【培优卷】2024年北师大版数学八（下）6.1平行四边形 同步练习
一、选择题
1．（2024八下·道县月考）如图，平行四边形中，，，平分，交于E，交于点，交于点，作交于点，则（ ）
A． B． C．1 D．
2．如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点A，C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2020八下·深圳期中）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F，连接AC、CF． 下列结论：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD=AF；④S△BEF=S△ABE．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2023八下·宝安期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，且顶点的坐标为，点的坐标为，将平行四边形OABC沿着直线OC翻折，得到四边形，若直线把六边形的面积分成相等的两部分，则直线的解析式为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
5．（2024八下·北仑期中）如图，在 ABCD，O是AC、BD的交点，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，若△CDE的周长为11cm，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm
6．如图，在 ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45°.若CE=3，DF=1，则 ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（2023八下·晋安期末）如图，在平行四边形中，对角线，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交对角线于点，连接恰好垂直于边，若，则的长是（ ）
A．6 B．8 C．1 D．1
8．（2023八下·温江期末）如图，已知的顶点，，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交于点G．则点G的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十八章平行四边形 单元检测提高卷 ）在平行四边形 中， 平分 交边 于 ， 平分 交边 于 .若 ， ，则 .
10．（2023八下·锦州期末）如图，在 中，对角线，交于点，，，过点作的平分线的垂线，垂足为点，若点在的垂直平分线上，是直线上的动点，则的最小值为 ．
11．（2023八下·历城期末）如图，已知中，，，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接，则线段的最小值是 ．
12．（2023八下·遂川期末）如图，等腰三角形纸片ABC中，于点D，，，沿AD剪成两个三角形.用这两个三角形拼成平行四边形，该平行四边形较长对角线的长为 .
三、解答题
13．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A(-3，0)，B(3，0) ，C(0，4)，连结OD，点E是线段0D的中点．
（1）求点E和点D的坐标．
（2）平面内是否存在一点N，使以C，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2024八下·诸暨月考）问题：如图，在平行四边形中，，的平分线分别与直线交于点E、F.
（1）请直接写出的长．
（2）探究：把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，的长为 ．
②当点E与点C重合时，的长为 ．
（3）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
15．（2023八下·盐湖期末）【综合探究】已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中边在轴上且，边在轴上且，平分交于点．
（1）请直接写出、两点的坐标： ， ．
（2）如图1，求点的坐标．
（3）过点作交于点．如图2，求面积．
（4）在平面内是否存在一点，使得、、、四点组成的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
16．（2021八下·绍兴期中）我们知道平行四边形有很多性质．现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折．会发现这其中还有更多的结论，如图，已知平行四边形ABCD中，AB=2 ，∠30°，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．
（1）【发现与证明】
如图1：结论①△AGC是等腰三角形；结论②B′D∥AC。请证明结论①或结论②（只需证明一个结论）。
（2）【应用与解答】
如图2：如果BC=1，AB′与CD相交于点E，求△AEC的面积。
（3）【拓展与探索】
直接写出结论，当BC的长为多少时，△AB′D是直角三角形？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形中，，
∵平分
∴
∵
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴，即
∴，即
∴，
∴
∴
∵
∴
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：D
【分析】由平行四边形的性质以及三角形内角和的性质可得，，求得，再根据，得到，即可求解．
2．【答案】C
【知识点】全等三角形的应用；平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，作BE⊥x轴，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，
∵直线x=1与直线x=4都垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM，
∴∠OAF=∠BCD，
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC，
在△OAF和△BCD中
∴△OAF≌△BCD（ASA）
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴OB=.
∵OE的值是定值，
∴当BE最小时（即B在x轴上），OB取得最小值，最小值OB=OE=5.
故答案为：C.
【分析】过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，作BE⊥x轴，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，易得OB=，根据四边形OABC是平行四边形可得OA=BC，由平行线的性质可得∠OAF=∠BCD，结合已知用角边角易证△OAF≌△BCD，由OE的值是定值即可得当BE最小时（即B在x轴上），OB取得最小值，最小值OB=OE可求解.
3．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，AD=BC，
∴ ，
又∵AE平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴AB=BE，
∵AB=AE，
∴△ABE是等边三角形，故②符合题意；
∴ ，
∵AB=AE，BC=AD，
∴△ABC≌△EAD，故①符合题意；
若AD与AF相等，即 ，
即EC=CD=BE，
即BC=2CD，
题中未限定这一条件，
∴③④不一定符合题意；
故正确的是①②符合题意；
故答案为：B．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得 ，AD=BC，又因为AE平分 ，可得 ，由AB=AE，得到△ABE是等边三角形，则 ，所以△ABC≌△EAD，即可得到结果．
4．【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：连接OB，OB的中点为M，的中点为N，多点D作BQ⊥x轴，垂足为Q，点B坐标为（6，），
∴AQ=6-4=2，，∠BAQ=∠COA=60°.
