面积的大小提出猜想，并证明你的猜想；【出处：21教育名师】
（3）当线段BD与AC（或CA）的延长线垂直相交时，猜想顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积是多少？【版权所有：21教育】
【考点】多边形；三角形的面积．21世纪教育网
【专题】探究型．
【分析】（1）根据三角形的面积公式进行计算；
（2）根据（1）中的计算结果，发现三个图形的面积都是24．根据三角形的面积公式进行证明；
（3）仍然把四边形的面积分割成两个三角形，按三角形的面积公式进行证明．
【解答】解：（1）S1=24，S2=24，S3=24；
（2）对于线段AC与线段BD垂直相交（垂足O不与点A，C，B，D重合）的任意情形，四边形ABCD的面积为定值24．21教育名师原创作品
证明如下：
∵AC⊥BD，
∴S△BAC=AC?OB，S△DAC=AC?OD，
∴S四边形ABCD=AC?OB+AC?OD=AC?（OB+OD）=AC?BD=24．
（3）顺次连接点A，B，C，D，A所围成的封闭图形的面积仍为24．
证明：∵AC⊥BD，
∴S△ABD=AO?BD，S△BCD=CO?BD，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=AO?BD+CO?BD=BD（AO+CO）=BD?AC=24．
【点评】此题注意发现：对角线互相垂直的四边形的面积总等于对角线乘积的一半．
18．已知正n边形的周长为60，边长为a
（1）当n=3时，请直接写出a的值；
（2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值．
【点评】读懂题意，找到相应量的等量关系是解决问题的关键．
人教版八年级数学上册
11.3.2《多边形的内角和》同步训练习题
一．选择题（共7小题）
1．（2015?重庆）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
2．（2015?丽水）一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
3．（2015?南宁）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．60° B．72° C．90° D．108°
4．（2015?眉山）一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2015?葫芦岛）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（ ）www.21-cn-jy.com
A．60° B．65° C．55° D．50°
6．（2015?苏州模拟）如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=70°，则∠AED的度数是（ ）21·世纪*教育网
A．80° B．100° C．108° D．110°
7．（2015?绵阳模拟）某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转，某一指令规定：机器人先向前行走2米，然后左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了（ ）
A．14米 B．15米 C．16米 D．17米
二．填空题（共7小题）
8．（2015?淮安）五边形的外角和等于 °．
9．（2015?资阳）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ．
10．一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是 ．
11．（2015?盘锦二模）如图所示，一个角60°的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2= ．
12．（2015?淄博）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA= 度．
13．（2015春?晋江市期末）把一块含60°的三角板与一把直尺按如图方式放置，则∠α= 度．
14．（2015春?龙岗区期末）如图，小明将若干个全等的正五边形巧妙地排成环状，则他要完成这一圆环共需 个全等的五边形．
三．解答题（共5小题）
15．（2015春?镇江校级期末）一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，求这个多边形的边数．
16．（2015春?长春期末）在一个正多边形中，一个内角是它相邻的一个外角的3倍．
（1）求这个多边形的每一个外角的度数．
（2）求这个多边形的边数．
17．（2015秋?周口校级月考）看图回答问题：
（1）内角和为2014°，小明为什么不说不可能？
（2）小华求的是几边形的内角和？
（3）错把外角当内角的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？
18．（2015秋?盐津县校级月考）如图所示，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、CE的交点，求∠BHC的度数．
19．（2014春?江阴市期末）探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
如图甲，∠FDC、∠ECD为△ADC的两个外角，则∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系 ．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
如图乙，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，则∠P与∠A的数量关系 ．
探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图丙，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，则∠P与∠A+∠B的数量关系 ．
探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF呢？如图丁
则∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系 ．
探究五：如图，四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若设∠A=α，∠D=β；
