【提升卷】2024年北师大版数学八（下）6.1平行四边形 同步练习
一、选择题
1．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长是30，OE=3，则四边形ABFE的周长是（ ）
A．21 B．24 C．27 D．18
2．如图， ABCD的周长为 30cm，△ABC 的周长为27cm，则AO的长为 （ ）
A．12cm B．9cm C．7. 5cm D．6cm
3．如果平行四边形的一边长为12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是 （ ）
A．8 和14 B．10 和14 C．18 和20 D．10 和34
4．如图，在□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点.若添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
A．BE=DF B．BF=DE C．AE=CF D．∠1=∠2
5．（2023八下·台山期末）如图，在中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若，则的周长为（ ）
A．24 B．22 C．16 D．12
6．（2021八下·成都期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝5，BE＝24，则CD的长为（ ）
A．8 B．13 C．16 D．18
7．（2023八下·东莞期中）如图，在平行四边形中，平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八下·瑶海期末）如图，在中，对角线、交于点O．若，，，．则化简：的结果为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024八下·新宁月考）如图，平行四边形的对角线相交于点，且，的周长为22，则平行四边形的两条对角线的和是 .
10．（2023八下·北京市期中）如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则 cm．
11．如图， ABCD 的顶点C 在等边三角形BEF 的边BF 上，点A在EB 的延长线上，G为DE 的中点，连结CG.若AD=3，AB=CF=2，则CG 的长为 .
12．如图，在 ABCD中，BC=2AB，E 为BC的中点，则∠AED= °.
三、解答题
13．（2017八下·武清期中）如图，AC是 ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC．
（1）求证：AB=BC；
（2）若AB=2，AC=2 ，求 ABCD的面积．
14．（2023八下·增城期末）如图，在平行四边形中，已知．
（1）尺规作图：延长，并在延长线上截取，连接交于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，求平行四边形的周长．
15．（2020八下·惠来期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作直线EF⊥AB，分别交AB，CD于点E，F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若AC＝18，EF＝10，求AE的长．
16．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，M为BC的中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.
（1）求证：BN平分∠ABE.
（2）连结DN，若BD=1，四边形DNBC为平行四边形，求线段BC的长.
17．在□ABCD 中，∠ABC = 45°，对角 线 AC ⊥CD.
（1）如图1，若 AD=6，求□ABCD的面积.
（2）如图2，连结 BD交 AC 于点O，过点 A 作AE⊥BD于点 E，连结 EC.求证：ED=AE+EC.
18．（2023八下·乾安期末）如图①，在平行四边形ABCD中， AB=3，AD=6．动点P沿AD边以每秒个单位长度的速度从点A向终点D ．设点P运动的时间为t（t＞0）秒．
（1）线段PD的长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当CP平分∠BCD时，求t的值．
（3）如图②，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在CB上往返运动．P、Q两点同时出发，点Q也随之停止运动．当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由题意可知AB=CD，AD=BC，OA=OC，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，AE=CF，
∴四边形ABFE的周长=AB+AE+BF+EF=AB+BF+CF+2OE=AB+BC+2OE=15+6=21，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质可证得△AOE≌△COF，从而得到OE=OF，AE=CF，再根据线段之间的等量关系进行替换可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ABCD的周长为 30cm，△ABC 的周长为27cm.
设AB+AC=x，AC=y.
x+y=27，x-y=30-27，
即x-y=3，
x+y=27
利用加减消元解得x=15，y=12.
又∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AO=CO==
故答案为：D.
【分析】根据 ABCD的周长为 30cm，△ABC 的周长为27cm，设设AB+AC=x，AC=y，联立二元一次方程组求出y的值，再根据四边形ABCD是平行四边形即可求出AO=CO==
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，作CE∥BD，交AB的延长线于点E，
∵AB=CD，DC∥AB
∴四边形BECD是平行四边形，
∴CE=BD，BE=CD=AB，
∴在△ACE中，AE=2AB=24＜AC+CE，
A、24>8+14，A错误.