根据翻折的性质可知，对角线OB翻折后，落在y轴上.
在Rt△OBQ中，OB=
∴
∴N（0，），
由中点坐标公式得：M（3，）
设MN所在直线的解析式为y=kx+b，代入M、N的坐标得：
解得，
∴MN所在直线的解析式为
∵平行四边形是中心对称图形
∴过MN的直线平分六边形的面积.
∴直线l的解析式可以为：
又∵将平行四边形OABC沿着直线OC翻折，得到四边形
∴OC所在的直线也平分六边形的面积.
过点C作CP⊥x轴，垂足为点P，在Rt△OPC中，CP=BQ=，∠COB=60°，
∴OP=2
∴点C坐标为（2，）
设OC所在直线的解析式为y=kx，将点C坐标代入得
，解得k=
∴OC所在直线的解析式为y=x.
综上所述，直线l的解析式为y=x或.
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形是中心对称图形，过中心点的直线平分图形的面积，以及图形对称轴所在直线平分图形的面积，即可找出直线了所在的位置，再求出直线l的解析式即可.
5．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC与BD相交于点O，
∴OA=OC，
∵OE⊥AC于点O，
∴OE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∵△CDE的周长为11cm，
∴CE+DE+CD=DE+AE+CD=AD+CD=11cm，
∴平行四边形ABCD的周长为：2(AD+CD)=2×11=22cm.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的对角线互相平分得OA=OC，易得OE是AC的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=CE，然后根据三角形周长计算方法、等量代换及线段的和差可得AD+CD=11cm，进而根据平行四边形的周长等于两邻边和的2倍可得答案.
6．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
四边形ABCD是平行四边形
同理：
又
在中，
又
．
故答案为： A．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理．利用可推出： ，再结合可得：，进而推出：，可求出BC的长，得出AD的长，因此根据求出AF的长.利用可推出： ，再结合可得：，进而推出：，代入平行四边形的面积公式：可求出面积.
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图过程可得直线EF是线段AB的垂直平分线，
∴BG=AG=6，
∵BD=16，
∴GD=BD-BG=10，
∵AG⊥AD，
∴∠GAD=90°，
∴AD=.
故答案为：B.
【分析】由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BG=AG=6，由线段的和差算出GD的长，进而在Rt△ADG中，利用勾股定理算出AD的长.
8．【答案】C
【知识点】点的坐标；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：根据题意可得：AG平分∠DAB，
∵的顶点，，
∴AO=3，DO=4，AB//CD，
∴，
∵AB//CD，
∴∠DGA=∠BAG，
∵AG平分∠DAB，
∴∠DAG=∠BAG，
∴∠DAG=∠DGA，
∴AD=DG=5，
∴点G的坐标为（5，4），
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求出AD的长，再利用角平分线和平行线的性质可得∠DAG=∠DGA，利用等角对等边的性质可得AD=DG=5，再求出点G的坐标即可.
9．【答案】8或3
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：①如图1，
在 ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=5，
∴BC=BE+CF﹣EF=2AB﹣EF=2AB﹣5=11，
∴AB=8；
②在 ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=5，
∴BC=BE+CF=2AB+EF=2AB+5=11，
∴AB=3；
综上所述：AB的长为8或3．
故答案为：8或3．
【分析】对于没有图的几何试题我们需要作出满足条件的所有可能的图形，本题因为点E，F的位置不确定可作出两个图形.
先根据平行四边形两组对边平行及角平分线可求得BE=CF=AB，再根据所作图形及AD长即可求得相应的AB长.
10．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：作点O关于直线AB的对称点O′，连接OO′，AO′，O′P，O′E，OH，
∴OP=O′P，
∴OP+PE=O′P+PE≥O′E，
∴OP+PE的最小值是O′E的长；
∵∠ACD=30°，
∴∠BAC=30°，
∵点O和点O′关于直线AB的对称，
∴AO′=AO，∠O′AB=∠BAC=30°，
∴∠OAO′=60°，
∴△AOO′为等边三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=4，
∴AB//DC，AO=OC=2，
∴OO′=AO=2，∴∠AOO′=60°，
∵CE⊥AH，AO=OC，
∴OE=AO=OC=2，
∵AH是∠CAB的平分线，∠CAB=30°，
∴∠OAE=15°，
∴∠OEA=15°，
∴∠OCE=∠OAE+∠OEA=15°+15°=30°，
∴∠O′OE=90°，
在Rt△O′EO中，
O′E=，
∴OP+PE的最小值为：，
故答案为：.