（1）如图①，α+β＞180°，则∠F= ；（用α，β表示）
（2）如图②，α+β＜180°，请在图中画出∠F，且∠F= ；（用α，β表示）
（3）一定存在∠F吗？如有，直接写出∠F的值，如不一定，直接指出α，β满足什么条件时，不存在∠F．
人教版八年级数学上册
11.3.2《多边形的内角和》同步训练习题参考答案
一．选择题（共7小题）
1．（2015?重庆）已知一个多边形的内角和是900°，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
2．（2015?丽水）一个多边形的每个内角均为120°，则这个多边形是（ ）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形
【考点】多边形内角与外角．21世纪教育网
【分析】一个多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．【来源：21·世纪·教育·网】
【解答】解：外角是180°﹣120°=60°，
360÷60=6，则这个多边形是六边形．
故选：C．
【点评】考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
3．（2015?南宁）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（ ）
A．60° B．72° C．90° D．108°
【考点】多边形内角与外角．21世纪教育网
【分析】首先设此多边形为n边形，根据题意得：180（n﹣2）=540，即可求得n=5，再由多边形的外角和等于360°，即可求得答案．2·1·c·n·j·y
【解答】解：设此多边形为n边形，
根据题意得：180（n﹣2）=540，
解得：n=5，
∴这个正多边形的每一个外角等于：=72°．
故选B．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n﹣2）?180°，外角和等于360°．www-2-1-cnjy-com
4．（2015?眉山）一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】多边形内角与外角．21世纪教育网
【专题】计算题．
【分析】根据多边形的外角和为360°及题意，求出这个多边形的内角和，即可确定出多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的外角和是内角和的，且外角和为360°，
∴这个多边形的内角和为900°，即（n﹣2）?180°=900°，
解得：n=7，
则这个多边形的边数是7，
故选C．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和，熟练掌握内角和公式及外角和公式是解本题的关键．
5．（2015?葫芦岛）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（ ）【版权所有：21教育】
A．60° B．65° C．55° D．50°
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．21世纪教育网
【分析】根据五边形的内角和等于540°，由∠A+∠B+∠E=300°，可求∠BCD+∠CDE的度数，再根据角平分线的定义可得∠PDC与∠PCD的角度和，进一步求得∠P的度数．
【解答】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E=300°，
∴∠BCD+∠CDE=540°﹣300°=240°，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，
∴∠PDC+∠PCD=（∠BCD+∠CDE）=120°，
∴∠P=180°﹣120°=60°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，熟记公式是解题的关键．注意整体思想的运用．
6．（2015?苏州模拟）如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1=∠2=∠3=∠4=70°，则∠AED的度数是（ ）
A．80° B．100° C．108° D．110°
【考点】多边形内角与外角．21世纪教育网
【分析】根据多边形的外角和定理即可求得与∠AED相邻的外角，从而求解
【解答】解：根据多边形外角和定理得到：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠5=360﹣4×70=80°，
∴∠AED=180﹣∠5=180﹣80=100°．
故选B．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何多边形的外角和是360°．
7．（2015?绵阳模拟）某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转，某一指令规定：机器人先向前行走2米，然后左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了（ ）
A．14米 B．15米 C．16米 D．17米
【考点】多边形内角与外角．21世纪教育网
【分析】第一次回到原处正好转了360°，正好构成一个正八边形．
【解答】解：机器人转了一周共360度，
360°÷45°=8，共走了8次，
机器人共走了8×2=16米．
故选：C．
【点评】本题考查了多边形的外角，是一个实际问题，要理解“回到原处”就是转了360度．
二．填空题（共7小题）
8．（2015?淮安）五边形的外角和等于 360 °．
9．（2015?资阳）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 8 ．
【考点】多边形内角与外角．21世纪教育网
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．n边形的内角和是（n﹣2）?180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．2-1-c-n-j-y
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得
（n﹣2）?180=3×360，
解得n=8．
则这个多边形的边数是8．
【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