B、24=10+14，B错误.
C、24<18+20，C符合.
D、24<10+34，D符合.
∴四个选项中只有C，D符合条件，但是10，34，24不符合三边关系，
故选：C．
【分析】此题考查平行四边形的性质，三角形的三边关系.作CE∥BD，交AB的延长线于点E，根据平行四边形的性质得到△ACE中，AE=2AB=24，再根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，因此可得：AE＜AC+CE，即AC+CE>24.逐个选项进行判断：A、24>8+14，A错误.B、24=10+14，B错误.C、24<18+20，C符合.D、24<10+34，D符合.但是10，34，24不符合三边关系：10+24=34，D选项排除.
4．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是平行四边形 ，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
A、∵AB=CD，∠ABE=∠CDF， BE=DF
∴ △ABE≌△CDF （SAS），故不符合题意；
B、∵ BF=DE ，
∴ BF-EF=DE -EF，即BE=DF ，
∵AB=CD，∠ABE=∠CDF， BE=DF
∴ △ABE≌△CDF （SAS），故不符合题意；
C、由AE=CF ，AB=CD，∠ABE=∠CDF， 根据SSA无法判断△ABE≌△CDF，故符合题意；
D、∵ ∠1=∠2，AB=CD，∠ABE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF （ASA），故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，从而根据平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，然后根据三角形全等的判定方法逐一判断即可.
5．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=60°，AB=CD=4，
∵△ADC 沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处
∴AD=AE，CD=CE=4，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE=DE=CE+CD=8
∴ △ADE的周长 =AD+DC+CE+AE=8+4+4+8=24.
故答案为：A.
【分析】再根据平行四边形的性质得∠D=∠B=60°，AB=CD=4，由翻折得AD=AE，CD=CE=4，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质得AD=AE=DE=CE+CD=8，最后根据三角形周长计算公式计算可得答案.
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，
∴∠AEB=∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵AF⊥BE，
∴BE=2BF，
∵AF＝5，BE＝24，
∴BF=12，
∴AB= ，
∴CD= AB=13，
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AB=CD，由平行线的性质可得∠AEB=∠CBE，根据角平分线的概念可得∠ABE=∠CBE，进而推出AB=AE，结合等腰三角形的性质可得BE=2BF，然后由勾股定理可得AB，进而得到CD的值.
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AD平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，AB=CD=5，
∴∠CBE=∠AEB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=5，
同理，可得DF=DC=5
∴AF=DE=7-5=2
∴EF=7-2-2=3
故答案为：C.
，【分析】根据平行四边形的性质以及平行线的性质解题即可。
8．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，
∴AO=AC=4，AB=CD=2，
在△AOB中，AO-AB
∴4-2即2∴4即4在△ACD中，AC-CD∴8-2即6∴6∴
故答案为：C.
【分析】先利用三角形三边的关系求出49．【答案】32
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=6，
∴CD=AB=6，
∵的周长为22，
∴OD+OC=22-6=16，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2OD，AC=2OC，
∴BD+AC=2OD+2OC=2（OD+OC）=2×16=32，
∴平行四边形的两条对角线的和是32，
故答案为：32.
【分析】先利用三角形的周长公式求出OD+OC=22-6=16，再利用平行四边形的性质可得BD+AC=2OD+2OC=2（OD+OC）=2×16=32，从而得解.
10．【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=4cm，AD=7cm，
∴AB=CD=4cm，AB∥CD，BC=AD=7cm，
∴∠ABE=∠F，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBC，
∴∠FBC=∠F，
∴CF=BC=7cm，
∴DF=FC-CD=7-4=3cm；
故答案为：3.
【分析】由平形四边形的性质可得AB=CD=4cm，AB∥CD，BC=AD=7cm，利用平行线的性质及角平分线的定义可得∠FBC=∠F，可得CF=BC=7cm，利用DF=FC-CD即可求解.