【分析】 作点O关于直线AB的对称点O′，连接OO′，AO′，O′P，O′E，OH，说明OP+PE的最小值是线段O′E的长，再证明△O′EO是Rt△，再利用勾股定理求出O′E的长．
11．【答案】
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BD，连接OE，
∵OA+OE≥AE，
∴当A、O、E三点共线时，OA的长最小，最小值OA=AE-OE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=BC=AD=8，，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=8，BE=DE=4，
∴AE=，
在Rt△BOD中，BE=DE，
∴OE=BD=4，
∴最小值OA=AE-OE=
故答案为： .
【分析】过点A作AE⊥BD，连接OE，由OA+OE≥AE，可知当A、O、E三点共线时，OA的长最小，最小值OA=AE-OE，易求△ABD为等边三角形，可得BD=AB=8，BE=DE=4，由勾股定理求出AE，再利用直角三角形斜边中线的性质求出OE，继而得解.
12．【答案】5，或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①如下图所示：
∵等腰三角形纸片ABC中，于点D，，
∴，
∴该平行四边形较长对角线的长为；
② 如下图所示：
∵四边形ADFC是平行四边形，
∴，
∵AD⊥BC，
∴，
∴该平行四边形较长对角线的长为：；
③如下图所示：
由①得：CD=2，
∵于点D，，
∴该平行四边形较长对角线的长为 ：；
综上所述：该平行四边形较长对角线的长为5，或 ，
故答案为： 5，或 .
【分析】根据题意先作图，再分类讨论，利用等腰三角形的性质，勾股定理以及平行四边形的性质计算求解即可。
13．【答案】（1）解： A(-3，0) ，B(3，0)，． AB=6．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥ CD，AB=CD=6．
又C(0，4)，∴点D的坐标为(-6，4)．∵E是OD的中点，点E的坐标为(-3，2)．即D(-6，4) ，E(-3，2)．
（2）解：存在一点N，使以C，D，E ，N为顶点的四边形是平行四边形．
①当CE为平行四边形CDEN的对角线时，如图①，
EN∥CD， EN=CD=6， ∵CD∥AB，∴EN∥AB．又点E的坐标为(-3，2)，EN=6．∴点N的坐标为(3，2)；
②当DE为平行四边形CDNE的对角线时，如图②，
EN∥ CD∥AB ，EN=CD=6，∴点N的坐标为(-9 ，2)；
③当DC为平行四边形CNDE的对角线时，如图③，
则DE∥CN，DE= CN，由坐标与平移关系，得N(-3，6)．
综上，点N的坐标为(3，2)或(-9，2)或(-3，6)．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可知CD=AB=6，从而可以算出D点的坐标，而E是OD的中点，则E点的坐标是D坐标的一半；
（2）以C，D，E ，N为顶点的四边形是平行四边形，则分为三种情况，当当CE为平行四边形CDEN的对角线时，当DE为平行四边形CDNE的对角线时，当DC为平行四边形CNDE的对角线时，分别根据平行四边形的性质可求出N点的坐标.
14．【答案】（1）解：EF=2
（2）12；6
（3）解：分三种情况，∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
①当点E在点F左侧，且DE=EF=CF，如图3所示：
同（1）得：，
∴，
∴；
②点E在点F右侧且DF=FE=EC，如图4所示：
同（1）得：，
∵，
∴AD=2DF，DC=3DF.
∴；
③当点E在点F右侧且FD=DC=CE，如图5所示：
同（1）得：，
∵，
∴AD=2DC.
∴；
综上所述，的值为或或2．
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）问题：∵四边形是平行四边形，∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴；
（2）①如图1所示：
图1
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∵点E与点F重合，
∴；
故答案为：12；
②如图2所示：
由①可得，，
∵点E与点C重合，
∴DC=DE=6=CF.
∴点F与点D重合，
∴；
故答案为：6；
【分析】（1）问题：根据平行四边形的性质得，根据平行线的性质和角平分线的性质可得，于是有，同理得，于是可求EF长.
（2）①类比（1）的证明过程进行证明，可得，，再根据点E与点F重合，可得AB=DE+CF，AB长度可求；
②类比（1）的证明过程进行证明，可得，，当点E与点C重合，可证得点F与点D重合，故EF=CD，EF长度可求.
（3）分①点E在点F左侧，且DE=EF=CF；②点E在点F右侧且DF=FE=EC；③点E在点F右侧且FD=DC=CE，三种情况讨论即可.
15．【答案】（1）；
（2）解：如图，过作，垂足为，则，
，，，
，
平分，
，
由题可知，，
，
，，
设，则，，，
，
，
解得，
；
（3）解：平分，
，
，
，
，
，
设，则，
，，，
，
解得，
（4）解：存在，，，
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵， OB=3，
∴A（4，0），B（0，3），
故答案为：A（4，0），B（0，3）；
（4）存在，或或
理由如下：
、、、四点组成的四边形是平行四边形，如图，当点在第一象限时，
，且，
；
、、、四点组成的四边形是平行四边形，如图，当点在第四象限，
为平行四边形，
轴，，
位于第四象限，
；
、、、四点组成的四边形是平行四边形，如图，当点在第二象限时，过点作轴，
轴，
，，
，
，
，
是平行四边形，
，
，
，，
，
位于第二象限，
，
综上所述：在平面内存在一点，使得、、、四点组成的四边形是平行四边形，点Q的坐标为，， .