10．（2015?镇江二模）一个多边形的每一个外角都是36°，则这个多边形的边数是 10 ．
【考点】多边形内角与外角．21世纪教育网
【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．
【解答】解：∵一个多边形的每个外角都等于36°，
∴多边形的边数为360°÷36°=10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是360°．
11．（2015?盘锦二模）如图所示，一个角60°的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2= 240° ．
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理．21世纪教育网
【分析】三角形纸片中，剪去其中一个60°的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于360度即可求得∠1+∠2的度数．
【解答】解：根据三角形的内角和定理得：
四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°﹣60°=120°，
则根据四边形的内角和定理得：
∠1+∠2=360°﹣120°=240°．
故答案为：240°．
【点评】主要考查了三角形及四边形的内角和是360度的实际运用与三角形内角和180度之间的关系．
12．（2015?淄博）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA= 36 度．
【考点】多边形内角与外角；平行线的性质．21世纪教育网
【分析】首先求得正五边形内角∠C的度数，然后根据CD=CB求得∠CDB的度数，然后利用平行线的性质求得∠DFA的度数即可．【来源：21cnj*y.co*m】
【解答】解：∵正五边形的外角为360°÷5=72°，
∴∠C=180°﹣72°=108°，
∵CD=CB，
∴∠CDB=36°，
∵AF∥CD，
∴∠DFA=∠CDB=36°，
故答案为：36．
【点评】本题考查了多边形的内角和外角及平行线的性质，解题的关键是求得正五边形的内角．
13．（2015春?晋江市期末）把一块含60°的三角板与一把直尺按如图方式放置，则∠α= 120 度．
【考点】多边形内角与外角．21世纪教育网
【分析】三角板中∠B=90°，三角板与直尺垂直，再用四边形的内角和减去∠A、∠B、∠ACD即得∠α的度数．【出处：21教育名师】
【解答】解：如图：
∵在四边形ABCD中，
∠A=60°，∠B=90°，∠ACD=90°，
∴∠α=360°﹣∠A﹣∠B﹣∠ACD=360°﹣60°﹣90°﹣90°=120°，
故答案为：120．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和．关键是得出用四边形的内角和减去∠A、∠B、∠ACD即得∠α的度数．
14．（2015春?龙岗区期末）如图，小明将若干个全等的正五边形巧妙地排成环状，则他要完成这一圆环共需 10 个全等的五边形．21*cnjy*com
【考点】多边形内角与外角．21世纪教育网
【分析】首先根据n边形的内角和为：（n﹣2）×180°，求出五边形的内角和是多少，进而求出正五边形的每一个内角的度数是多少；然后求出∠1的度数是多少，再用360°除以∠1的度数，即可求出他要完成这一圆环共需多少个全等的五边形．
【解答】解：如图1，
，
∵五边形的内角和为：
（5﹣2）×180°=3×180°=540°，
∴正五边形的每一个内角为：
540°÷5=108°，
∴∠1=108°×2﹣180°=216°﹣180°=36°，
∵360°÷36°=10，
∴他要完成这一圆环共需10个全等的五边形．
故答案为：10．
【点评】此题主要考查了多边形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确n边形的内角和为：（n﹣2）?180°（n≥3，且n为整数），并能求出∠1的度数是多少．21cnjy.com
三．解答题（共5小题）
15．（2015春?镇江校级期末）一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，求这个多边形的边数．
【考点】多边形内角与外角．21世纪教育网
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°和外角和定理列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设多边形的边数为n，
由题意得，（n﹣2）?180°=5×360°，
解得n=12，
所以，这个多边形是十二边形．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．
16．（2015春?长春期末）在一个正多边形中，一个内角是它相邻的一个外角的3倍．
（1）求这个多边形的每一个外角的度数．
（2）求这个多边形的边数．
【考点】多边形内角与外角．21世纪教育网
【分析】（1）设这个多边形的每一个外角的度数为x度，根据题意列出方程解答即可；
（2）根据多边形的外角和计算即可．
【解答】解：（1）设这个多边形的每一个外角的度数为x度．根据题意，得：
3x+x=180，
解得x=45．
故这个多边形的每一个外角的度数为45°；
（2）360°÷45°=8．
故这个多边形的边数为8．
【点评】此题考查多边形的外角和内角，关键是根据多边形的内角和和外角和定理计算．
17．（2015秋?周口校级月考）看图回答问题：
（1）内角和为2014°，小明为什么不说不可能？
（2）小华求的是几边形的内角和？
（3）错把外角当内角的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？
【考点】多边形内角与外角．21世纪教育网
【分析】（1）n边形的内角和是（n﹣2）?180°，因而内角和一定是180度的倍数，依此即可作出判断；21·cn·jy·com
（2）多边形的内角一定大于0，并且小于180度，因而内角和再加上一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数n﹣2要大，大的值小于1．则用2014除以180所得值，加上2，比这个数小的最大的整数就是多边形的边数；
（3）用2014°﹣1980°即可．
【解答】解：（1）∵n边形的内角和是（n﹣2）?180°，
∴内角和一定是180度的倍数，
∵2014÷180=11…34，