11．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=3，CD=AB，DC//AB.
∵AB=CF=2，
∴CD=2，BC=3，
'.BF=CF+BC=2+3=5，
∵△BEF是等边三角形，
∴BF =BE=5，∠CBE =60°，
∵G为DE的中点，
∴DG= EG，
如图，延长CG交BE于点H，
∵DC//AB，
∴∠CDG = ∠HEG
∵∠DGC和∠EGH为对顶角，
∴∠DGC= ∠EGH，
在△DCG和△EHG中，
∠CDG = ∠HEG
DG =EG
∠DGC = ∠EGH
∴△DCG ≌ △EHG (ASA)，
∴DC=EH，CG = HG，
∵CD=2，BE=5，
∴HE=2，BH=3，
∴∠CBH = 60°，BC=BH =3，
∴△CBH是等边三角形，
∴CH=BC=3，
∴CG =
故答案为：
【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质可算出BF和BE的长，然后延长CG交BE于点H，根据DC//AB，求出∠CDG = ∠HEG，根据全等三角形的判定定理得出△DCG ≌△EHG (ASA)，求得DC=EH和CG=HG，最后根据等边三角形的判定定理得出△CBH是等边三角形，从而即可得出CG=
12．【答案】90
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB//CD，AD//BC.
∴∠B+∠C=180°，∠BAD+∠CDA=180°.
又∵BC=2AB，E 为BC的中点.
∴AB=BE，CD=CE.
∴∠BAE=∠AEB，∠DEC=∠CDE.
∵AD//BC.
∴∠DAE=∠AEB，∠ADE=∠DEC.
∴∠BAE=∠DAE=∠BAD，∠ADE=∠CDE=∠CDA.
∵∠BAD+∠CDA=180°.
∴∠EAD+∠EDA=180°÷2=90°.
∴∠AED=180°-90°=90°.
故答案为：90°
【分析】首先根据平行四边形对边平行得出∠B+∠C=180°，∠BAD+∠CDA=180°，然后根据BC=2AB，E 为BC的中点，判断出∠BAE=∠AEB，∠DEC=∠CDE，再根据AD//BC得出∠DAE=∠AEB，∠ADE=∠DEC，由此即可得出∠BAE=∠DAE=∠BAD，∠ADE=∠CDE=∠CDA，最后根据∠BAD+∠CDA=180°，即可求出∠AED的度数.
13．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC
（2）解：连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC= AC= ，OB=OD= BD，
∴OB= = =1，
∴BD=2OB=2，
∴ ABCD的面积= AC BD= ×2 ×2=2 ．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠DAC=∠BCA，再由已知条件得出∠BAC=∠BCA，即可得出AB=BC；（2）连接BD交AC于O，证明四边形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，OA=OC= AC= ，OB=OD= BD，由勾股定理求出OB，得出BD， ABCD的面积= AC BD，即可得出结果．
14．【答案】（1）解：如图所示，根据题意作图如下，
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形的周长为．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论.
