湖南省示范高中2009年高二下学期期末考试数学试卷(文科)

2009年高二下学期期末考试
数学试卷(文科)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.时间120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将姓名、班级、准考证号填写在答卷规定的位置上．
2．必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，则（ ）
A B C D
2．设，则的值为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若表示数列{}的前项的和，，则( )
A. 150 B. 48 C. 40 D. 33
4．如图几何体的主（正）视图和左（侧）视图都正确的是
5．函数的零点所在的区间是( )
A B C D
6．探索以下规律：
则根据规律，从2004到2006，箭头的方向依次是( )
A.向下再向右 B.向右再向上 C.向上再向右 D.向右再向下
7．定义两种运算：为（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．奇函数且为偶函数 D．非奇函数且非偶函数
8．如图，设点是单位圆上的一定点，动点从点出发在圆上按逆时针方向旋转一周，
点所旋转过的弧的长为，弦的长为，则函数的图像大致是（ ）
第Ⅱ卷 （非选择题，共110分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答卷对应题号后的横线上.
9．执行右边的程序框图，若，则输出的 .
10. 椭圆 (a>b>0)离心率为,则双曲线的离
心率为________.
11. 已知
_______________.
12．为了测算如图阴影部分的面积，作一个变长为6的正方形将其
包含在内，并向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落
在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是____________.
13．某中学号召学生在暑假期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该校文学社共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．则从文学社中任意选1名学生，他参加活动次数为3的概率是　　　　　　　　、该文学社学生参加活动的人均次数为　　　　．
14. 若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是 ．
15．给出下列五个命题：①不等式的解集为；
②“”是“”的充分不必要条件；
③若为假命题，则p、q均为假命题；
④函数的图像与直线至多有一个交点；
⑤若角，β满足cos·cos＝1，则＋）＝0.
其中所有正确命题的序号是
三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
在直角坐标系xoy中，角的顶点为坐标原点,始边在x轴的正半轴上.
(1)当角的终边为射线l：y=x (x≥0)时,求的值；
(2) 已知,试求的取值范围．
17. （本小题满分12分）
已知直线l的方程为 HYPERLINK "http://www./" ，从不同的直线l中任取一条。
（1）求所取直线的倾斜角大于 HYPERLINK "http://www./" 的概率；
（2）求所取直线在x轴上的截距与在y轴上截距之差小于7的概率。
18．（本小题满分12分）
已知以点P为圆心的圆过点A（－1,0）和B（3,4）,线段AB的垂直平分线交圆P于点C、D,且|CD|=,
(1) 求直线CD的方程；
（2）求圆P的方程；
（3）设点Q在圆P上，试探究使△QAB的面积为8的点Q共有几个？证明你的结论(一、二、五中必做，其它学校选做).
19.（本小题满分12分）设函数f(x)=x3+ax2－a2x－1，二次函数g(x)=ax2－x－1.
(1)若a<0，求f(x)的单调区间；
(2)当函数y= f(x)与y= g(x)的图象只有一个公共点且g(x)存在最大值时，记f(x)的最大值为h(a)，求函数h(x)的解析式；
(3)若函数f(x)与g(x)在区间(a－2，a)内均为增函数，求实数a的取值范围(一、二、五中必做，其它学校选做).
20．（本小题满分13分）
. 如图, 平行四边形中，，，,
平面，PA=2,点为中点,连结.
（1）若，，求证:平面平面；
（2）若，试探究在BC边上是否存在点Q,使得
，并说明理由.
21.（本小题满分14分）
设向量在[0，1]上的最大值与最小值的和为an,又数列 HYPERLINK "http://www./" 满足: HYPERLINK "http://www./"
（1）求的表达式；
（2）求 HYPERLINK "http://www./" 的表达式；
（3） HYPERLINK "http://www./" 中，是否存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有 HYPERLINK "http://www./" 成立？证明你的结论。
参考答案
一．选择题：CCDB BAAC
二．填空题：9．；10；11. 2+i; 12. 9; 13 , 2.2; 14 .或;15. ②④⑤.
三．解答题：
16．解:(1)在射线l上取点A(1, ),则OA=由三角函数的定义可得，
　　∴　=. …………5分
(2) ∵
∵
…………9分
∵ ∴∴ 　
∴即.…………12分
17．解（I）实数对 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3
HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 共16种不同的情况，有16条不同的直线 …………4分
当实数对 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3
HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 …………6分
（II）直线 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 ……8分
当实数对 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 ， …………10分
所以直线 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 ……12分
18.解：（1）∵,AB的中点坐标为（1,2）
∴直线CD的方程为：即----2分
（2）设圆心，则由P在CD上得-------------①--------3分
又直径|CD|=，∴|PA|=∴-------②-------6分
①代入②消去得，解得或
当时，当时∴圆心(-3,6)或（5,－2）
∴圆P的方程为：或--------------------8分
（3）∵|AB|=-----9分
∴当△QAB面积为8时，点Q到直线AB的距离为
又圆心到直线AB的距离为，圆P的半径，且
∴圆上共有两个点Q，使△QAB的面积为8.---------------------------------------12分
19.解: (1) f′(x)=3x2+2ax－a2=3(x－)(x+a)，a<0，∴，
故函数f(x)在区间、(－a，+∞)上单调递增，在上单调递减.
(2)∵二次函数g(x)=ax2－x－1有最大值，∴a<0，由f(x)＝g(x)得x(x2－a2+1)=0，
∵函数y=f(x)与y=g(x)的图象只有一个公共点，∴－a2+1>0，－1 又a<0，∴－1又，∴，－1(3)当a<0时，函数f(x)在区间、(－a，+∞)上单调递增，
函数g(x)在区间上单调递增. ∴，解得.
当a>0时，函数f(x)在区间(－∞，－a)、上单调递增，
函数g(x)在区间上单调递增.
，解得a≥3，综上所述，实数a的取值范围是.
20. (1)∵,=4, ,且为中点∴△ABE为等边三角形
∴∴,即
又∵平面,平面∴,APAE=A
∴平面,∵平面∴平面平面
(2)当时, 四边形为矩形
若BC边上存在点Q,使得，则∵,∴平面
∴∴在BC边上是否存在点Q,使得，等价于在BC边上是否存在点Q,使得.当时,AD的中点到BC的距离为2,这时以AD为直径的圆与BC边有一个交点Q,即在BC边上存在唯一一点Q,满足;
当时, 以AD为直径的圆与BC边有两个交点, 即在BC边上存在两点,满足;
当,以AD为直径的圆与BC边没有交点, 即在BC边上不存在点Q,满足.
21.（1）证明： HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3
所以在[0，1]上为增函数， HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 …………4分
（2）解：由 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3
HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3
（3）解：由（1）与（2）得 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 …………10分
设存在正整数k，使得对于任意的正整数n，都有 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 成立，
HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3
HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3
所以存在正整数k=9，使得对于任意的正整数n，都有 HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.3 成立。…………14分
1
2
5
6
7
9
10
11
…… ，
3
4
8
0
开始
是
输入p
结束
输出
否
第9题
第12题
第13题