【分析】（1）根据， OB=3，求点A和点B的坐标即可；
（2）利用勾股定理求出AB=5，再利用全等三角形的判定与性质和勾股定理等计算求解即可；
（3）根据角平分线求出 ， 再利用勾股定理求出x的值，最后利用三角形的面积公式计算求解即可；
（4）分类讨论，结合图形，利用平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等求点的坐标即可。
16．【答案】（1）解：如图1，
①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C
∴∠ACB′=∠ACB
∴∠DAC=∠ACB′
∴△AGC是等腰三角形；
②∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD=BC
∴∠DAC=∠ACB
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C
∴∠ACB′=∠ACB， B′C=BC
∴∠DAC=∠ACB′， B′C=AD
∴AG=CG
∴ B′G=DG
∴∠GB′D=∠GDB′
∵∠AGC=∠B′GD
∠ACB′=∠CAD
∴∠ADB′=∠DAC
∴B′D∥AC
（2）解：如图2，作CF⊥AB'.
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C
∴BC=B'C=1，∠B=∠CB'F=30°
∴CF=，B'F=
∵AB=AB=
∴AF=
由（1）①的证明，可知
△AEC是等腰三角形
∴AE=CE
设AE=CE=x，则
EF=AF-AE=
∵CF2+EF2=CE2
∴
解得
x=
∴S△AEC=
（3）解：BC=2，3，4，6时，△AB′D是直角三角形。
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（3）反向推理，当△AB′D是直角三角形时，求BC的长.
①如图1，当∠B'AD=90°时.
∵∠ABC=30°
∴∠BAD=150°
∵∠B'AD=90°
∴∠BAC=∠B'AC=120°
∴∠ABC=∠ACB=30°
∵AB=
∴BC=6.
②如图2，当∠B'AD=90°时.
∵∠ABC=30°
∴∠BAD=150°
∵∠B'AD=90°
∴∠BAB'=60°
∴∠BAC=∠B'AC=30°
∴∠ABC=∠BAC=30°
∵AB=
∴BC=2.
③如图3，当∠AB'D=90°时.
由（1）②的证明，可知
B′D∥AC
∴∠CAB'+∠AB'D=180°
∵∠AB'D=90°
∴∠CAB'=∠CAB=90°
∵∠ABC=30°，AB=
∴BC=4.
④如图4，当∠ADB'=90°时.
由（1）②的证明，可知
B′D∥AC
∴∠CAD+∠AB'D=180°
∵∠ADB'=90°
∴∠CAD=90°
∵AD∥BC
∴∠ACB=∠CAD=90°
∵∠ABC=30°，AB=
∴BC=3.
所以，当BC=2，3，4，6时，△AB′D是直角三角形.
【分析】（1）①根据平行四边形的性质，得∠DAC=∠ACB（内错角相等）；由翻折，可得∠ACB′=∠ACB.等量代换，可得∠DAC=∠ACB′，所以△AGC是等腰三角形；②根据平行四边形的性质，得AD=BC，由翻折，可得BC=B'C，所以AD=B'C；根据①中的方法，可以证明△AGC是等腰三角形，所以AG=CG，所以DG=B'G，即△B'DG也是等腰三角形；而等腰△AGC和等腰△B'DG的顶角是对顶角，所以这两个等腰三角形的底角也就相等了，所以可判定B′D∥AC.
（2）关键是做出辅助线CF⊥AB'.由此，在Rt△B'CF中，斜边B'C=1，∠CB'F=30°，利用含30°角的直角三角形的知识，可得CF=，B'F=，所以AF=AB'-B'F=.因为在（1）①中证明了△AEC是等腰三角形，即AE=CE，所以EF=AF-AE=-CE；在Rt△CEF中，用勾股定理可解得CE=AE=.所以，△AEC的面积，就用AE为底，CF为高，可解.
（3） 由△AB′D是直角三角形，可分为3种情况：1°：∠B'AD=90°，2°：∠AB'D=90°；3°：∠ADB'=90°，再结合勾股定理（或锐角三角函数）、平行线的性质等，求得BC的长度即可。
1 / 1【培优卷】2024年北师大版数学八（下）6.1平行四边形 同步练习
一、选择题
1．（2024八下·道县月考）如图，平行四边形中，，，平分，交于E，交于点，交于点，作交于点，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：平行四边形中，，
∵平分
∴
∵
∴，
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴，即
∴，即
∴，
∴
∴
∵
∴
∴，
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：D
【分析】由平行四边形的性质以及三角形内角和的性质可得，，求得，再根据，得到，即可求解．
2．如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点A，C分别在直线x=1和x=4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】全等三角形的应用；平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，作BE⊥x轴，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC，
∵直线x=1与直线x=4都垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM，
∴∠OAF=∠BCD，
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC，
在△OAF和△BCD中
∴△OAF≌△BCD（ASA）
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴OB=.
