湖南省示范高中2009年高二下学期期末考试数学试卷(理科)

2009年高二下学期期末考试
数学试卷(理科)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.时间120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必将姓名、班级、准考证号填写在答卷规定的位置上．
2．必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答，答案必须写在答卷各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效．
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2．若，其中a、b∈R，i是虚数单位，则= ( )
A． B． C． D．
3．在平行四边形ABCD中，BD为一条对角线，若， (－3,－5）则( )
A．（－2，－4） B．(1,3) C．（3，5） D．（2，4）
4．定义两种运算：为（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．奇函数且为偶函数 D．非奇函数且非偶函数
5．在满足所表示的平面区域内任取一个点，则该点落在曲线上方的概率是 （ ）
A． B． C． D．
6．设则中偶数的个数为( )
A．2 B．5 C．6 D．7
7．以下有关命题的说法错误的是 （ ）
A．命题“若则x=1”的逆否命题为“若”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若为假命题，则p、q均为假命题
D．对于命题
8．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为，已知他投篮一次得分的期望是2，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 （非选择题，共110分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答卷对应题号后的横线上.
9．函数的零点个数为 .
10．在中,分别为内角所对的边，且.现给出三个条件：①； ②；③.试从中选出两个可以确定的条件，并以此为依据求的面积.(只需写出一个选定方案即可)你选择的条件是 ;(用序号填写)由此得到的的面积为 .
11. 从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为 .
12．函数 HYPERLINK "http://www./" 在上单调递增，则实数a的取值
范围为_________．
13．下左程序运行后输出的结果为_________, ______ ( http: / / wxc. / )
14．观察下列等式：；…，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n的等式，这个等式可以表示为 ．
15．在直角坐标系中，已知曲线的参数方程是（是参数），若以为极点，轴的正半轴为极轴，则曲线的极坐标方程可写为________________.
三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）若点()为函数与的图象的公共点，试求实数的值；
（2）设是函数的图象的一条对称轴，求的值;
(3)求函数的值域。
17. （本小题满分12分）
某中学设计一项综合学科的考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取三道题，按照题目要求独立完成全部实验操作，已知在6道备选题中，考生甲有4道题能正确完成，两道题不能正确完成；考生乙每道题正确完成的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响。
（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列；
（2）分别求甲、乙两考生正确完成题数的数学期望 .
18.（本小题满分12分）
已知几何体A—BCED的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
（1）求此几何体的体积V的大小;
（2）求异面直线DE与AB所成角的余弦值；
（3）试探究在DE上是否存在点Q，使得AQBQ并说明理由（一、二、五中必做，其它学校选做）.
19．（本小题满分13分）
某学校要建造一个面积为10000平方米的运动场.如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直径的两个半圆组成.跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮.已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元
(1)设半圆的半径OA= (米),试建立塑胶跑道面积S与的函数关系S()
(2)由于条件限制,问当取何值时,运动场造价最低 （精确到元）
20.（本小题满分13分）
已知圆轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为 的椭圆，其左焦点为F.若P是圆O上一点，连结PF，过原点作直线PF的垂线交直线于点Q.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P的坐标为（1，1），求证：直线PQ圆O相切；
（3）试探究：当点P在圆O上运动时（不与A、B重合），直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由（一、二、五中必做，其它学校选做）。.
21.（本小题满分13分）
已知函数，数列满足：．
（1）求证：对有；
（2）求证；数列为等差数列；
（3）求证不等式：
参考答案及评分说明
一．选择题：CCBA BDCD
二．填空题：
9． 2 ；10．①②,;或①③,；11．；12．;
13．；14．;15．.
三．解答题：
16．解: (1)∵点()为函数与的图象的公共点
∴
-----------------------------------------------------------------2分
∴ ∵∴,---4分
(2)∵
∴ ∴=--------------7分
(3) ∵
∴
------------------------------------------10分
∵ ∴
∴ ∴.
即函数的值域为.--------------------------------------12分
17.解: （1）设考生甲、乙正确完成题数分别为，,则取值分别为1，2，3；取值分别为0，1，2，3。
考生甲正确完成题数的概率分布列为
1 2 3
P
考生乙正确完成题数的概率分布列为
0 1 2 3
P
（2）
另解：实际上服从二项分布， --------------12分
18. 解：（1）由该几何体的三视图知面,且EC=BC=AC=4 ，BD=1，
∴
∴．
即该几何体的体积V为16． -----------3分
（2）解法1:过点B作BF//ED交EC于F，连结AF，
则∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．-------5分
在△BAF中，∵AB=，BF=AF=．
∴．
即异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．--------------------------------------------7分
解法2：以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．
则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，1），E（0，0，4）
∴，∴
∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为．
（3）解法1:在DE上存在点Q，使得AQBQ.-----------------------------------------------------8分
取BC中点O，过点O作OQ⊥DE于点Q，则点Q满足题设.
连结EO、OD，在Rt△ECO和Rt△OBD中
∵ ∴∽ ∴
∵ ∴ ∴．-----------------10分
∵,
∴
∴以O为圆心、以BC为直径的圆与DE相切．切点为Q
∴
∵面,面 ∴ ∴面
∵面ACQ
∴．------------------------------------------------------------------------------------------12分
解法2: 以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系．
设满足题设的点Q存在,其坐标为（0，m，n），则
，
∵AQBQ ∴ ----------------------------①
∵点Q在ED上，∴存在使得
∴-----------②
②代入①得，解得
∴满足题设的点Q存在，其坐标为
19.解： (1)塑胶跑道面积
------4分
∵ ∴ --------------------------------------6分
(2)设运动场的造价为元
-----------------------------------------10分
令 ∵
当时
∴函数在上为减函数.
∴当时,.
即运动场的造价最低为636510元.----------------------------------------13分
20.解:（1）因为 （2分）
则b=1，即椭圆C的标准方程为 （3分）
（2）因为P（1，1），所以
所以，所以直线OQ的方程为y= —2x. （4分）
又Q在直线上，所以点Q（—2，4） （5分）
即QP⊥OQ，
故直线PQ与圆O相切， （6分）
（3）当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆P保持相切的位置关系. （7分）
设，则
所以直线OQ的方程为 所以点Q （10分）
所以
所以，即OP⊥PQ（P不与A、B重合），
故直线PQ始终与圆O相切.（13分）
21. （1）证明：∵ ∴-----1分
令得
当时，，即在上单调递增；
当时，，即在单调递减；
∴是函数的极大值点，也是最大值点------------------------- 2分
∴
即对有,当且仅当时取到等号．-------------4分
（2）解：由得 ---------------5分
--------7分
即数列是首项为，公差为的等差数列，------------------8分
（3）证明：由（2）可得 ∴ ∵------9分
∴ --11分
又∵当时，有
令，则------------------12分
∴
∴.-----------------------------13分
IF THEN
ELSE
END IF
PRINT x－y ； y－x
END
第13题
------4分
------8分