15．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，OA＝OC，
∴∠FCO＝∠OAE，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴∠CFO＝∠AEO＝90°，
∴△FCO≌△EAO（AAS），
∴OE＝OF；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝9，
∵OE＝OF，
∴OE＝5，
∴AE＝ ．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠FCO＝∠OAE， 再利用AAS证明 △FCO≌△EAO ，最后作答求解即可；
（2）根据平行四边形求出 OA＝OC＝9， 再求出 OE＝5， 最后利用勾股定理计算求解即可。
16．【答案】（1）证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB，
∵M是BC的中点，
∴AM⊥BC，
在Rt△ABM和Rt△CBE中，∠MAB+∠ABC=90°，∠ACB+∠EBC=90°，
∴∠MAB=∠EBC，
∵MB=MN，
∴△MBN是等腰直角三角形，
∴∠MNB=∠MBN=45°，
∵∠EBC+∠NBE=∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°，
∴∠NBE=∠ABN，即BN平分∠ABE；
（2）解：设BM=CM=MN=a，
∵四边形DNBC是平行四边形，
∴DN=BC=2a，
在△ABN和△DBN中
∴△ABN≌△DBN（SAS）
∴AN=DN=2a，
在Rt△ABM中，由勾股定理可得AM2+BM2=AB2，
即（2a+a）2+a2=1，解得：a=，或a=-(舍去），
∴BC=2a=.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由等边对等角可得∠ABC=∠ACB，根据等腰三角形的三线合一可得AM⊥BC，由同角的余角相等可得∠MAB=∠EBC，于是可得△MBN是等腰直角三角形，结合角的构成可求解；
（2）设BM=CM=MN=a，由题意用边角边可证△ABN≌△DBN，由全等三角形的性质可得AN=DN=2a，在Rt△ABM中，由勾股定理可得关于a的方程，然后由BC=2a可求解.
17．【答案】（1）解：∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∵∠ABC=45°，平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABC=∠D=∠DAC=45°，
∴AC=CD，
∵AC2+CD2=AD2即2AC2=36，
∴AC2=18，
∴平行四边形ABCD的面积为AC2=18
（2）证明：过点C作CF⊥CE交BD于点F，
∴∠ECF=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠ACD=∠AED=90°，
∴∠ACF+∠FCD=∠ACF+∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠FCD，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵∠ABD+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90°，
∴∠ABE=∠EAC=∠CDF，
在△ACE和△DCF中
∴△ACE≌△DCF（SAS），
∴CE=CF，DF=AE
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF2=CE2+CF2=2CE2，
∴，
∵DE=EF+DF，
∴
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠ACD=90°，利用平行四边形的性质及平行线的性质可证得AC=CD，利用勾股定理求出AC2的值，即可求出平行四边形ABCD的面积.
（2）过点C作CF⊥CE交BD于点F，利用垂直的定义和余角的性质可推出∠ACE=∠FCD，∠ABE=∠EAC=∠CDF，利用SAS证明△ACE≌△DCF，利用全等三角形的性质可证得CE=CF，DF=AE，可推出△CEF是等腰直角三角形，利用勾股定理可证得，然后根据DE=EF+DF，可证得结论.
18．【答案】（1）
（2）解：在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠DPC＝∠BCP，
∵CP平分∠BCD，
∴∠BCP＝∠DCP，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴DP＝DC＝3，
∴，
∴t＝6；
（3）解：t的值为或8或．
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）由题意可得AP=t，
∴PD=AD-AP=，
故答案为：．
（3）∵以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，BQ∥PD，
∴PD=BQ，当点Q没有到达点B时，6-t=6-2t，
∴t=0（不合题意舍去），
当点Q到达点B后，返回时，6-t=2t-6，
∴t=，
当点Q到达点C后，返回时，6-t=6×3-2t，
∴t=8，
当点Q第二次到达点B后，6-t=2t-18，
∴t=，
综上所述：t的值为或8或．
【分析】（1）由题意可得AP=t，根据PD=AD-AP，即可求解．
（2）由平行线的性质和角平分线的性质即可求解；
（3）利用平行四边形的性质，分三种情况讨论，分别列出一元一次方程，解方程可求解．
1 / 1【提升卷】2024年北师大版数学八（下）6.1平行四边形 同步练习
一、选择题
1．如图，EF过平行四边形ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F，若平行四边形ABCD的周长是30，OE=3，则四边形ABFE的周长是（ ）
A．21 B．24 C．27 D．18
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：由题意可知AB=CD，AD=BC，OA=OC，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，AE=CF，
∴四边形ABFE的周长=AB+AE+BF+EF=AB+BF+CF+2OE=AB+BC+2OE=15+6=21，
故答案为：A．
【分析】根据平行四边形的性质可证得△AOE≌△COF，从而得到OE=OF，AE=CF，再根据线段之间的等量关系进行替换可得出答案.
