【培优卷】2024年北师大版数学八（下）6.2平行四边形的判定 同步练习
一、选择题
1．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF，CE，有下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③DE=BF；④图中共有10对全等三角形.其中正确的是（ ）
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴OA=OC，OB=OD，DC=AB，DC∥AB，
∴∠CDF=∠ABE，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CD，∠DFC=∠AEB=90°，
在△CDF和△ABE中
∴△CDF≌△ABE（AAS），
∴CF=AE，DF=BE，故①正确；
∴DE=BF，故③正确；
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴OE=OF，AF=CE，故②正确；
在△COF和△AOE中
∴△COF≌△AOE（SAS），同理可证△AOF≌△COE，△DOC≌△AOB，△AOD≌△COB，
在△CFE和△AEF中
∴△CFE≌△AEF（SSS）
同理可证△CFA≌△AEC，△ABD≌△CDB，△ADC≌△CBA，△CBF≌△ADE，△ADF≌△CBE，△ABF≌△CDE，
一共有12对全等三角形，故④错误；
综上所述，正确结论的序号为①②③ .
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得OA=OC，OB=OD，DC=AB，DC∥AB，∠CDF=∠ABE，利用垂直的定义可知AE∥CD，∠DFC=∠AEB=90°，利用AAS证明△CDF≌△ABE，可证得CF=AE，DF=BE，可对①作出判断；同时可证得DE=BF，可对③作出判断；利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AFCE是平行四边形，利用平行四边形的性质可推出OE=OF，AF=CE，可对②作出判断；利用SAS证明△COF≌△AOE，同理可证△AOF≌△COE，△DOC≌△AOB，△AOD≌△COB；利用SSS可知△CFE≌△AEF，同理可证△CFA≌△AEC，△ABD≌△CDB，△ADC≌△CBA，△CBF≌△ADE，△ADF≌△CBE，△ABF≌△CDE，可对④作出判断；综上所述，可得到正确结论的序号.
2．（2022八下·扬州期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∵AM∥CF，
∴∠AOE＝∠BHC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴AB＝AE＝5，
又∵∠AOE＝90°，
∴BO＝OE＝3，
∴，
在△ABO和△MBO中，
，
∴△ABO≌△MBO（ASA），
∴AO＝OM＝4，
∴AM＝8，
∵AD∥BC，AM∥CF，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴CF＝AM＝8.
故答案为：B.
【分析】设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，由平行四边形的性质以及平行线的性质得∠ABC+∠DCB+180°，根据角平分线的概念得∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，则∠CBE+∠BCF＝90°，根据平行线的性质得∠AOE＝∠BHC＝90°，∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，则AB＝AE＝5，利用勾股定理求出AO，证明△ABO≌△MBO，得到AO＝OM＝4，则AM＝8，推出四边形AMCF是平行四边形，据此解答.
3．（2021八下·江油期末）如图，已知点D是等边三角形ABC中BC的中点，BC＝2，点E是AC边上的动点，则BE＋ED的和最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE＋ED的最小值，
∵B、B′关于AC的对称，△ABC是等边三角形
∴AC、BB′互相垂直平分，
∴四边形ABCB′是平行四边形，
∵三角形ABC是边长为2的等边三角形，且D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD＝，BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝2，
作B′G⊥BC的延长线于G，
∴B′G＝AD＝，
在Rt△B′BG中，BG＝，
∴DG＝BG BD＝3 1＝2，
在Rt△B′DG中，B'D＝.
故BE＋ED的最小值为.
故答案为：B.
【分析】作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE＋ED的最小值，然后根据等边三角形的性质求出AD长，在Rt△B′BG中，根据勾股定理求出BG，最后在Rt△B′DG中，根据勾股定理求B'D，即可解答.
4．（2023八下·肃宁期中）现有一张平行四边形纸片，，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点，使得四边形为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对
C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：甲：∵四边形ANCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
由作图知：BM=BA，DN=CD，
∴BM=DN，
∴CM=AN，
∵CM∥AN，
∴ 四边形为平行四边形 ，故甲正确；
乙：∵四边形ANCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAM=∠BMA，∠DNC=∠BCN，
由作图知：AM平分∠BAD，CN平分∠BCD，
∴∠BAM=∠DAM，∠DCN=∠BCN，
∴∠BAM=∠BMA，∠DNC=∠DCN，
∴AB=BM，CD=DN，
∴BM=DN，
∴CM=AN，
∵CM∥AN，
∴ 四边形为平行四边形 ，故乙正确；
故答案为：C.
【分析】根据作图及平行四边形的性质可推出CM=AN，CM∥AN，根据一组对边平行且相等可证四边形为平行四边形，据此逐一判断即可.
5．（2023八下·滨江期中）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．17 C．13 D．10
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BEC=∠FCE，
∵点Q是CE的中点，
∴CQ=EQ，
在△BEQ和△FCQ中，
∵∠BQE=∠FQC，EQ=CQ，∠BEQ=∠FCQ，
∴△BEQ≌△FCQ（ASA），
∴BE=CF，
又∵BE∥CF，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴S△BEF=2S△BQC=14cm2，
∵AB-BE=CD-CF，即AE=FD，
又∵AE∥FD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴S△PEF=S△APD=3cm2，
∴阴影部分的面积为=S△BEF+S△PEF=17cm2.
故答案为：B.
【分析】连接EF，如图，先根据平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明△BEQ≌△FCQ，得到BE=CF，则可判定四边形BCFE为平行四边形，根据平行四边形的性质得到SBEF=2S△BQC =14cm2，接着证明四边形ADFE为平行四边形，所以S△PEF=S△APD=3cm2，然后计算S△BEF+S△PEF得到阴影部分的面积.
6．（2021八下·慈溪期中）如图，已知 OABC的顶点A，C分别在直线 和 上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC.
∵直线x=1与直线x=4均垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM，
∴∠OAF=∠BCD.
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC.
在△OAF和△BCD中，∠FOA=∠DBC，OA=BC，∠OAF=∠BCD，
∴△OAF≌△BCD，
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴OB=.
