【培优卷】2024年北师大版数学八（下）6.3三角形的中位线 同步练习
一、选择题
1．如图，在△ABC中，D，E分别是边 AB，BC的中点，点F 在射线DE 上.添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A．∠B=∠F B．DE=EF C．AC=CF D．AD=CF
2．（2023·青岛）如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
3．（2024九下·合江月考）我们知道：五边形具有不稳定性，小文将正五边形沿箭头方向向右推，使点B在线段AC上，若，则（ ）
A．减小了 B．增加了 C．减少了 D．增加了
4．（2023八下·萧山期末）如图，是锐角三角形，是的中点，分别以，为边向外侧作等腰三角形和等腰三角形．点，分别是底边，的中点，连接，，若（是锐角），则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023八下·海曙期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=8，点D是AC上一个动点，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，线段DE的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．6
6．（2022八下·临渭期末）如图，在 中， ， ， 分别是 ， 的中点， ， 为 上的点，连接 ， ．若 cm， cm， cm，则图中阴影部分面积为（ ）
A．25cm2 B．35cm2 C．30cm2 D．42cm2
7．（2024八上·东辽期末）如图，在中，，于点，于点，于点，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023八下·肥城期中）在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①GN＝NE；②AE⊥GF；③AC平分∠BCD；④AC⊥BD，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．（2024八上·洪山期末）如图，等腰直角中，，，为中点．点为射线上的一个动点，以为直角边向右上方构造等腰直角，，连接．在点的运动过程中，长度的最小值是 ．
10．（2023八下·沙坪坝期末）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，将沿着对角线翻折得到，连接．若，，，则到的距离为 ．
11．（2023八下·青羊期末）如图， ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为 ．
12．（2023八下·文山期末）如图，的三边长分别为，，，以它的三边中点为顶点组成一个新三角形，以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形，，以此类推，第次组成的三角形的周长 ．
13．（2023八下·温州期中）如图1是雨伞的结构示意图．OP是伞柄，OM，AB，CD是伞骨．已知点A，C分别是OM，AB的中点．CD＝（dm），点B，D在OP上滑动时，可将雨伞打开或收拢．当OP与水平面垂直时打开雨伞，雨伞能罩住的水平面大小可近似地看成一个圆．如图2，当雨伞完全打开时，∠ABD＝90°；再将雨伞收拢到如图3，此时B′D′＝1（dm），且点C′到OP的距离恰好等于图2中BD的长．则伞骨AB的长为 （dm），设图2中能罩住的水平面面积是S1，图3中能罩住的水平面面积是S2，则＝ ．
三、解答题
14．（2023八下·南岸期末）已知，是的中线，过点C作．
（1）如图1，交于点F，连接．求证：四边形是平行四边形；
（2）P是线段上一点（不与点A，D重合），交于点F，交于点E，连接．
①如图2，四边形是平行四边形吗？请说明理由．
②如图3，延长交于点Q，若，， ，请直接写出的值．
15．（2023八下·石景山期末）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在中，点D，E分别是，边的中点．求证：，且．
（1）方法一：证明：如图，延长到点，使，连接，，．
（2）方法二：证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接．
16．（2023八下·遂川期末）
（1）课本再现
已知：如图，是的中位线．求证：，且．
定理证明
证明：如图1，延长至点，使得，连接．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线）
（2）知识应用
如图2，在四边形中，，，，，点，，分别是，，的中点，求的长．
17．（2024八下·道县月考）（1）回归课本
请用文字语言表述三角形的中位线定理： ．
（2）回顾证法
证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程．
已知：在中，点D，E分别是的中点．
求证：_▲_．
证明：过点作，与的延长线交于点．
（3）实践应用
如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点D，E，测得的长度为9米，则B，C两点间的距离为 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ D，E分别是边 AB，BC的中点，
∴DE∥AC，DE=AC，
A、当∠B=∠F，不能判定AD∥CF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故不符合题意；
B、 ∵DE=EF ，
∴DE=DF，
∴AC=DF，
∵AC∥DF，
∴四边形ADFC为平行四边形，故符合题意；
C、由AC=CF不能得出AC=DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故不符合题意；
D、∵AD=CF ，AD=BD，
∴BD=CF，
由BD=CF，∠BED=∠CEF，BE=CE，不能判定△BED≌△CEF，不能判定CF∥AB，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用三角形中位线定理可得DE∥AC，DE=AC，再根据平行四边形的判定定理逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：分别连接DG，EF，
∵点E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE∥DF，且AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴点M是DE的中点，
∵点N是EG的中点，
∴MN是△EDG的中位线，
∴MN=，
∵BG=3，CG=1，
∴DC=BC=4，
再Rt△DCG中，DG=，
∴MN=.