∵OE的值是定值，
∴当BE最小时（即B在x轴上），OB取得最小值，最小值OB=OE=5.
故答案为：C.
【分析】过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，作BE⊥x轴，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，易得OB=，根据四边形OABC是平行四边形可得OA=BC，由平行线的性质可得∠OAF=∠BCD，结合已知用角边角易证△OAF≌△BCD，由OE的值是定值即可得当BE最小时（即B在x轴上），OB取得最小值，最小值OB=OE可求解.
3．（2020八下·深圳期中）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB=AE，延长AB与DE的延长线交于点F，连接AC、CF． 下列结论：①△ABC≌△EAD；②△ABE是等边三角形；③AD=AF；④S△BEF=S△ABE．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，AD=BC，
∴ ，
又∵AE平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴AB=BE，
∵AB=AE，
∴△ABE是等边三角形，故②符合题意；
∴ ，
∵AB=AE，BC=AD，
∴△ABC≌△EAD，故①符合题意；
若AD与AF相等，即 ，
即EC=CD=BE，
即BC=2CD，
题中未限定这一条件，
∴③④不一定符合题意；
故正确的是①②符合题意；
故答案为：B．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得 ，AD=BC，又因为AE平分 ，可得 ，由AB=AE，得到△ABE是等边三角形，则 ，所以△ABC≌△EAD，即可得到结果．
4．（2023八下·宝安期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，且顶点的坐标为，点的坐标为，将平行四边形OABC沿着直线OC翻折，得到四边形，若直线把六边形的面积分成相等的两部分，则直线的解析式为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：连接OB，OB的中点为M，的中点为N，多点D作BQ⊥x轴，垂足为Q，点B坐标为（6，），
∴AQ=6-4=2，，∠BAQ=∠COA=60°.
根据翻折的性质可知，对角线OB翻折后，落在y轴上.
在Rt△OBQ中，OB=
∴
∴N（0，），
由中点坐标公式得：M（3，）
设MN所在直线的解析式为y=kx+b，代入M、N的坐标得：
解得，
∴MN所在直线的解析式为
∵平行四边形是中心对称图形
∴过MN的直线平分六边形的面积.
∴直线l的解析式可以为：
又∵将平行四边形OABC沿着直线OC翻折，得到四边形
∴OC所在的直线也平分六边形的面积.
过点C作CP⊥x轴，垂足为点P，在Rt△OPC中，CP=BQ=，∠COB=60°，
∴OP=2
∴点C坐标为（2，）
设OC所在直线的解析式为y=kx，将点C坐标代入得
，解得k=
∴OC所在直线的解析式为y=x.
综上所述，直线l的解析式为y=x或.
故答案为：A.
【分析】利用平行四边形是中心对称图形，过中心点的直线平分图形的面积，以及图形对称轴所在直线平分图形的面积，即可找出直线了所在的位置，再求出直线l的解析式即可.
5．（2024八下·北仑期中）如图，在 ABCD，O是AC、BD的交点，过点O与AC垂直的直线交边AD于点E，若△CDE的周长为11cm，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．20cm B．22cm C．24cm D．26cm
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC与BD相交于点O，
∴OA=OC，
∵OE⊥AC于点O，
∴OE是AC的垂直平分线，
∴AE=CE，
∵△CDE的周长为11cm，
∴CE+DE+CD=DE+AE+CD=AD+CD=11cm，
∴平行四边形ABCD的周长为：2(AD+CD)=2×11=22cm.
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的对角线互相平分得OA=OC，易得OE是AC的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得AE=CE，然后根据三角形周长计算方法、等量代换及线段的和差可得AD+CD=11cm，进而根据平行四边形的周长等于两邻边和的2倍可得答案.
6．如图，在 ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，∠EBF=45°.若CE=3，DF=1，则 ABCD的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：
四边形ABCD是平行四边形
同理：
又
在中，
又
．
故答案为： A．
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理．利用可推出： ，再结合可得：，进而推出：，可求出BC的长，得出AD的长，因此根据求出AF的长.利用可推出： ，再结合可得：，进而推出：，代入平行四边形的面积公式：可求出面积.
7．（2023八下·晋安期末）如图，在平行四边形中，对角线，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交对角线于点，连接恰好垂直于边，若，则的长是（ ）
A．6 B．8 C．1 D．1
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图过程可得直线EF是线段AB的垂直平分线，
∴BG=AG=6，
∵BD=16，
∴GD=BD-BG=10，
∵AG⊥AD，
∴∠GAD=90°，
∴AD=.