由于OE的长不变，所以当BE最小时，OB取得最小值，最小值为OB=OE=5.
故答案为：C.
【分析】过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，易得四边形ANCM是平行四边形，进而推出∠FOA=∠DBC，然后证明△OAF≌△BCD，求出OE的值，由OB=知BE最小时，OB取得最小值，据此解答即可.
7．（2023八下·吉安期末）如图，在△ABC中，，，，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①；②四边形AEFD是平行四边形；③；④．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴AB2+AC2=32+42=52=BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△BCF、△ACE、△ABD是等边三角形，
∴AC=CE=AE，BC=CF，∠BCF=∠ACE=60°，AD=AB，
∴∠ACB=∠ECF，
∴△ACB≌△ECF（SAS），
∴EF=AB=AD=3，
同理可证：△BDF≌△BAC，
∴DF=AC=AE=4，
∴ 四边形AEFD是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE=∠DAE，
∵∠DAE=360°-∠DAB-∠EAC-∠BAC=360°-60°-60°90°=150°，
∴∠DFE=150°，故③正确；
∴∠FDA=30°，
如图，过点A作AH⊥DF，
∵AD=AB=3，
∴AH=AD=，
∴平行四边形AEFD的面积为DF·AH=4×=6，故④正确，
∴ 正确的个数是4；
故答案为：D.
【分析】由AB2+AC2=32+42=52=BC2，可得∠BAC=90°，故①正确；△ACB≌△ECF（SAS），△BDF≌△BAC（SAS），可得EF=AB=AD=3，DF=AC=AE=4，根据两组对边分别相等可证四边形AEFD是平行四边形，故②正确；利用平行四边形的性质可得∠DFE=∠DAE，由周角的定义求出∠DAE=150°，即得∠DFE=150°，故③正确；从而可得∠FDA=30°，利用直角三角形的性质求出DF边上的高，根据平行四边形的面积公式求出平行四边形AEFD的面积，即可判断④.
8．（2023八下·辛集期末） 如图，在 中，点，是对角线上的两个点，且，连接，求证：．
证法：如图，在 中，，， ． 又， ≌， ， ， 即，． 证法：如图，连接交于点，连接，． 在 中，，． 又， ，即． 四边形是平行四边形， ．
下列说法错误的是（ ）
A．证法中证明三角形全等的直接依据是
B．证法中用到了平行四边形的对角线互相平分
C．证法和证法都用到了平行四边形的判定
D．证法和证法都用到了平行四边形的性质
【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】方法一：利用边角边证明两三角形全等 ，对应角相等，然后等角的补角相等，内错角相等两直线平行；
方法二：利用平行四边形的性质及已知AE=CF，再次论证四边形DEBF是平行四边形，利用平行四边形的边所具有的性质判定平行。
故C正确，A、B、D错误。
故答案为： C
【分析】论证两直线平行，思考用平行线的判定结合图形可知利用内错角相等两直线平行；也可以论证四边形DEBF是平行四边形对边平行来论证。
二、填空题
9．（2023八下·光明期中）如图，中，，若D，E是边上的两个动点，F是边上的一个动点，，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点C作AB的对称点C1，连接CC1，交AB于点N，过点C作C1C2//AB，且CC2=，过点C2作C2F⊥AC于点F，交AB于E，C2F的长度即为所求的最小值，
∵C1C2//DE，C1C2=DE，
∴四边形C1DEC2是平行四边形，
∴C1D= C2E，
又∵C，C1关于AB对称，
∴CD= C1D，
∴CD+EF= C2F，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴AC = BC = ，
∴，，
过点C2作C2M⊥AB，则C2M=C1N =CN =，
∴C2M//C1N， C1C2//MN，
∴MN = C1C2 =，
∵∠MEC2 = ∠AEF，∠AFE= ∠C2ME =90°，
∴∠MC2E=∠A=30°，
∴ME=1，C2M=，C2E= 2，
∴AE=AN-MN-ME=3--1=2-，
∴EF=1-，
∴C2F=3-，
即CD+EF的最小值为3-，
故答案为：3-.
【分析】利用平行四边形的判定方法求出四边形C1DEC2是平行四边形，再求出EF=1-，最后计算求解即可。
10．（2023八下·富县期末）如图，在菱形中，线段在对角线上运动，，，，则周长的最小值为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作AH ∥BD，且使得AH=EF=1，连接CH交BD于点F，连接AC，
∵AH=EF，AH∥BD，
∴四边形EFHA是平行四边形，
∴EA=FH ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC，BD互相垂直平分，
∴FA=FC，
∴AE+AF=FH+CF=CH，
则AE+AF的值最小，即△AEF的周长最小；
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AC⊥BD，△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2，
∵AH∥BD，
∴AC⊥AH，
在中，由勾股定理得，
，
∴AE+AF的最小值为，
∴△AEF的周长最小值为.
故答案为：.
【分析】由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形EFHA是平行四边形，由平行四边形的对边相等得EA=FH ，根据菱形的对称性得FA=FC，则AE+AF=FH+CF=CH，则AE+AF的值最小，即△AEF的周长最小；再根据菱形的性质及平行线的性质证得AC⊥AH，判断出△ABC是等边三角形，最后利用勾股定理可得答案.