故答案为：B。
【分析】首先可证得MN是△EDG的中位线，从而得出MN=，然后根据勾股定理求得DG的长，从而得出MN的长度即可。
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长，交于点F，如图所示：
则，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
图（1）中，，
∴增加了，
故答案为：B．
【分析】延长，交于点F，则，先根据三角形中位线定理得到，进而根据等边三角形的判定与性质得到，从而结合题意运用三角形内角和定理即可求解。
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接、，
、是等腰三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，点，分别是底边，的中点，
，，
，，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】先利用等腰三角形的性质通过SAS证得，再通过三角形的内角和定理得到相等，然后利用中位线定理和外角的定义得到的和，进而求得的度数.
5．【答案】B
【知识点】垂线段最短；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=8 ，
∴BC==4，
在平行四边形ADBE中 ，OD=OE=DE，OA=OB，
∴当OD最小时，ED线段最短，此时OD⊥BC，
∵ ∠C=90° ，
∴OC∥BC，即得OD是△ABC的中位线，
∴OD=BC=2，
∴DE=2OD=4.
故答案为：B.
【分析】由勾股定理求出BC的长，由平行四边形的性质可得OD=OE=DE，OA=OB，利用垂线段最短可得当OD最小时，ED线段最短，此时OD⊥BC，从而得出OC∥BC，即得OD是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得OD=BC，继而求出ED的长.
6．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
连接MN，则MN是△ABC的中位线，
∴MN=BC=5cm，
过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=AC，
∴BF=BC=5cm，
∴AF=，
∵图中阴影部分的三个三角形的底边长都是5cm，且高的和为12cm，
∴.
故答案为：C.
【分析】连接MN，根据中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），可得出MN=DE=5cm，过点A作AF⊥BC于点F，利用勾股定理求出△ABC的高为12cm，图中阴影部分的面积就是图中三个三角形的面积，由图可知，这三个三角形的底边长都是5cm，且高的和为12cm，据此可求出图中阴影部分的面积.
7．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】
解：如上图，过点C作CM⊥AB于点M
∵AB=AC
∴∠ACB=∠ABC
∵CM⊥AB，CF⊥AC
∴∠BFC=∠CMA=90°
∴在Rt△BFC和Rt△BMC中
∴Rt△BFC≌Rt△BMC（HL）
∴BF=CM
∵AB=AC，AD⊥BC
∴点D为BC的中点
∵CM⊥AB，DE⊥AB
∴DE∥CM
∴点E为BM的中点
∴CM=2DE=10cm
故答案为：B
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质，三角形中位线的性质，过点C作CM⊥AB于点M，由等腰三角形的性质等边对等角和AB=AC可知：∠ACB=∠ABC，由此可通过HL得出Rt△BFC≌Rt△BMC，全等三角形对应边相等可知：BF=CM，由等腰三角形性质的推论：三线合一可知：点D为BC的中点，由CM⊥AB，DE⊥AB可知：DE∥CM，由三角形中位线的性质可知：点E为BM的中点，可得出：CM=2DE=10cm，即可得出答案.