故答案为：B.
【分析】由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得BG=AG=6，由线段的和差算出GD的长，进而在Rt△ADG中，利用勾股定理算出AD的长.
8．（2023八下·温江期末）如图，已知的顶点，，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线交于点G．则点G的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：根据题意可得：AG平分∠DAB，
∵的顶点，，
∴AO=3，DO=4，AB//CD，
∴，
∵AB//CD，
∴∠DGA=∠BAG，
∵AG平分∠DAB，
∴∠DAG=∠BAG，
∴∠DAG=∠DGA，
∴AD=DG=5，
∴点G的坐标为（5，4），
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求出AD的长，再利用角平分线和平行线的性质可得∠DAG=∠DGA，利用等角对等边的性质可得AD=DG=5，再求出点G的坐标即可.
二、填空题
9．（2018-2019学年初中数学华师大版八年级下册第十八章平行四边形 单元检测提高卷 ）在平行四边形 中， 平分 交边 于 ， 平分 交边 于 .若 ， ，则 .
【答案】8或3
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：①如图1，
在 ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=5，
∴BC=BE+CF﹣EF=2AB﹣EF=2AB﹣5=11，
∴AB=8；
②在 ABCD中，∵BC=AD=11，BC∥AD，CD=AB，CD∥AB，
∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，
∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF，
∴AB=BE，CF=CD，
∴AB=BE=CF=CD
∵EF=5，
∴BC=BE+CF=2AB+EF=2AB+5=11，
∴AB=3；
综上所述：AB的长为8或3．
故答案为：8或3．
【分析】对于没有图的几何试题我们需要作出满足条件的所有可能的图形，本题因为点E，F的位置不确定可作出两个图形.
先根据平行四边形两组对边平行及角平分线可求得BE=CF=AB，再根据所作图形及AD长即可求得相应的AB长.
10．（2023八下·锦州期末）如图，在 中，对角线，交于点，，，过点作的平分线的垂线，垂足为点，若点在的垂直平分线上，是直线上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：作点O关于直线AB的对称点O′，连接OO′，AO′，O′P，O′E，OH，
∴OP=O′P，
∴OP+PE=O′P+PE≥O′E，
∴OP+PE的最小值是O′E的长；
∵∠ACD=30°，
∴∠BAC=30°，
∵点O和点O′关于直线AB的对称，
∴AO′=AO，∠O′AB=∠BAC=30°，
∴∠OAO′=60°，
∴△AOO′为等边三角形，
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=4，
∴AB//DC，AO=OC=2，
∴OO′=AO=2，∴∠AOO′=60°，
∵CE⊥AH，AO=OC，
∴OE=AO=OC=2，
∵AH是∠CAB的平分线，∠CAB=30°，
∴∠OAE=15°，
∴∠OEA=15°，
∴∠OCE=∠OAE+∠OEA=15°+15°=30°，
∴∠O′OE=90°，
在Rt△O′EO中，
O′E=，
∴OP+PE的最小值为：，
故答案为：.
【分析】 作点O关于直线AB的对称点O′，连接OO′，AO′，O′P，O′E，OH，说明OP+PE的最小值是线段O′E的长，再证明△O′EO是Rt△，再利用勾股定理求出O′E的长．
11．（2023八下·历城期末）如图，已知中，，，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接，则线段的最小值是 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥BD，连接OE，
∵OA+OE≥AE，
∴当A、O、E三点共线时，OA的长最小，最小值OA=AE-OE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=BC=AD=8，，
∴△ABD为等边三角形，
∴BD=AB=8，BE=DE=4，
∴AE=，
在Rt△BOD中，BE=DE，
∴OE=BD=4，
∴最小值OA=AE-OE=
故答案为： .
【分析】过点A作AE⊥BD，连接OE，由OA+OE≥AE，可知当A、O、E三点共线时，OA的长最小，最小值OA=AE-OE，易求△ABD为等边三角形，可得BD=AB=8，BE=DE=4，由勾股定理求出AE，再利用直角三角形斜边中线的性质求出OE，继而得解.
12．（2023八下·遂川期末）如图，等腰三角形纸片ABC中，于点D，，，沿AD剪成两个三角形.用这两个三角形拼成平行四边形，该平行四边形较长对角线的长为 .
【答案】5，或
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：①如下图所示：
∵等腰三角形纸片ABC中，于点D，，
∴，
∴该平行四边形较长对角线的长为；
② 如下图所示：
∵四边形ADFC是平行四边形，
∴，
∵AD⊥BC，
∴，
∴该平行四边形较长对角线的长为：；
③如下图所示：
由①得：CD=2，
∵于点D，，
∴该平行四边形较长对角线的长为 ：；
综上所述：该平行四边形较长对角线的长为5，或 ，
故答案为： 5，或 .