11．（2023八下·济南高新技术产业开发期末）如图，在中，点E，F分别是，边的中点，延长至点，使，以，为边向外构造，连接交于点，连接．若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接、，
四边形是平行四边形，
，，
点，分别是，边的中点，
，
四边形，是平行四边形，
，，四边形是平行四边形，
，
，
，
是等边三角形，
，，
、、三点共线，
，
，
在和中
，
，
，
，，
，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的判定定理及性质，等边三角形的判定定理及性质，全等三角形的判定定理及性质，勾股定理即可求出答案。
12．（2024八下·道县月考）在四边形中，现给出下列结论：
①若，，则四边形是平行四边形；②若，，则四边形是平行四边形；③若，，则四边形是平行四边形；④，，则四边形是平行四边形．
其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】②③
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】①因为一组对边平行，另一组对边相等可以是平行四边形，也可以是等腰梯形，所以①错误；
②因为两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以②正确；
③∵
∴
∵
∴
∴
∴四边形是平行四边形
因此③正确；
④作，连接，
过点作于，在上截取，连接，
∵，，
∴，
将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
由作图可知：，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
显然，图中的四边形不是平行四边形．
所以④错误；
故答案为：②③．
【分析】由于符合题目的已知条件的除了平行四边形之外，还有等腰梯形，故①错误；因为两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以②正确；根据，可得，又由于，可判定，再依据平行四边形的定义可得结论；过点作于，在上截取，连接，根据线段垂直平分线性质可得出，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，再结合平行四边形的性质，可证出，，这样的四边形满足题目已知条件，但不符合命题的结论，不是平行四边形，即可判断④
三、实践探究题
13．（2023八下·丰顺期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=6cm，BE是∠ABC的角平分线，点M从点E出发，沿ED方向以1cm/s的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线CB方向以4cm/s的速度运动，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t(s)，
（1）求AE的长；
（2）是否存在以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
（3）当 时，线段NM将平行四边形ABCD面积二等分(直接写出答案)”
【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
（2）解：存在
由（1）知，，
，
，
由运动知，，，
，要使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，只要，
当点在边上时，，
，
-当点在边的延长线上时，，
，
，
或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形
（3）t=1
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】（3）理由如下（只供解题参考）
解：如图，
连接交于，
线段将平行四边形面积二等分，
必过的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
由运动知，，，
，，
，
，
时，线段将平行四边形面积二等分，
故答案为：t=1.
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得∠ABE=∠AEB，由等角对等边得AE=AB，结合已知AE=AB可求解；
（2）存在；理由如下：由（1）知：AE的值，由线段的构成DE=AD-AE可求得DE的值，由“路程=速度×时间”可将EM、CN用含t的代数式表示出来，根据平行四边形的性质“平行四边形的对边相等”得EM=BN可得关于t的方程，由题意可分两种情况：
当点N在边BC上时，BN=BC-CN，可得关于t的方程，解方程可求解；
当点N在边CB的延长线上时，BN=CN-BC，可得关于t的方程，解方程可求解；
（3）根据题意“线段MN将平行四边形ABCD面积二等分”可列方程求解.
14．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．
（1）若点D是BC边的中点(如图①) ，求证：EF=CD．
（2）在(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比．
（3）若点D是BC边上的任意一点(除B，C外，如图②) ，那么(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【答案】（1）证明： ∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，且∠ BAD=∠BAC= 30°．
∵△AED是等边三角形， ∴AD=AE，∠ADE= 60°，
∴∠EDB= 90°-∠ADE= 90° -60° = 30°．
∵ED∥CF，∴∠FCB=∠EDB=30°．
∵ ∠ACB=60°，∴∠ACF=∠ACB- C FCB= 30°，
∴∠ACF= ∠ BAD= 30°．
在△ABD和△CAF中，
∴△ABD≌∴CAF(ASA) ，∴AD=CF．
∵AD= ED，∴ED= CF．
又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD．
（2）解：△AEF和△ABC的面积比为1 ： 4.
（3）解：成立．证明：∵ED∥ FC，∴∠EDB= CFCB． ．
∵∠AFC=∠B+∠BCF= 60°+∠BCF，∠BDA= ∠ADE+∠EDB= 60°+∠EDB，∴∠AFC=∠BDA．
在△ABD和△CAF中，
△ABD≌△CAF(AAS)，∴AD=FC．∵AD=ED，．． ED= CF．
又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：（2）易知 AF=BF，延长EF交AD于点H，S△AEF=EF·AH=·CB·AD=
【分析】（1）要证EF=CD，可证出四边形EDCF是平行四边形，而已知CF∥DE，所以只需要证出ED=CF即可，根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，CF∥DE，求证△ABD≌△CAF，则AD=CF，而AD=ED，所以ED=CF；
（2）由△ABD≌△CAF，得知AF=BD，因为D是BC的中点，三角形ABC是等边三角形，所以E也是AB的中点，将EF延长后，AH=AD，而BF=BC，从而可得出答案；
（3）根据ED∥FC，结合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=CD．
15．（2023八下·榕城期末）在□ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；
②求证：CD＝CH．
【答案】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，
∴，BO＝DO，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△BOE与△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴DF＝BE，
又∵，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：①如图，过点D作DN⊥EC于点N，
∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4，
∴EN＝CN＝2，
∴DN＝＝＝4，
∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，
∴∠DBC＝∠BDN＝45°，
∴DN＝BN＝4，
∴BE＝BN-EN＝4；
②∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，
∴∠EDN＝∠ECG，
∵DE＝DC，DN⊥EC，
∴∠EDN＝∠CDN，
∴∠ECG＝∠CDN，即∠BCH＝∠CDN，
∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，
∴∠CDB＝∠DHC，
∴CD＝CH．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，由平行线的性质得∠ADB=∠CBD，通过“ASA”证明△BOE≌△DOF，得DF＝BE，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）①过点D作DN⊥EC于点N，由等腰三角形的三线合一得EN=CN=2，根据勾股定理求得DN，由等腰直角三角形得BN=DN，进而根据线段和差即可求出答案；
②根据DN⊥EC，CG⊥DE，根据直角三角形的两锐角互余及同角的余角相等得∠EDN=∠ECG，由等腰三角形的三线合一得∠EDN＝∠CDN，则∠ECG＝∠CDN，即∠BCH＝∠CDN，进而根据三角形外角性质及角的和差可求出∠CDB=∠DHC，由等角对等边得出CD＝CH.