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC=BA，DC∥BA，
∵E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，
∴DC∥EF，DC=2EF，BA=2GB，
∴FE=GB，DC∥FE∥BA，
∴四边形EFGB为平行四边形，
∴GN＝NE，①正确；
②∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CB=DA，DO=BO，OA=OC，
∵BD＝2AD，
∴BO=CB，
∵E为CO的中点，
∴CA⊥EB，
∵四边形EFGB为平行四边形，
∴EB∥FG，
∴CA⊥FG，
∴AE⊥GF，②正确；
③∵CB=OB，
∴∠OCB=∠COB，
∴∠COB＞∠ACD，
∴∠DCA≠∠OCB，
∴AC不平分∠BCD，③错误；
④∵E为CO的中点，BC=OB，
∴CA⊥EB，
∴∠EOB≠90°，
∴AC⊥BD不成立，④错误；
故答案为：B
【分析】结合题意运用平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质逐一判断即可求解。
9．【答案】2
【知识点】垂线段最短；三角形三边关系；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BE，过点M作于点G，过点A作交BD的延长线于点K，如下图，
∵， ，
∴，
∴是等腰直角三角形
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在和中：
∴，
∴
∴是等腰直角三角形，
∵.
∴
∵M为AB中点，
∴，
∴，，
当时，EM的值最小，
∴
故答案为：2.
【分析】连接BE，过点M作于点G，过点A作交BD的延长线于点K，可得是等腰直角三角形，根据是等腰直角三角形，从而证明，得，可得是等腰直角三角形，可求得MG的长，当时，EM的值最小，据此解答.
10．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，作OG⊥CD于点G，连接ED，交AC于点F，
由翻折知，EF=FD，∠DFC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，BD=6，
∴， ∴OF是△BDE的中位线， ∵BE=2， ∴， ∴CF=OF+OC=6， ∴在Rt△OFD中，由勾股定理得，， ∴， ∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴O到CD的距离.
故答案为：.
【分析】作OG⊥CD于点G，连接ED，交AC于点F，利用翻折的性质得到EF=DF，∠DFC=90°，由中位线定理得到OF=1，利用勾股定理计算出DF和CD，再利用等面积法求出O到CD的距离OG的长.
11．【答案】
【知识点】垂线段最短；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长EF至点H，使FH=EF，连接AH，BH，
∵G是BE的中点，F是EH的中点，
∴BH=2GF，
当BH最小时，GF也最小，当BH⊥AH时，BH最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D=75°，AD∥BC，
∵AC=BC，
∴∠ACB=180°-75°×2=180°-150°=30°，
∴∠DAC=∠ACB=30°，
又∵EF⊥AC，FH=EF，
∴AE=AH，∠HAF=∠EAF=30°，
∴∠EAH=60°，
∴△AEH是等边三角形，
∵∠ABC=75°，
∴∠BAD=105°，
∴∠BAH=105°-60°=45°，
当BH⊥AH时，△ABH是等腰直角三角形，
∵AB=4，∴
∴在Rt△AFH中，FH=
∴AF=
故答案为：
【分析】如图，延长EF至点H，使FH=EF，连接AH，BH，首先根据GF是△EBH的中位线，可得BH=2GF，即可得出，当BH最小时，GF也最小，根据垂线段最短，知道当BH⊥AH时，GF最小，此时，根据平行四边形的性质，可以得出△AEH是等边三角形，△ABH是等腰直角三角形，从而得到AH=，进一步根据含30°锐角的直角三角形的性质得出AF的值即可。
12．【答案】
【知识点】探索图形规律；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：第1个 的周长为a+b+c
由三角形中位线定理可得：
第2个三角形的周长为（a+b+c），
第3个三角形的周长为×（a+b+c），
第4个三角形的周长为××（a+b+c），
······，
第n个三角形的周长为（a+b+c），
∴ 第次组成的三角形的周长 ；
故答案为： .
【分析】根据三角形中位线定理求解，可得规律第n个三角形的周长为（a+b+c），继而得解.
13．【答案】；6
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵如图2，BD=B'D'=1 dm，BC=dm，∠ABD=90°，
∴BC=dm，
∵C是AB的中点，
∴AB=2BC=dm，
如图，在OP上取BN=OB，则B是ON的中点，
∵A是OM的中点，
∴MN=2AB= dm，
如图，作A'E'⊥OP于E'，M'N'⊥OP'于N'，C'F'⊥OP'于F'，
则C'F'=1，
∵A'是OM'的中点，A'E'⊥OP'，M'N'⊥OP'，
∴A'E'是△OM'N'的中位线，
同理，C'F'是△A'E'B'的中位线，
∴A'E'=2，M'N'=4，
∴.