2．如图， ABCD的周长为 30cm，△ABC 的周长为27cm，则AO的长为 （ ）
A．12cm B．9cm C．7. 5cm D．6cm
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ ABCD的周长为 30cm，△ABC 的周长为27cm.
设AB+AC=x，AC=y.
x+y=27，x-y=30-27，
即x-y=3，
x+y=27
利用加减消元解得x=15，y=12.
又∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AO=CO==
故答案为：D.
【分析】根据 ABCD的周长为 30cm，△ABC 的周长为27cm，设设AB+AC=x，AC=y，联立二元一次方程组求出y的值，再根据四边形ABCD是平行四边形即可求出AO=CO==
3．如果平行四边形的一边长为12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是 （ ）
A．8 和14 B．10 和14 C．18 和20 D．10 和34
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，作CE∥BD，交AB的延长线于点E，
∵AB=CD，DC∥AB
∴四边形BECD是平行四边形，
∴CE=BD，BE=CD=AB，
∴在△ACE中，AE=2AB=24＜AC+CE，
A、24>8+14，A错误.
B、24=10+14，B错误.
C、24<18+20，C符合.
D、24<10+34，D符合.
∴四个选项中只有C，D符合条件，但是10，34，24不符合三边关系，
故选：C．
【分析】此题考查平行四边形的性质，三角形的三边关系.作CE∥BD，交AB的延长线于点E，根据平行四边形的性质得到△ACE中，AE=2AB=24，再根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，因此可得：AE＜AC+CE，即AC+CE>24.逐个选项进行判断：A、24>8+14，A错误.B、24=10+14，B错误.C、24<18+20，C符合.D、24<10+34，D符合.但是10，34，24不符合三边关系：10+24=34，D选项排除.
4．如图，在□ABCD中，E，F是对角线BD上的两点.若添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（ ）
A．BE=DF B．BF=DE C．AE=CF D．∠1=∠2
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【解答】解： ∵四边形ABCD是平行四边形 ，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
A、∵AB=CD，∠ABE=∠CDF， BE=DF
∴ △ABE≌△CDF （SAS），故不符合题意；
B、∵ BF=DE ，
∴ BF-EF=DE -EF，即BE=DF ，
∵AB=CD，∠ABE=∠CDF， BE=DF
∴ △ABE≌△CDF （SAS），故不符合题意；
C、由AE=CF ，AB=CD，∠ABE=∠CDF， 根据SSA无法判断△ABE≌△CDF，故符合题意；
D、∵ ∠1=∠2，AB=CD，∠ABE=∠CDF，
∴△ABE≌△CDF （ASA），故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，从而根据平行线的性质得出∠ABE=∠CDF，然后根据三角形全等的判定方法逐一判断即可.
5．（2023八下·台山期末）如图，在中，将沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若，则的周长为（ ）
A．24 B．22 C．16 D．12
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=60°，AB=CD=4，
∵△ADC 沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处
∴AD=AE，CD=CE=4，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD=AE=DE=CE+CD=8
∴ △ADE的周长 =AD+DC+CE+AE=8+4+4+8=24.
故答案为：A.
【分析】再根据平行四边形的性质得∠D=∠B=60°，AB=CD=4，由翻折得AD=AE，CD=CE=4，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得△ADE是等边三角形，根据等边三角形的性质得AD=AE=DE=CE+CD=8，最后根据三角形周长计算公式计算可得答案.
6．（2021八下·成都期末）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，若AF＝5，BE＝24，则CD的长为（ ）
A．8 B．13 C．16 D．18
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，
∴∠AEB=∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵AF⊥BE，
∴BE=2BF，
∵AF＝5，BE＝24，
∴BF=12，
∴AB= ，
∴CD= AB=13，
故答案为：B.