16．（2023八下·雅安期末）如图1，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F．
（1）试探究四边形的形状，并说明理由；
（2）如图2，连接，若，求的长；
（3）如图3，连接，将沿直线翻折得到，其中点A、B的对应点分别为点C、G，恰好有，垂足为点N，交于点M．
①试探究的形状，并说明理由；
②若，求的长．
【答案】（1）解：四边形是平行四边形，理由：
∵平分，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴
∴
同理：
∵，
∴
∴四边形是平行四边形；
（2）解：过点A作于点P，
∵
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
，
∵四边形是平行四边形
设则
∴
在
∴
；
（3）解：①是等腰直角三角形，理由：
∵分别平分
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
∴
∵
由翻折可知
∴
∵
由
∵
∴
是等腰直角三角形；
②过点D作交的延长线于点S，过点A作于点Q，过点E作于点T，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴和是等腰直角三角形，
设
∴
在
∴
在
∴
∴
在
∴
∴
∵
∴
∵，
∴，
在
∴
∴
∵
．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得出，同理可得 ，进而证明四边形是平行四边形；
（2）过点A作于点P，证明四边形是平行四边形，得出 ，设则在根据勾股定理即可求解；
（3）①翻折可知即可得出是等腰直角三角形；
②过点D作交的延长线于点S，过点A作于点Q，过点E作于点T，可得和是等腰直角三角形，设在得出进而得出，在 根据勾股定理，即可求解．
17．（2022八下·深圳期末）【问题背景】
某“数学学习兴趣小组”在学习了“等腰三角形的性质”和“平行四边形的性质和判定”后，在习题中发现了这样一个问题：如图1，在等腰中，，点D、E分别是边上的点，点P是底边上的点，且，过点B作于点F，请写出线段、、之间满足的数量关系式．
同学们经过交流讨论，得到了如下两种解决思路：
解决思路1：如图2，过点P作于点G；
解决思路2：如图3，过点B作，交的延长线于点H；
（1）上述两种解决思路都可以证明一组三角形全等，判定一个四边形为平行四边形，从而可证得线段之间满足的数量关系式为 ．
（2）【类比探究】
如图4，在等腰中，，点D、E分别是边上的点，点P是底边上的点，且，过点B作交于点F，请写出线段之间满足的数量关系式，并说明理由．
（3） 【拓展应用】
如图5，在与中，，，点A、B、P在同一条直线上，若，，则 ．
【答案】（1）PD+PE=BF
（2）解：PD+PE=BF，理由如下：
过点P作PM∥AC，
∵，
∴四边形PEFM是平行四边形，
∴PE=MF，∠PMB=∠MFE=∠PEC，
∴∠PDB=∠PMB，
∵AB=AC，
∴∠DBP=∠C=∠BPM，
∵PB=PB，
∴△BDP≌△PMB，
∴PD=BM，
∴PD+PE=BM+MF，即PD+PE=BF；
（3）1+
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：(1)PD+PE=BF，理由：
图2：∵BF⊥AC，PG⊥BF，
∴∠PGF=∠GFE=∠PEF=90°，
∴四边形PGFE是矩形，PG∥EF，
∴PE=GE，
∵AB=AC，
∴∠DBP=∠C=∠GPB，
∵∠BDP=∠BGP=90°，BP=BP，
∴△BDP≌△PGB，
∴BG=DP，
∴DP+PE=BG+GF，即PD+PE=BF；
图3：∵，BF⊥AC，
∴∠H=∠BFE=∠PEF=90°，
∴四边形HBFE是矩形，
∴BF=HE，BH∥EF，
∵AB=AC，
∴∠DBP=∠C=∠CBH，
∵∠BDP=∠H=90°，BP=BP，
∴△BDP≌△BHP，
∴PD=PH，
∴PH+PE=PD+PE，即PD+PE=BF；
故答案为：PD+PE=BF；
(3)延长DP至点N，使PN=PC=2，
∵，
∴∠APN=∠APC，
∵AP=AP，
∴△APC≌△APN，
∴∠PAN=∠PAC=75°，
∵∠ABD=75°，
∴∠PAN=∠ABD，
∴AN∥BD，
过点N作NQ∥AB，交BD的延长线于Q，则四边形ABQN是平行四边形，
∴NQ=AB=6，∠PNQ=∠DPB=60°，∠NQB=∠PBD=75°，
过Q作QR⊥ND于点R，
∴∠NQR=30°，
∴NR=NQ=3，
∴PR=1，RQ=，
∵∠RQD=75°-30°=45°，
∴∠D=45°，
∴RD=RQ=，
∴PD=RP+RD=1+，
故答案为：1+．
【分析】（1）根据平行四边形的性质求解即可；
（2）先求出 四边形PEFM是平行四边形， 再求出 ∠DBP=∠C=∠BPM， 最后求解即可；
（3）结合图形，利用全等三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。
1 / 1【培优卷】2024年北师大版数学八（下）6.2平行四边形的判定 同步练习
一、选择题
1．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连结AF，CE，有下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③DE=BF；④图中共有10对全等三角形.其中正确的是（ ）
A．③④ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
2．（2022八下·扬州期中）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，∠ABC和∠BCD的角平分线分别交AD于点E和F，若BE＝6，则CF＝（ ）
A．6 B．8 C．10 D．13
3．（2021八下·江油期末）如图，已知点D是等边三角形ABC中BC的中点，BC＝2，点E是AC边上的动点，则BE＋ED的和最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
4．（2023八下·肃宁期中）现有一张平行四边形纸片，，要求用尺规作图的方法在边，上分别找点，使得四边形为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（ ）
A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对
C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对
5．（2023八下·滨江期中）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（ ）
A．24 B．17 C．13 D．10
6．（2021八下·慈溪期中）如图，已知 OABC的顶点A，C分别在直线 和 上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2023八下·吉安期末）如图，在△ABC中，，，，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①；②四边形AEFD是平行四边形；③；④．正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2023八下·辛集期末） 如图，在 中，点，是对角线上的两个点，且，连接，求证：．