故答案为：，6.
【分析】利用勾股定理求出BC=，再计算得到AB=，依据中位线定理求得MN=；根据题意得出C'F'=1，再利用中位线定理求得M'N'=4，最后利用圆的面积公式计算出.
14．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵是的中线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
延长，交于，取中点，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的中线，点为的中点，
∴为的中位线，
∴，，即
又∵，即，
∴四边形为平行四边形，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）②取中点，连接，
∵是的中线，点为的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∵，，则
∴，则，
设，由勾股定理可得：，
∴，则，，
∵，
∴，，
∴，
由勾股定理可得：，可得，
则，
∵，，
∴，
由勾股定理可得：，可得，
∴．
【分析】（1）利用平行线的性质得到∠ADB=∠ECD，∠ABD=∠EDC，再根据中线的定义得到BD=DC，利用三角形全等的判定定理ASA证明出△ABD≌△EDC，进而根据平行四边形的判定定理完成证明；
（2） ①延长，交于，取中点，连接，利用平行线的性质得出∠APB=∠EGP，∠ABP=∠EPG，然后根据AD是中线以及H是CG中点，得出DH是△BCG的中位线，由中位线性质得出BG=2DH，再证明四边形PDHG是平行四边形，得到DH=PG，进而得出BP=PG，证明出△ABP≌△EPG，然后由全等三角形的性质得出AB=EP，根据平行四边形判定定理得出四边形ABPE是平行四边形；
② 取BQ中点M，连接DM，利用中位线性质得出MD=，设BC=a，再由勾股定理得出，利用平行线的性质以及30°直角三角形的性质得出PD=2MP，结合勾股定理得到，进而得出，再利用30°直角三角形的性质得出AP的长，由勾股定理计算得出AQ，从而得到答案.
15．【答案】（1）解：方法一
证明：如图，延长到点，使，连接，，．
∵点D，E分别是，边的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∴，，
∴，
∴四边形DBCF是平行四边形．
∴，．
又∵，
∴，且．
（2）解：方法二
证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接．
∵点D，E分别是，边的中点，
∴，．
又∵，
∴．
∴，，
∴．
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∴，．
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，且．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）延长到点，使，连接，，，先根据中点得到，，进而根据平行四边形的判定与性质得到，，四边形DBCF是平行四边形，再结合题意即可求解；
（2）取中点，连接并延长到点，使，连接，先根据中点得到，，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，，从而结合平行四边形的判定与性质即可求解。
16．【答案】（1）证明：如图1，延长至点，使得，连接，
，
点是的边的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
又点是的边的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
即，．
（2）解：如图2，点，，分别是，，的中点，
，，，，
，，，，
，，
，
，
在中，．
的长为5．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据线段的中点求出 ， 再利用全等三角形的判定求出 ， 最后利用平行四边形的判定与性质计算求解即可；
（2）利用三角形的中位线求出 ，，，， 再利用勾股定理计算求解即可。
17．【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
（2）求证：，
证明：∵点分别是的中点，
∴，，
过点作，与的延长线交于点．
∴，
在和中，
．
，．
，．
四边形是平行四边形，
，，
又，
，
（3）18米
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（AAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（3）∵点分别是的中点，米，
∴，即：米
故答案为：18米．
【分析】（1）根据三角形的中位线定理直接阐述即可；
（2）过点作，与的延长线交于点，证明，再证四边形是平行四边形，即可证明结论；
（3）直接利用三角形中位线定理求解即可．
1 / 1【培优卷】2024年北师大版数学八（下）6.3三角形的中位线 同步练习
一、选择题
1．如图，在△ABC中，D，E分别是边 AB，BC的中点，点F 在射线DE 上.添加一个条件，使得四边形ADFC为平行四边形，则这个条件可以是（ ）
A．∠B=∠F B．DE=EF C．AC=CF D．AD=CF
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ D，E分别是边 AB，BC的中点，
∴DE∥AC，DE=AC，
A、当∠B=∠F，不能判定AD∥CF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故不符合题意；
B、 ∵DE=EF ，
∴DE=DF，
∴AC=DF，
∵AC∥DF，
∴四边形ADFC为平行四边形，故符合题意；
C、由AC=CF不能得出AC=DF，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故不符合题意；
D、∵AD=CF ，AD=BD，
∴BD=CF，
由BD=CF，∠BED=∠CEF，BE=CE，不能判定△BED≌△CEF，不能判定CF∥AB，即不能判定四边形ADFC为平行四边形，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】利用三角形中位线定理可得DE∥AC，DE=AC，再根据平行四边形的判定定理逐一判断即可.