∴内角和为2014°不可能；
（2）依题意有（x﹣2）?180°＜2014°，
解得x＜13．
因而多边形的边数是13，
故小华求的是十三边形的内角和；
（2）13边形的内角和是（13﹣2）×180°=1980°，
2014°﹣1980°=34°，
因此这个外角的度数为34°．
【点评】考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是正确运用多边形的内角和公式，是需要熟记的内容．
18．（2015秋?盐津县校级月考）如图所示，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、CE的交点，求∠BHC的度数．
【考点】多边形内角与外角．21世纪教育网
【分析】根据高的定义得∠ADB=∠AEC=90°，于是利用四边形内角和为360°可计算出∠EHD，然后根据对顶角相等得到∠BHC的度数．21教育名师原创作品
【解答】解：∵BD、CE分别是△ABC边AC、AB上的高，
∴∠ADB=∠AEC=90°，
而∠A+∠AEH+∠ADH+∠EHD=360°，
∴∠EHD=180°﹣60°=120°，
∴∠BHC=120°．
【点评】本题考查了四边形的内角和以及三角形高的意义，解答此类题的关键是利用四边形的内角和为360°．21教育网
19．（2014春?江阴市期末）探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
如图甲，∠FDC、∠ECD为△ADC的两个外角，则∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系 ∠FDC+∠ECD=180°+∠A ．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
如图乙，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，则∠P与∠A的数量关系 ∠P=90°+∠A ．
探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图丙，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，则∠P与∠A+∠B的数量关系 ∠P=（∠A+∠B） ． 21*cnjy*com
探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF呢？如图丁
则∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系 ∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180° ．
探究五：如图，四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若设∠A=α，∠D=β；
（1）如图①，α+β＞180°，则∠F= ∠F=（α+β）﹣90° ；（用α，β表示）
（2）如图②，α+β＜180°，请在图中画出∠F，且∠F= ∠F=90°﹣（α+β） ；（用α，β表示）
（3）一定存在∠F吗？如有，直接写出∠F的值，如不一定，直接指出α，β满足什么条件时，不存在∠F．
【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理；三角形的外角性质．21世纪教育网
【分析】探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；
探究二：根据角平分线的定义可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
探究三：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；
探究四：根据六边形的内角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；
探究五：①根据四边形的内角和定理表示出∠BCD，再表示出∠DCE，然后根据角平分线的定义可得∠FBC=∠ABC，∠FCE=∠DCE，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠F+∠FBC=∠FCE，然后整理即可得解；
②同①的思路求解即可；
③根据∠F的表示，∠F为0时不存在．
【解答】解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，
∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；
探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠ADC﹣∠ACD
=180°﹣（∠ADC+∠ACD）
=180°﹣（180°﹣∠A）
=90°+∠A；
探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠ADC﹣∠BCD
=180°﹣（∠ADC+∠BCD）
=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B）
=（∠A+∠B）；
探究四：六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2）?180°=720°，
∵DP、CP分别平分∠EDC和∠BCD，
∴∠PDC=∠EDC，∠PCD=∠BCD，
∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD
=180°﹣∠EDC﹣∠BCD
=180°﹣（∠EDC+∠BCD）
=180°﹣（720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F）
=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°
即∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．
故答案为：探究一：∠FDC+∠ECD=180°+∠A；探究二：∠P=90°+∠A；探究三：∠P=（∠A+∠B）．探究四：∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°；探究五：①，②．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．21世纪教育网版权所有