证法：如图，在 中，，， ． 又， ≌， ， ， 即，． 证法：如图，连接交于点，连接，． 在 中，，． 又， ，即． 四边形是平行四边形， ．
下列说法错误的是（ ）
A．证法中证明三角形全等的直接依据是
B．证法中用到了平行四边形的对角线互相平分
C．证法和证法都用到了平行四边形的判定
D．证法和证法都用到了平行四边形的性质
二、填空题
9．（2023八下·光明期中）如图，中，，若D，E是边上的两个动点，F是边上的一个动点，，则的最小值为 ．
10．（2023八下·富县期末）如图，在菱形中，线段在对角线上运动，，，，则周长的最小值为 ．
11．（2023八下·济南高新技术产业开发期末）如图，在中，点E，F分别是，边的中点，延长至点，使，以，为边向外构造，连接交于点，连接．若，，则的长为 ．
12．（2024八下·道县月考）在四边形中，现给出下列结论：
①若，，则四边形是平行四边形；②若，，则四边形是平行四边形；③若，，则四边形是平行四边形；④，，则四边形是平行四边形．
其中正确的结论是 ．（写出所有正确结论的序号）
三、实践探究题
13．（2023八下·丰顺期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=6cm，BE是∠ABC的角平分线，点M从点E出发，沿ED方向以1cm/s的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线CB方向以4cm/s的速度运动，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为t(s)，
（1）求AE的长；
（2）是否存在以M、E、B、N为顶点的四边形是平行四边形 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
（3）当 时，线段NM将平行四边形ABCD面积二等分(直接写出答案)”
14．如图，△ABC是等边三角形，点D是边BC上的一点，以AD为边作等边△ADE，过点C作CF∥DE交AB于点F．
（1）若点D是BC边的中点(如图①) ，求证：EF=CD．
（2）在(1)的条件下直接写出△AEF和△ABC的面积比．
（3）若点D是BC边上的任意一点(除B，C外，如图②) ，那么(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
15．（2023八下·榕城期末）在□ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE如图1．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若DE＝DC，∠CBD＝45°，过点C作DE的垂线，与DE、BD、BF分别交于点G、H、P如图2．
①当CD＝6．CE＝4时，求BE的长；
②求证：CD＝CH．
16．（2023八下·雅安期末）如图1，在平行四边形中，的平分线交于点E，的平分线交于点F．
（1）试探究四边形的形状，并说明理由；
（2）如图2，连接，若，求的长；
（3）如图3，连接，将沿直线翻折得到，其中点A、B的对应点分别为点C、G，恰好有，垂足为点N，交于点M．
①试探究的形状，并说明理由；
②若，求的长．
17．（2022八下·深圳期末）【问题背景】
某“数学学习兴趣小组”在学习了“等腰三角形的性质”和“平行四边形的性质和判定”后，在习题中发现了这样一个问题：如图1，在等腰中，，点D、E分别是边上的点，点P是底边上的点，且，过点B作于点F，请写出线段、、之间满足的数量关系式．
同学们经过交流讨论，得到了如下两种解决思路：
解决思路1：如图2，过点P作于点G；
解决思路2：如图3，过点B作，交的延长线于点H；
（1）上述两种解决思路都可以证明一组三角形全等，判定一个四边形为平行四边形，从而可证得线段之间满足的数量关系式为 ．
（2）【类比探究】
如图4，在等腰中，，点D、E分别是边上的点，点P是底边上的点，且，过点B作交于点F，请写出线段之间满足的数量关系式，并说明理由．
（3） 【拓展应用】
如图5，在与中，，，点A、B、P在同一条直线上，若，，则 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，
∴OA=OC，OB=OD，DC=AB，DC∥AB，
∴∠CDF=∠ABE，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CD，∠DFC=∠AEB=90°，
在△CDF和△ABE中
∴△CDF≌△ABE（AAS），
∴CF=AE，DF=BE，故①正确；
∴DE=BF，故③正确；
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴OE=OF，AF=CE，故②正确；
在△COF和△AOE中
∴△COF≌△AOE（SAS），同理可证△AOF≌△COE，△DOC≌△AOB，△AOD≌△COB，
在△CFE和△AEF中
∴△CFE≌△AEF（SSS）
同理可证△CFA≌△AEC，△ABD≌△CDB，△ADC≌△CBA，△CBF≌△ADE，△ADF≌△CBE，△ABF≌△CDE，
一共有12对全等三角形，故④错误；
综上所述，正确结论的序号为①②③ .
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得OA=OC，OB=OD，DC=AB，DC∥AB，∠CDF=∠ABE，利用垂直的定义可知AE∥CD，∠DFC=∠AEB=90°，利用AAS证明△CDF≌△ABE，可证得CF=AE，DF=BE，可对①作出判断；同时可证得DE=BF，可对③作出判断；利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得四边形AFCE是平行四边形，利用平行四边形的性质可推出OE=OF，AF=CE，可对②作出判断；利用SAS证明△COF≌△AOE，同理可证△AOF≌△COE，△DOC≌△AOB，△AOD≌△COB；利用SSS可知△CFE≌△AEF，同理可证△CFA≌△AEC，△ABD≌△CDB，△ADC≌△CBA，△CBF≌△ADE，△ADF≌△CBE，△ABF≌△CDE，可对④作出判断；综上所述，可得到正确结论的序号.
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABC+∠DCB=180°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，
∴∠CBE+∠BCF＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∵AM∥CF，
∴∠AOE＝∠BHC＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，
∴AB＝AE＝5，
又∵∠AOE＝90°，
∴BO＝OE＝3，
∴，
在△ABO和△MBO中，
，
∴△ABO≌△MBO（ASA），
∴AO＝OM＝4，
∴AM＝8，
∵AD∥BC，AM∥CF，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴CF＝AM＝8.
故答案为：B.
【分析】设BE与FC的交点为H，过点A作AM∥FC，交BE与点O，由平行四边形的性质以及平行线的性质得∠ABC+∠DCB+180°，根据角平分线的概念得∠ABE＝∠EBC，∠BCF＝∠DCF，则∠CBE+∠BCF＝90°，根据平行线的性质得∠AOE＝∠BHC＝90°，∠AEB＝∠EBC＝∠ABE，则AB＝AE＝5，利用勾股定理求出AO，证明△ABO≌△MBO，得到AO＝OM＝4，则AM＝8，推出四边形AMCF是平行四边形，据此解答.