2．（2023·青岛）如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：分别连接DG，EF，
∵点E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE∥DF，且AE=DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴点M是DE的中点，
∵点N是EG的中点，
∴MN是△EDG的中位线，
∴MN=，
∵BG=3，CG=1，
∴DC=BC=4，
再Rt△DCG中，DG=，
∴MN=.
故答案为：B。
【分析】首先可证得MN是△EDG的中位线，从而得出MN=，然后根据勾股定理求得DG的长，从而得出MN的长度即可。
3．（2024九下·合江月考）我们知道：五边形具有不稳定性，小文将正五边形沿箭头方向向右推，使点B在线段AC上，若，则（ ）
A．减小了 B．增加了 C．减少了 D．增加了
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：延长，交于点F，如图所示：
则，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
图（1）中，，
∴增加了，
故答案为：B．
【分析】延长，交于点F，则，先根据三角形中位线定理得到，进而根据等边三角形的判定与性质得到，从而结合题意运用三角形内角和定理即可求解。
4．（2023八下·萧山期末）如图，是锐角三角形，是的中点，分别以，为边向外侧作等腰三角形和等腰三角形．点，分别是底边，的中点，连接，，若（是锐角），则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接、，
、是等腰三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
点是的中点，点，分别是底边，的中点，
，，
，，
，
，
，
故答案为：B.
【分析】先利用等腰三角形的性质通过SAS证得，再通过三角形的内角和定理得到相等，然后利用中位线定理和外角的定义得到的和，进而求得的度数.
5．（2023八下·海曙期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=8，点D是AC上一个动点，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，线段DE的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．6
【答案】B
【知识点】垂线段最短；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，AB=8 ，
∴BC==4，
在平行四边形ADBE中 ，OD=OE=DE，OA=OB，
∴当OD最小时，ED线段最短，此时OD⊥BC，
∵ ∠C=90° ，
∴OC∥BC，即得OD是△ABC的中位线，
∴OD=BC=2，
∴DE=2OD=4.
故答案为：B.
【分析】由勾股定理求出BC的长，由平行四边形的性质可得OD=OE=DE，OA=OB，利用垂线段最短可得当OD最小时，ED线段最短，此时OD⊥BC，从而得出OC∥BC，即得OD是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得OD=BC，继而求出ED的长.
6．（2022八下·临渭期末）如图，在 中， ， ， 分别是 ， 的中点， ， 为 上的点，连接 ， ．若 cm， cm， cm，则图中阴影部分面积为（ ）
A．25cm2 B．35cm2 C．30cm2 D．42cm2
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，
连接MN，则MN是△ABC的中位线，
∴MN=BC=5cm，
过点A作AF⊥BC于点F，
∵AB=AC，
∴BF=BC=5cm，
∴AF=，
∵图中阴影部分的三个三角形的底边长都是5cm，且高的和为12cm，
∴.
故答案为：C.
【分析】连接MN，根据中位线定理（三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半），可得出MN=DE=5cm，过点A作AF⊥BC于点F，利用勾股定理求出△ABC的高为12cm，图中阴影部分的面积就是图中三个三角形的面积，由图可知，这三个三角形的底边长都是5cm，且高的和为12cm，据此可求出图中阴影部分的面积.