【分析】由平行四边形的性质可得AD∥BC，AB=CD，由平行线的性质可得∠AEB=∠CBE，根据角平分线的概念可得∠ABE=∠CBE，进而推出AB=AE，结合等腰三角形的性质可得BE=2BF，然后由勾股定理可得AB，进而得到CD的值.
7．（2023八下·东莞期中）如图，在平行四边形中，平分线交于点，的平分线交于点，若，，则的长（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AD平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，AB=CD=5，
∴∠CBE=∠AEB，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=5，
同理，可得DF=DC=5
∴AF=DE=7-5=2
∴EF=7-2-2=3
故答案为：C.
，【分析】根据平行四边形的性质以及平行线的性质解题即可。
8．（2023八下·瑶海期末）如图，在中，对角线、交于点O．若，，，．则化简：的结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，
∴AO=AC=4，AB=CD=2，
在△AOB中，AO-AB∴4-2即2∴4即4在△ACD中，AC-CD∴8-2即6∴6∴
故答案为：C.
【分析】先利用三角形三边的关系求出4二、填空题
9．（2024八下·新宁月考）如图，平行四边形的对角线相交于点，且，的周长为22，则平行四边形的两条对角线的和是 .
【答案】32
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=6，
∴CD=AB=6，
∵的周长为22，
∴OD+OC=22-6=16，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2OD，AC=2OC，
∴BD+AC=2OD+2OC=2（OD+OC）=2×16=32，
∴平行四边形的两条对角线的和是32，
故答案为：32.
【分析】先利用三角形的周长公式求出OD+OC=22-6=16，再利用平行四边形的性质可得BD+AC=2OD+2OC=2（OD+OC）=2×16=32，从而得解.
10．（2023八下·北京市期中）如图，在平行四边形中，，的平分线交于点E，交的延长线于点F，则 cm．
【答案】3
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=4cm，AD=7cm，
∴AB=CD=4cm，AB∥CD，BC=AD=7cm，
∴∠ABE=∠F，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBC，
∴∠FBC=∠F，
∴CF=BC=7cm，
∴DF=FC-CD=7-4=3cm；
故答案为：3.
【分析】由平形四边形的性质可得AB=CD=4cm，AB∥CD，BC=AD=7cm，利用平行线的性质及角平分线的定义可得∠FBC=∠F，可得CF=BC=7cm，利用DF=FC-CD即可求解.
11．如图， ABCD 的顶点C 在等边三角形BEF 的边BF 上，点A在EB 的延长线上，G为DE 的中点，连结CG.若AD=3，AB=CF=2，则CG 的长为 .
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=3，CD=AB，DC//AB.
∵AB=CF=2，
∴CD=2，BC=3，
'.BF=CF+BC=2+3=5，
∵△BEF是等边三角形，
∴BF =BE=5，∠CBE =60°，
∵G为DE的中点，
∴DG= EG，
如图，延长CG交BE于点H，
∵DC//AB，
∴∠CDG = ∠HEG
∵∠DGC和∠EGH为对顶角，
∴∠DGC= ∠EGH，
在△DCG和△EHG中，
∠CDG = ∠HEG
DG =EG
∠DGC = ∠EGH
∴△DCG ≌ △EHG (ASA)，
∴DC=EH，CG = HG，
∵CD=2，BE=5，
∴HE=2，BH=3，
∴∠CBH = 60°，BC=BH =3，
∴△CBH是等边三角形，
∴CH=BC=3，
∴CG =
故答案为：
【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质可算出BF和BE的长，然后延长CG交BE于点H，根据DC//AB，求出∠CDG = ∠HEG，根据全等三角形的判定定理得出△DCG ≌△EHG (ASA)，求得DC=EH和CG=HG，最后根据等边三角形的判定定理得出△CBH是等边三角形，从而即可得出CG=
12．如图，在 ABCD中，BC=2AB，E 为BC的中点，则∠AED= °.