3．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE＋ED的最小值，
∵B、B′关于AC的对称，△ABC是等边三角形
∴AC、BB′互相垂直平分，
∴四边形ABCB′是平行四边形，
∵三角形ABC是边长为2的等边三角形，且D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD＝，BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝2，
作B′G⊥BC的延长线于G，
∴B′G＝AD＝，
在Rt△B′BG中，BG＝，
∴DG＝BG BD＝3 1＝2，
在Rt△B′DG中，B'D＝.
故BE＋ED的最小值为.
故答案为：B.
【分析】作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE＋ED的最小值，然后根据等边三角形的性质求出AD长，在Rt△B′BG中，根据勾股定理求出BG，最后在Rt△B′DG中，根据勾股定理求B'D，即可解答.
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：甲：∵四边形ANCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
由作图知：BM=BA，DN=CD，
∴BM=DN，
∴CM=AN，
∵CM∥AN，
∴ 四边形为平行四边形 ，故甲正确；
乙：∵四边形ANCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAM=∠BMA，∠DNC=∠BCN，
由作图知：AM平分∠BAD，CN平分∠BCD，
∴∠BAM=∠DAM，∠DCN=∠BCN，
∴∠BAM=∠BMA，∠DNC=∠DCN，
∴AB=BM，CD=DN，
∴BM=DN，
∴CM=AN，
∵CM∥AN，
∴ 四边形为平行四边形 ，故乙正确；
故答案为：C.
【分析】根据作图及平行四边形的性质可推出CM=AN，CM∥AN，根据一组对边平行且相等可证四边形为平行四边形，据此逐一判断即可.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：如图，连接EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠BEC=∠FCE，
∵点Q是CE的中点，
∴CQ=EQ，
在△BEQ和△FCQ中，
∵∠BQE=∠FQC，EQ=CQ，∠BEQ=∠FCQ，
∴△BEQ≌△FCQ（ASA），
∴BE=CF，
又∵BE∥CF，
∴四边形BCFE为平行四边形，
∴S△BEF=2S△BQC=14cm2，
∵AB-BE=CD-CF，即AE=FD，
又∵AE∥FD，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴S△PEF=S△APD=3cm2，
∴阴影部分的面积为=S△BEF+S△PEF=17cm2.
故答案为：B.
【分析】连接EF，如图，先根据平行四边形的性质得AB=CD，AB∥CD，再证明△BEQ≌△FCQ，得到BE=CF，则可判定四边形BCFE为平行四边形，根据平行四边形的性质得到SBEF=2S△BQC =14cm2，接着证明四边形ADFE为平行四边形，所以S△PEF=S△APD=3cm2，然后计算S△BEF+S△PEF得到阴影部分的面积.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，如图：
∵四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB=∠BCO，OC∥AB，OA=BC.
∵直线x=1与直线x=4均垂直于x轴，
∴AM∥CN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴∠MAN=∠NCM，
∴∠OAF=∠BCD.
∵∠OFA=∠BDC=90°，
∴∠FOA=∠DBC.
在△OAF和△BCD中，∠FOA=∠DBC，OA=BC，∠OAF=∠BCD，
∴△OAF≌△BCD，
∴BD=OF=1，
∴OE=4+1=5，
∴OB=.
由于OE的长不变，所以当BE最小时，OB取得最小值，最小值为OB=OE=5.
故答案为：C.
【分析】过点B作BD⊥直线x=4，交直线x=4于点D，过点B作BE⊥x轴，交x轴于点E，直线x=1与OC交于点M，与x轴交于点F，直线x=4与AB交于点N，易得四边形ANCM是平行四边形，进而推出∠FOA=∠DBC，然后证明△OAF≌△BCD，求出OE的值，由OB=知BE最小时，OB取得最小值，据此解答即可.
7．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴AB2+AC2=32+42=52=BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°，
∴AB⊥AC，故①正确；
∵△BCF、△ACE、△ABD是等边三角形，
∴AC=CE=AE，BC=CF，∠BCF=∠ACE=60°，AD=AB，
∴∠ACB=∠ECF，
∴△ACB≌△ECF（SAS），
∴EF=AB=AD=3，
同理可证：△BDF≌△BAC，
∴DF=AC=AE=4，
∴ 四边形AEFD是平行四边形，故②正确；
∴∠DFE=∠DAE，
∵∠DAE=360°-∠DAB-∠EAC-∠BAC=360°-60°-60°90°=150°，
∴∠DFE=150°，故③正确；
∴∠FDA=30°，
如图，过点A作AH⊥DF，
∵AD=AB=3，
∴AH=AD=，
∴平行四边形AEFD的面积为DF·AH=4×=6，故④正确，
∴ 正确的个数是4；
故答案为：D.
【分析】由AB2+AC2=32+42=52=BC2，可得∠BAC=90°，故①正确；△ACB≌△ECF（SAS），△BDF≌△BAC（SAS），可得EF=AB=AD=3，DF=AC=AE=4，根据两组对边分别相等可证四边形AEFD是平行四边形，故②正确；利用平行四边形的性质可得∠DFE=∠DAE，由周角的定义求出∠DAE=150°，即得∠DFE=150°，故③正确；从而可得∠FDA=30°，利用直角三角形的性质求出DF边上的高，根据平行四边形的面积公式求出平行四边形AEFD的面积，即可判断④.