7．（2024八上·东辽期末）如图，在中，，于点，于点，于点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】
解：如上图，过点C作CM⊥AB于点M
∵AB=AC
∴∠ACB=∠ABC
∵CM⊥AB，CF⊥AC
∴∠BFC=∠CMA=90°
∴在Rt△BFC和Rt△BMC中
∴Rt△BFC≌Rt△BMC（HL）
∴BF=CM
∵AB=AC，AD⊥BC
∴点D为BC的中点
∵CM⊥AB，DE⊥AB
∴DE∥CM
∴点E为BM的中点
∴CM=2DE=10cm
故答案为：B
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质，三角形中位线的性质，过点C作CM⊥AB于点M，由等腰三角形的性质等边对等角和AB=AC可知：∠ACB=∠ABC，由此可通过HL得出Rt△BFC≌Rt△BMC，全等三角形对应边相等可知：BF=CM，由等腰三角形性质的推论：三线合一可知：点D为BC的中点，由CM⊥AB，DE⊥AB可知：DE∥CM，由三角形中位线的性质可知：点E为BM的中点，可得出：CM=2DE=10cm，即可得出答案.
8．（2023八下·肥城期中）在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，下列结论：①GN＝NE；②AE⊥GF；③AC平分∠BCD；④AC⊥BD，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC=BA，DC∥BA，
∵E、F、G分别是OC、OD、AB的中点，
∴DC∥EF，DC=2EF，BA=2GB，
∴FE=GB，DC∥FE∥BA，
∴四边形EFGB为平行四边形，
∴GN＝NE，①正确；
②∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CB=DA，DO=BO，OA=OC，
∵BD＝2AD，
∴BO=CB，
∵E为CO的中点，
∴CA⊥EB，
∵四边形EFGB为平行四边形，
∴EB∥FG，
∴CA⊥FG，
∴AE⊥GF，②正确；
③∵CB=OB，
∴∠OCB=∠COB，
∴∠COB＞∠ACD，
∴∠DCA≠∠OCB，
∴AC不平分∠BCD，③错误；
④∵E为CO的中点，BC=OB，
∴CA⊥EB，
∴∠EOB≠90°，
∴AC⊥BD不成立，④错误；
故答案为：B
【分析】结合题意运用平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质逐一判断即可求解。
二、填空题
9．（2024八上·洪山期末）如图，等腰直角中，，，为中点．点为射线上的一个动点，以为直角边向右上方构造等腰直角，，连接．在点的运动过程中，长度的最小值是 ．
【答案】2
【知识点】垂线段最短；三角形三边关系；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：连接BE，过点M作于点G，过点A作交BD的延长线于点K，如下图，
∵， ，
∴，
∴是等腰直角三角形
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在和中：
∴，
∴
∴是等腰直角三角形，
∵.
∴
∵M为AB中点，
∴，
∴，，
当时，EM的值最小，
∴
故答案为：2.
【分析】连接BE，过点M作于点G，过点A作交BD的延长线于点K，可得是等腰直角三角形，根据是等腰直角三角形，从而证明，得，可得是等腰直角三角形，可求得MG的长，当时，EM的值最小，据此解答.
10．（2023八下·沙坪坝期末）如图，在平行四边形中，对角线、交于点，将沿着对角线翻折得到，连接．若，，，则到的距离为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，作OG⊥CD于点G，连接ED，交AC于点F，
由翻折知，EF=FD，∠DFC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，BD=6，
∴， ∴OF是△BDE的中位线， ∵BE=2， ∴， ∴CF=OF+OC=6， ∴在Rt△OFD中，由勾股定理得，， ∴， ∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴O到CD的距离.
故答案为：.
【分析】作OG⊥CD于点G，连接ED，交AC于点F，利用翻折的性质得到EF=DF，∠DFC=90°，由中位线定理得到OF=1，利用勾股定理计算出DF和CD，再利用等面积法求出O到CD的距离OG的长.