【分析】根据题意先作图，再分类讨论，利用等腰三角形的性质，勾股定理以及平行四边形的性质计算求解即可。
三、解答题
13．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是平行四边形，A(-3，0)，B(3，0) ，C(0，4)，连结OD，点E是线段0D的中点．
（1）求点E和点D的坐标．
（2）平面内是否存在一点N，使以C，D，E，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解： A(-3，0) ，B(3，0)，． AB=6．
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥ CD，AB=CD=6．
又C(0，4)，∴点D的坐标为(-6，4)．∵E是OD的中点，点E的坐标为(-3，2)．即D(-6，4) ，E(-3，2)．
（2）解：存在一点N，使以C，D，E ，N为顶点的四边形是平行四边形．
①当CE为平行四边形CDEN的对角线时，如图①，
EN∥CD， EN=CD=6， ∵CD∥AB，∴EN∥AB．又点E的坐标为(-3，2)，EN=6．∴点N的坐标为(3，2)；
②当DE为平行四边形CDNE的对角线时，如图②，
EN∥ CD∥AB ，EN=CD=6，∴点N的坐标为(-9 ，2)；
③当DC为平行四边形CNDE的对角线时，如图③，
则DE∥CN，DE= CN，由坐标与平移关系，得N(-3，6)．
综上，点N的坐标为(3，2)或(-9，2)或(-3，6)．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可知CD=AB=6，从而可以算出D点的坐标，而E是OD的中点，则E点的坐标是D坐标的一半；
（2）以C，D，E ，N为顶点的四边形是平行四边形，则分为三种情况，当当CE为平行四边形CDEN的对角线时，当DE为平行四边形CDNE的对角线时，当DC为平行四边形CNDE的对角线时，分别根据平行四边形的性质可求出N点的坐标.
14．（2024八下·诸暨月考）问题：如图，在平行四边形中，，的平分线分别与直线交于点E、F.
（1）请直接写出的长．
（2）探究：把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．
①当点E与点F重合时，的长为 ．
②当点E与点C重合时，的长为 ．
（3）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．
【答案】（1）解：EF=2
（2）12；6
（3）解：分三种情况，∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，
①当点E在点F左侧，且DE=EF=CF，如图3所示：
同（1）得：，
∴，
∴；
②点E在点F右侧且DF=FE=EC，如图4所示：
同（1）得：，
∵，
∴AD=2DF，DC=3DF.
∴；
③当点E在点F右侧且FD=DC=CE，如图5所示：
同（1）得：，
∵，
∴AD=2DC.
∴；
综上所述，的值为或或2．
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）问题：∵四边形是平行四边形，∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴；
（2）①如图1所示：
图1
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∵点E与点F重合，
∴；
故答案为：12；
②如图2所示：
由①可得，，
∵点E与点C重合，
∴DC=DE=6=CF.
∴点F与点D重合，
∴；
故答案为：6；
【分析】（1）问题：根据平行四边形的性质得，根据平行线的性质和角平分线的性质可得，于是有，同理得，于是可求EF长.
（2）①类比（1）的证明过程进行证明，可得，，再根据点E与点F重合，可得AB=DE+CF，AB长度可求；
②类比（1）的证明过程进行证明，可得，，当点E与点C重合，可证得点F与点D重合，故EF=CD，EF长度可求.
（3）分①点E在点F左侧，且DE=EF=CF；②点E在点F右侧且DF=FE=EC；③点E在点F右侧且FD=DC=CE，三种情况讨论即可.
15．（2023八下·盐湖期末）【综合探究】已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中边在轴上且，边在轴上且，平分交于点．
（1）请直接写出、两点的坐标： ， ．
（2）如图1，求点的坐标．
（3）过点作交于点．如图2，求面积．
（4）在平面内是否存在一点，使得、、、四点组成的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：如图，过作，垂足为，则，
，，，
，
平分，
，
由题可知，，
，
，，
设，则，，，
，
，
解得，
；
（3）解：平分，
，
，
，
，
，
设，则，
，，，
，
解得，
（4）解：存在，，，
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵， OB=3，
∴A（4，0），B（0，3），
故答案为：A（4，0），B（0，3）；
（4）存在，或或
理由如下：
、、、四点组成的四边形是平行四边形，如图，当点在第一象限时，
，且，
；
、、、四点组成的四边形是平行四边形，如图，当点在第四象限，
为平行四边形，
轴，，
位于第四象限，
；
、、、四点组成的四边形是平行四边形，如图，当点在第二象限时，过点作轴，
轴，
，，
，
，
，
是平行四边形，
，
，
，，
，
位于第二象限，
，
综上所述：在平面内存在一点，使得、、、四点组成的四边形是平行四边形，点Q的坐标为，， .