8．【答案】C
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】方法一：利用边角边证明两三角形全等 ，对应角相等，然后等角的补角相等，内错角相等两直线平行；
方法二：利用平行四边形的性质及已知AE=CF，再次论证四边形DEBF是平行四边形，利用平行四边形的边所具有的性质判定平行。
故C正确，A、B、D错误。
故答案为： C
【分析】论证两直线平行，思考用平行线的判定结合图形可知利用内错角相等两直线平行；也可以论证四边形DEBF是平行四边形对边平行来论证。
9．【答案】
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示：过点C作AB的对称点C1，连接CC1，交AB于点N，过点C作C1C2//AB，且CC2=，过点C2作C2F⊥AC于点F，交AB于E，C2F的长度即为所求的最小值，
∵C1C2//DE，C1C2=DE，
∴四边形C1DEC2是平行四边形，
∴C1D= C2E，
又∵C，C1关于AB对称，
∴CD= C1D，
∴CD+EF= C2F，
∵∠A=30°，∠ACB=90°，
∴AC = BC = ，
∴，，
过点C2作C2M⊥AB，则C2M=C1N =CN =，
∴C2M//C1N， C1C2//MN，
∴MN = C1C2 =，
∵∠MEC2 = ∠AEF，∠AFE= ∠C2ME =90°，
∴∠MC2E=∠A=30°，
∴ME=1，C2M=，C2E= 2，
∴AE=AN-MN-ME=3--1=2-，
∴EF=1-，
∴C2F=3-，
即CD+EF的最小值为3-，
故答案为：3-.
【分析】利用平行四边形的判定方法求出四边形C1DEC2是平行四边形，再求出EF=1-，最后计算求解即可。
10．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作AH ∥BD，且使得AH=EF=1，连接CH交BD于点F，连接AC，
∵AH=EF，AH∥BD，
∴四边形EFHA是平行四边形，
∴EA=FH ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC，BD互相垂直平分，
∴FA=FC，
∴AE+AF=FH+CF=CH，
则AE+AF的值最小，即△AEF的周长最小；
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AC⊥BD，△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=2，
∵AH∥BD，
∴AC⊥AH，
在中，由勾股定理得，
，
∴AE+AF的最小值为，
∴△AEF的周长最小值为.
故答案为：.
【分析】由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得四边形EFHA是平行四边形，由平行四边形的对边相等得EA=FH ，根据菱形的对称性得FA=FC，则AE+AF=FH+CF=CH，则AE+AF的值最小，即△AEF的周长最小；再根据菱形的性质及平行线的性质证得AC⊥AH，判断出△ABC是等边三角形，最后利用勾股定理可得答案.
11．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接、，
四边形是平行四边形，
，，
点，分别是，边的中点，
，
四边形，是平行四边形，
，，四边形是平行四边形，
，
，
，
是等边三角形，
，，
、、三点共线，
，
，
在和中
，
，
，
，，
，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的判定定理及性质，等边三角形的判定定理及性质，全等三角形的判定定理及性质，勾股定理即可求出答案。
12．【答案】②③
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】①因为一组对边平行，另一组对边相等可以是平行四边形，也可以是等腰梯形，所以①错误；
②因为两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以②正确；
③∵
∴
∵
∴
∴
∴四边形是平行四边形
因此③正确；
④作，连接，
过点作于，在上截取，连接，
∵，，
∴，
将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，
由作图可知：，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
显然，图中的四边形不是平行四边形．
所以④错误；
故答案为：②③．
【分析】由于符合题目的已知条件的除了平行四边形之外，还有等腰梯形，故①错误；因为两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以②正确；根据，可得，又由于，可判定，再依据平行四边形的定义可得结论；过点作于，在上截取，连接，根据线段垂直平分线性质可得出，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，再结合平行四边形的性质，可证出，，这样的四边形满足题目已知条件，但不符合命题的结论，不是平行四边形，即可判断④
13．【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
（2）解：存在
由（1）知，，
，
，
由运动知，，，
，要使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，只要，
当点在边上时，，
，
-当点在边的延长线上时，，
，
，
或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形
（3）t=1
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】（3）理由如下（只供解题参考）
解：如图，
连接交于，
线段将平行四边形面积二等分，
必过的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，
由运动知，，，
，，
，
，
时，线段将平行四边形面积二等分，
故答案为：t=1.
【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得∠ABE=∠AEB，由等角对等边得AE=AB，结合已知AE=AB可求解；
（2）存在；理由如下：由（1）知：AE的值，由线段的构成DE=AD-AE可求得DE的值，由“路程=速度×时间”可将EM、CN用含t的代数式表示出来，根据平行四边形的性质“平行四边形的对边相等”得EM=BN可得关于t的方程，由题意可分两种情况：
当点N在边BC上时，BN=BC-CN，可得关于t的方程，解方程可求解；
当点N在边CB的延长线上时，BN=CN-BC，可得关于t的方程，解方程可求解；
（3）根据题意“线段MN将平行四边形ABCD面积二等分”可列方程求解.
14．【答案】（1）证明： ∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，且∠ BAD=∠BAC= 30°．
∵△AED是等边三角形， ∴AD=AE，∠ADE= 60°，
∴∠EDB= 90°-∠ADE= 90° -60° = 30°．
∵ED∥CF，∴∠FCB=∠EDB=30°．
∵ ∠ACB=60°，∴∠ACF=∠ACB- C FCB= 30°，
∴∠ACF= ∠ BAD= 30°．
在△ABD和△CAF中，
∴△ABD≌∴CAF(ASA) ，∴AD=CF．
∵AD= ED，∴ED= CF．
又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD．
（2）解：△AEF和△ABC的面积比为1 ： 4.