11．（2023八下·青羊期末）如图， ABCD中∠D＝75°，AB＝4，AC＝BC，点E为线段AD上一动点，过点E作EF⊥AC于点F，连接BE，点G为BE中点，连接GF．当GF最小时，线段AF的值为 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短；等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，延长EF至点H，使FH=EF，连接AH，BH，
∵G是BE的中点，F是EH的中点，
∴BH=2GF，
当BH最小时，GF也最小，当BH⊥AH时，BH最小，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D=75°，AD∥BC，
∵AC=BC，
∴∠ACB=180°-75°×2=180°-150°=30°，
∴∠DAC=∠ACB=30°，
又∵EF⊥AC，FH=EF，
∴AE=AH，∠HAF=∠EAF=30°，
∴∠EAH=60°，
∴△AEH是等边三角形，
∵∠ABC=75°，
∴∠BAD=105°，
∴∠BAH=105°-60°=45°，
当BH⊥AH时，△ABH是等腰直角三角形，
∵AB=4，∴
∴在Rt△AFH中，FH=
∴AF=
故答案为：
【分析】如图，延长EF至点H，使FH=EF，连接AH，BH，首先根据GF是△EBH的中位线，可得BH=2GF，即可得出，当BH最小时，GF也最小，根据垂线段最短，知道当BH⊥AH时，GF最小，此时，根据平行四边形的性质，可以得出△AEH是等边三角形，△ABH是等腰直角三角形，从而得到AH=，进一步根据含30°锐角的直角三角形的性质得出AF的值即可。
12．（2023八下·文山期末）如图，的三边长分别为，，，以它的三边中点为顶点组成一个新三角形，以这个新三角形三边中点为顶点又组成一个小三角形，，以此类推，第次组成的三角形的周长 ．
【答案】
【知识点】探索图形规律；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：第1个 的周长为a+b+c
由三角形中位线定理可得：
第2个三角形的周长为（a+b+c），
第3个三角形的周长为×（a+b+c），
第4个三角形的周长为××（a+b+c），
······，
第n个三角形的周长为（a+b+c），
∴ 第次组成的三角形的周长 ；
故答案为： .
【分析】根据三角形中位线定理求解，可得规律第n个三角形的周长为（a+b+c），继而得解.
13．（2023八下·温州期中）如图1是雨伞的结构示意图．OP是伞柄，OM，AB，CD是伞骨．已知点A，C分别是OM，AB的中点．CD＝（dm），点B，D在OP上滑动时，可将雨伞打开或收拢．当OP与水平面垂直时打开雨伞，雨伞能罩住的水平面大小可近似地看成一个圆．如图2，当雨伞完全打开时，∠ABD＝90°；再将雨伞收拢到如图3，此时B′D′＝1（dm），且点C′到OP的距离恰好等于图2中BD的长．则伞骨AB的长为 （dm），设图2中能罩住的水平面面积是S1，图3中能罩住的水平面面积是S2，则＝ ．
【答案】；6
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵如图2，BD=B'D'=1 dm，BC=dm，∠ABD=90°，
∴BC=dm，
∵C是AB的中点，
∴AB=2BC=dm，
如图，在OP上取BN=OB，则B是ON的中点，
∵A是OM的中点，
∴MN=2AB= dm，
如图，作A'E'⊥OP于E'，M'N'⊥OP'于N'，C'F'⊥OP'于F'，
则C'F'=1，
∵A'是OM'的中点，A'E'⊥OP'，M'N'⊥OP'，
∴A'E'是△OM'N'的中位线，
同理，C'F'是△A'E'B'的中位线，
∴A'E'=2，M'N'=4，
∴.
故答案为：，6.
【分析】利用勾股定理求出BC=，再计算得到AB=，依据中位线定理求得MN=；根据题意得出C'F'=1，再利用中位线定理求得M'N'=4，最后利用圆的面积公式计算出.