【答案】90
【知识点】平行线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形.
∴AB//CD，AD//BC.
∴∠B+∠C=180°，∠BAD+∠CDA=180°.
又∵BC=2AB，E 为BC的中点.
∴AB=BE，CD=CE.
∴∠BAE=∠AEB，∠DEC=∠CDE.
∵AD//BC.
∴∠DAE=∠AEB，∠ADE=∠DEC.
∴∠BAE=∠DAE=∠BAD，∠ADE=∠CDE=∠CDA.
∵∠BAD+∠CDA=180°.
∴∠EAD+∠EDA=180°÷2=90°.
∴∠AED=180°-90°=90°.
故答案为：90°
【分析】首先根据平行四边形对边平行得出∠B+∠C=180°，∠BAD+∠CDA=180°，然后根据BC=2AB，E 为BC的中点，判断出∠BAE=∠AEB，∠DEC=∠CDE，再根据AD//BC得出∠DAE=∠AEB，∠ADE=∠DEC，由此即可得出∠BAE=∠DAE=∠BAD，∠ADE=∠CDE=∠CDA，最后根据∠BAD+∠CDA=180°，即可求出∠AED的度数.
三、解答题
13．（2017八下·武清期中）如图，AC是 ABCD的对角线，∠BAC=∠DAC．
（1）求证：AB=BC；
（2）若AB=2，AC=2 ，求 ABCD的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC
（2）解：连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC= AC= ，OB=OD= BD，
∴OB= = =1，
∴BD=2OB=2，
∴ ABCD的面积= AC BD= ×2 ×2=2 ．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠DAC=∠BCA，再由已知条件得出∠BAC=∠BCA，即可得出AB=BC；（2）连接BD交AC于O，证明四边形ABCD是菱形，得出AC⊥BD，OA=OC= AC= ，OB=OD= BD，由勾股定理求出OB，得出BD， ABCD的面积= AC BD，即可得出结果．
14．（2023八下·增城期末）如图，在平行四边形中，已知．
（1）尺规作图：延长，并在延长线上截取，连接交于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，求平行四边形的周长．
【答案】（1）解：如图所示，根据题意作图如下，
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形的周长为．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论.
15．（2020八下·惠来期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作直线EF⊥AB，分别交AB，CD于点E，F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）若AC＝18，EF＝10，求AE的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ，OA＝OC，
∴∠FCO＝∠OAE，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥CD，
∴∠CFO＝∠AEO＝90°，
∴△FCO≌△EAO（AAS），
∴OE＝OF；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝9，
∵OE＝OF，
∴OE＝5，
∴AE＝ ．
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）先求出 ∠FCO＝∠OAE， 再利用AAS证明 △FCO≌△EAO ，最后作答求解即可；
（2）根据平行四边形求出 OA＝OC＝9， 再求出 OE＝5， 最后利用勾股定理计算求解即可。
16．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB=AC=BD，M为BC的中点，N为线段AM上的点，且MB=MN.
（1）求证：BN平分∠ABE.
（2）连结DN，若BD=1，四边形DNBC为平行四边形，求线段BC的长.
【答案】（1）证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB，
∵M是BC的中点，
∴AM⊥BC，
在Rt△ABM和Rt△CBE中，∠MAB+∠ABC=90°，∠ACB+∠EBC=90°，
∴∠MAB=∠EBC，
∵MB=MN，
∴△MBN是等腰直角三角形，
∴∠MNB=∠MBN=45°，
∵∠EBC+∠NBE=∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°，
∴∠NBE=∠ABN，即BN平分∠ABE；
（2）解：设BM=CM=MN=a，
∵四边形DNBC是平行四边形，
∴DN=BC=2a，
在△ABN和△DBN中
∴△ABN≌△DBN（SAS）
∴AN=DN=2a，
在Rt△ABM中，由勾股定理可得AM2+BM2=AB2，
即（2a+a）2+a2=1，解得：a=，或a=-(舍去），
∴BC=2a=.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；平行四边形的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)由等边对等角可得∠ABC=∠ACB，根据等腰三角形的三线合一可得AM⊥BC，由同角的余角相等可得∠MAB=∠EBC，于是可得△MBN是等腰直角三角形，结合角的构成可求解；
（2）设BM=CM=MN=a，由题意用边角边可证△ABN≌△DBN，由全等三角形的性质可得AN=DN=2a，在Rt△ABM中，由勾股定理可得关于a的方程，然后由BC=2a可求解.