（3）解：成立．证明：∵ED∥ FC，∴∠EDB= CFCB． ．
∵∠AFC=∠B+∠BCF= 60°+∠BCF，∠BDA= ∠ADE+∠EDB= 60°+∠EDB，∴∠AFC=∠BDA．
在△ABD和△CAF中，
△ABD≌△CAF(AAS)，∴AD=FC．∵AD=ED，．． ED= CF．
又∵ED∥CF，∴四边形EDCF是平行四边形，∴EF=CD．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：（2）易知 AF=BF，延长EF交AD于点H，S△AEF=EF·AH=·CB·AD=
【分析】（1）要证EF=CD，可证出四边形EDCF是平行四边形，而已知CF∥DE，所以只需要证出ED=CF即可，根据△ABC和△AED是等边三角形，D是BC的中点，CF∥DE，求证△ABD≌△CAF，则AD=CF，而AD=ED，所以ED=CF；
（2）由△ABD≌△CAF，得知AF=BD，因为D是BC的中点，三角形ABC是等边三角形，所以E也是AB的中点，将EF延长后，AH=AD，而BF=BC，从而可得出答案；
（3）根据ED∥FC，结合∠ACB=60°，得出∠ACF=∠BAD，求证△ABD≌△CAF，得出ED=CF，进而求证四边形EDCF是平行四边形，即可证明EF=CD．
15．【答案】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，
∴，BO＝DO，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△BOE与△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴DF＝BE，
又∵，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：①如图，过点D作DN⊥EC于点N，
∵DE＝DC＝6，DN⊥EC，CE＝4，
∴EN＝CN＝2，
∴DN＝＝＝4，
∵∠DBC＝45°，DN⊥BC，
∴∠DBC＝∠BDN＝45°，
∴DN＝BN＝4，
∴BE＝BN-EN＝4；
②∵DN⊥EC，CG⊥DE，
∴∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，
∴∠EDN＝∠ECG，
∵DE＝DC，DN⊥EC，
∴∠EDN＝∠CDN，
∴∠ECG＝∠CDN，即∠BCH＝∠CDN，
∵∠DHC＝∠DBC+∠BCH＝45°+∠BCH，∠CDB＝∠BDN+∠CDN＝45°+∠CDN，
∴∠CDB＝∠DHC，
∴CD＝CH．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得AD∥BC，由平行线的性质得∠ADB=∠CBD，通过“ASA”证明△BOE≌△DOF，得DF＝BE，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得结论；
（2）①过点D作DN⊥EC于点N，由等腰三角形的三线合一得EN=CN=2，根据勾股定理求得DN，由等腰直角三角形得BN=DN，进而根据线段和差即可求出答案；
②根据DN⊥EC，CG⊥DE，根据直角三角形的两锐角互余及同角的余角相等得∠EDN=∠ECG，由等腰三角形的三线合一得∠EDN＝∠CDN，则∠ECG＝∠CDN，即∠BCH＝∠CDN，进而根据三角形外角性质及角的和差可求出∠CDB=∠DHC，由等角对等边得出CD＝CH.
16．【答案】（1）解：四边形是平行四边形，理由：
∵平分，
∴
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
∴
∴
同理：
∵，
∴
∴四边形是平行四边形；
（2）解：过点A作于点P，
∵
∴
∵
∴四边形是平行四边形，
，
∵四边形是平行四边形
设则
∴
在
∴
；
（3）解：①是等腰直角三角形，理由：
∵分别平分
∴
∵四边形是平行四边形，
∴
∴
∵
由翻折可知
∴
∵
由
∵
∴
是等腰直角三角形；
②过点D作交的延长线于点S，过点A作于点Q，过点E作于点T，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴和是等腰直角三角形，
设
∴
在
∴
在
∴
∴
在
∴
∴
∵
∴
∵，
∴，
在
∴
∴
∵
．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得出，同理可得 ，进而证明四边形是平行四边形；
（2）过点A作于点P，证明四边形是平行四边形，得出 ，设则在根据勾股定理即可求解；
（3）①翻折可知即可得出是等腰直角三角形；
②过点D作交的延长线于点S，过点A作于点Q，过点E作于点T，可得和是等腰直角三角形，设在得出进而得出，在 根据勾股定理，即可求解．
17．【答案】（1）PD+PE=BF
（2）解：PD+PE=BF，理由如下：
过点P作PM∥AC，
∵，
∴四边形PEFM是平行四边形，
∴PE=MF，∠PMB=∠MFE=∠PEC，
∴∠PDB=∠PMB，
∵AB=AC，
∴∠DBP=∠C=∠BPM，
∵PB=PB，
∴△BDP≌△PMB，
∴PD=BM，
∴PD+PE=BM+MF，即PD+PE=BF；
（3）1+
【知识点】三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：(1)PD+PE=BF，理由：
图2：∵BF⊥AC，PG⊥BF，
∴∠PGF=∠GFE=∠PEF=90°，
∴四边形PGFE是矩形，PG∥EF，
∴PE=GE，
∵AB=AC，
∴∠DBP=∠C=∠GPB，
∵∠BDP=∠BGP=90°，BP=BP，
∴△BDP≌△PGB，
∴BG=DP，
∴DP+PE=BG+GF，即PD+PE=BF；
图3：∵，BF⊥AC，
∴∠H=∠BFE=∠PEF=90°，
∴四边形HBFE是矩形，
∴BF=HE，BH∥EF，
∵AB=AC，
∴∠DBP=∠C=∠CBH，
∵∠BDP=∠H=90°，BP=BP，
∴△BDP≌△BHP，
∴PD=PH，
∴PH+PE=PD+PE，即PD+PE=BF；
故答案为：PD+PE=BF；
(3)延长DP至点N，使PN=PC=2，
∵，
∴∠APN=∠APC，
∵AP=AP，
∴△APC≌△APN，
∴∠PAN=∠PAC=75°，
∵∠ABD=75°，
∴∠PAN=∠ABD，
∴AN∥BD，
过点N作NQ∥AB，交BD的延长线于Q，则四边形ABQN是平行四边形，
∴NQ=AB=6，∠PNQ=∠DPB=60°，∠NQB=∠PBD=75°，
过Q作QR⊥ND于点R，
∴∠NQR=30°，
∴NR=NQ=3，
∴PR=1，RQ=，
∵∠RQD=75°-30°=45°，
∴∠D=45°，
∴RD=RQ=，
∴PD=RP+RD=1+，
故答案为：1+．
【分析】（1）根据平行四边形的性质求解即可；
（2）先求出 四边形PEFM是平行四边形， 再求出 ∠DBP=∠C=∠BPM， 最后求解即可；
（3）结合图形，利用全等三角形的判定与性质，勾股定理计算求解即可。
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