【分析】（1）根据， OB=3，求点A和点B的坐标即可；
（2）利用勾股定理求出AB=5，再利用全等三角形的判定与性质和勾股定理等计算求解即可；
（3）根据角平分线求出 ， 再利用勾股定理求出x的值，最后利用三角形的面积公式计算求解即可；
（4）分类讨论，结合图形，利用平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质等求点的坐标即可。
16．（2021八下·绍兴期中）我们知道平行四边形有很多性质．现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折．会发现这其中还有更多的结论，如图，已知平行四边形ABCD中，AB=2 ，∠30°，AB≠BC，将△ABC沿AC翻折至△AB′C，连接B′D．
（1）【发现与证明】
如图1：结论①△AGC是等腰三角形；结论②B′D∥AC。请证明结论①或结论②（只需证明一个结论）。
（2）【应用与解答】
如图2：如果BC=1，AB′与CD相交于点E，求△AEC的面积。
（3）【拓展与探索】
直接写出结论，当BC的长为多少时，△AB′D是直角三角形？
【答案】（1）解：如图1，
①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC
∴∠DAC=∠ACB
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C
∴∠ACB′=∠ACB
∴∠DAC=∠ACB′
∴△AGC是等腰三角形；
②∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD=BC
∴∠DAC=∠ACB
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C
∴∠ACB′=∠ACB， B′C=BC
∴∠DAC=∠ACB′， B′C=AD
∴AG=CG
∴ B′G=DG
∴∠GB′D=∠GDB′
∵∠AGC=∠B′GD
∠ACB′=∠CAD
∴∠ADB′=∠DAC
∴B′D∥AC
（2）解：如图2，作CF⊥AB'.
∵将△ABC沿AC翻折至△AB′C
∴BC=B'C=1，∠B=∠CB'F=30°
∴CF=，B'F=
∵AB=AB=
∴AF=
由（1）①的证明，可知
△AEC是等腰三角形
∴AE=CE
设AE=CE=x，则
EF=AF-AE=
∵CF2+EF2=CE2
∴
解得
x=
∴S△AEC=
（3）解：BC=2，3，4，6时，△AB′D是直角三角形。
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（3）反向推理，当△AB′D是直角三角形时，求BC的长.
①如图1，当∠B'AD=90°时.
∵∠ABC=30°
∴∠BAD=150°
∵∠B'AD=90°
∴∠BAC=∠B'AC=120°
∴∠ABC=∠ACB=30°
∵AB=
∴BC=6.
②如图2，当∠B'AD=90°时.
∵∠ABC=30°
∴∠BAD=150°
∵∠B'AD=90°
∴∠BAB'=60°
∴∠BAC=∠B'AC=30°
∴∠ABC=∠BAC=30°
∵AB=
∴BC=2.
③如图3，当∠AB'D=90°时.
由（1）②的证明，可知
B′D∥AC
∴∠CAB'+∠AB'D=180°
∵∠AB'D=90°
∴∠CAB'=∠CAB=90°
∵∠ABC=30°，AB=
∴BC=4.
④如图4，当∠ADB'=90°时.
由（1）②的证明，可知
B′D∥AC
∴∠CAD+∠AB'D=180°
∵∠ADB'=90°
∴∠CAD=90°
∵AD∥BC
∴∠ACB=∠CAD=90°
∵∠ABC=30°，AB=
∴BC=3.
所以，当BC=2，3，4，6时，△AB′D是直角三角形.
【分析】（1）①根据平行四边形的性质，得∠DAC=∠ACB（内错角相等）；由翻折，可得∠ACB′=∠ACB.等量代换，可得∠DAC=∠ACB′，所以△AGC是等腰三角形；②根据平行四边形的性质，得AD=BC，由翻折，可得BC=B'C，所以AD=B'C；根据①中的方法，可以证明△AGC是等腰三角形，所以AG=CG，所以DG=B'G，即△B'DG也是等腰三角形；而等腰△AGC和等腰△B'DG的顶角是对顶角，所以这两个等腰三角形的底角也就相等了，所以可判定B′D∥AC.
（2）关键是做出辅助线CF⊥AB'.由此，在Rt△B'CF中，斜边B'C=1，∠CB'F=30°，利用含30°角的直角三角形的知识，可得CF=，B'F=，所以AF=AB'-B'F=.因为在（1）①中证明了△AEC是等腰三角形，即AE=CE，所以EF=AF-AE=-CE；在Rt△CEF中，用勾股定理可解得CE=AE=.所以，△AEC的面积，就用AE为底，CF为高，可解.
（3） 由△AB′D是直角三角形，可分为3种情况：1°：∠B'AD=90°，2°：∠AB'D=90°；3°：∠ADB'=90°，再结合勾股定理（或锐角三角函数）、平行线的性质等，求得BC的长度即可。
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