三、解答题
14．（2023八下·南岸期末）已知，是的中线，过点C作．
（1）如图1，交于点F，连接．求证：四边形是平行四边形；
（2）P是线段上一点（不与点A，D重合），交于点F，交于点E，连接．
①如图2，四边形是平行四边形吗？请说明理由．
②如图3，延长交于点Q，若，， ，请直接写出的值．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
又∵是的中线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形
（2）解：①四边形是平行四边形，理由如下：
延长，交于，取中点，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的中线，点为的中点，
∴为的中位线，
∴，，即
又∵，即，
∴四边形为平行四边形，
∴，则，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
②
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；三角形全等的判定（ASA）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（2）②取中点，连接，
∵是的中线，点为的中点，
∴为的中位线，
∴，，
∵，，则
∴，则，
设，由勾股定理可得：，
∴，则，，
∵，
∴，，
∴，
由勾股定理可得：，可得，
则，
∵，，
∴，
由勾股定理可得：，可得，
∴．
【分析】（1）利用平行线的性质得到∠ADB=∠ECD，∠ABD=∠EDC，再根据中线的定义得到BD=DC，利用三角形全等的判定定理ASA证明出△ABD≌△EDC，进而根据平行四边形的判定定理完成证明；
（2） ①延长，交于，取中点，连接，利用平行线的性质得出∠APB=∠EGP，∠ABP=∠EPG，然后根据AD是中线以及H是CG中点，得出DH是△BCG的中位线，由中位线性质得出BG=2DH，再证明四边形PDHG是平行四边形，得到DH=PG，进而得出BP=PG，证明出△ABP≌△EPG，然后由全等三角形的性质得出AB=EP，根据平行四边形判定定理得出四边形ABPE是平行四边形；
② 取BQ中点M，连接DM，利用中位线性质得出MD=，设BC=a，再由勾股定理得出，利用平行线的性质以及30°直角三角形的性质得出PD=2MP，结合勾股定理得到，进而得出，再利用30°直角三角形的性质得出AP的长，由勾股定理计算得出AQ，从而得到答案.
15．（2023八下·石景山期末）下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在中，点D，E分别是，边的中点．求证：，且．
（1）方法一：证明：如图，延长到点，使，连接，，．
（2）方法二：证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接．
【答案】（1）解：方法一
证明：如图，延长到点，使，连接，，．
∵点D，E分别是，边的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∴，，
∴，
∴四边形DBCF是平行四边形．
∴，．
又∵，
∴，且．
（2）解：方法二
证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接．
∵点D，E分别是，边的中点，
∴，．
又∵，
∴．
∴，，
∴．
∵，
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∴，．
∵，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，且．
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）延长到点，使，连接，，，先根据中点得到，，进而根据平行四边形的判定与性质得到，，四边形DBCF是平行四边形，再结合题意即可求解；
（2）取中点，连接并延长到点，使，连接，先根据中点得到，，进而运用三角形全等的判定与性质证明即可得到，，从而结合平行四边形的判定与性质即可求解。
16．（2023八下·遂川期末）
（1）课本再现
已知：如图，是的中位线．求证：，且．
定理证明
证明：如图1，延长至点，使得，连接．请你根据小乐添加的辅助线，写出完整的证明过程；（不再添加新的辅助线）
（2）知识应用
如图2，在四边形中，，，，，点，，分别是，，的中点，求的长．
【答案】（1）证明：如图1，延长至点，使得，连接，
，
点是的边的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
又点是的边的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
即，．
（2）解：如图2，点，，分别是，，的中点，
，，，，
，，，，
，，
，
，
在中，．
的长为5．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据线段的中点求出 ， 再利用全等三角形的判定求出 ， 最后利用平行四边形的判定与性质计算求解即可；
（2）利用三角形的中位线求出 ，，，， 再利用勾股定理计算求解即可。
17．（2024八下·道县月考）（1）回归课本
请用文字语言表述三角形的中位线定理： ．
（2）回顾证法
证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程．
已知：在中，点D，E分别是的中点．
求证：_▲_．
证明：过点作，与的延长线交于点．
（3）实践应用
如图3，点和点被池塘隔开，在外选一点，连接，分别取的中点D，E，测得的长度为9米，则B，C两点间的距离为 ．
【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半
（2）求证：，
证明：∵点分别是的中点，
∴，，
过点作，与的延长线交于点．
∴，
在和中，
．
，．
，．
四边形是平行四边形，
，，
又，
，
（3）18米
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定（AAS）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】（3）∵点分别是的中点，米，
∴，即：米
故答案为：18米．
【分析】（1）根据三角形的中位线定理直接阐述即可；
（2）过点作，与的延长线交于点，证明，再证四边形是平行四边形，即可证明结论；
（3）直接利用三角形中位线定理求解即可．
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