17．在□ABCD 中，∠ABC = 45°，对角 线 AC ⊥CD.
（1）如图1，若 AD=6，求□ABCD的面积.
（2）如图2，连结 BD交 AC 于点O，过点 A 作AE⊥BD于点 E，连结 EC.求证：ED=AE+EC.
【答案】（1）解：∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∵∠ABC=45°，平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABC=∠D=∠DAC=45°，
∴AC=CD，
∵AC2+CD2=AD2即2AC2=36，
∴AC2=18，
∴平行四边形ABCD的面积为AC2=18
（2）证明：过点C作CF⊥CE交BD于点F，
∴∠ECF=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠ACD=∠AED=90°，
∴∠ACF+∠FCD=∠ACF+∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠FCD，
∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵∠ABD+∠BAE=∠BAE+∠EAC=90°，
∴∠ABE=∠EAC=∠CDF，
在△ACE和△DCF中
∴△ACE≌△DCF（SAS），
∴CE=CF，DF=AE
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF2=CE2+CF2=2CE2，
∴，
∵DE=EF+DF，
∴
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠ACD=90°，利用平行四边形的性质及平行线的性质可证得AC=CD，利用勾股定理求出AC2的值，即可求出平行四边形ABCD的面积.
（2）过点C作CF⊥CE交BD于点F，利用垂直的定义和余角的性质可推出∠ACE=∠FCD，∠ABE=∠EAC=∠CDF，利用SAS证明△ACE≌△DCF，利用全等三角形的性质可证得CE=CF，DF=AE，可推出△CEF是等腰直角三角形，利用勾股定理可证得，然后根据DE=EF+DF，可证得结论.
18．（2023八下·乾安期末）如图①，在平行四边形ABCD中， AB=3，AD=6．动点P沿AD边以每秒个单位长度的速度从点A向终点D ．设点P运动的时间为t（t＞0）秒．
（1）线段PD的长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当CP平分∠BCD时，求t的值．
（3）如图②，另一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发，在CB上往返运动．P、Q两点同时出发，点Q也随之停止运动．当以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出t的值．
【答案】（1）
（2）解：在 ABCD中，AD∥BC，
∴∠DPC＝∠BCP，
∵CP平分∠BCD，
∴∠BCP＝∠DCP，
∴∠DPC＝∠DCP，
∴DP＝DC＝3，
∴，
∴t＝6；
（3）解：t的值为或8或．
【知识点】角平分线的性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）由题意可得AP=t，
∴PD=AD-AP=，
故答案为：．
（3）∵以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形，BQ∥PD，
∴PD=BQ，当点Q没有到达点B时，6-t=6-2t，
∴t=0（不合题意舍去），
当点Q到达点B后，返回时，6-t=2t-6，
∴t=，
当点Q到达点C后，返回时，6-t=6×3-2t，
∴t=8，
当点Q第二次到达点B后，6-t=2t-18，
∴t=，
综上所述：t的值为或8或．
【分析】（1）由题意可得AP=t，根据PD=AD-AP，即可求解．
（2）由平行线的性质和角平分线的性质即可求解；
（3）利用平行四边形的性质，分三种情况讨论，分别列出一元一次方程，解方程可求解．
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