【培优卷】2024年北师大版数学八（下）6.4多边形的内角与外角和 同步练习
一、选择题
1．（2024·竹山模拟）图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若（即延长a和b相交形成垂直），则n的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．（2024七下·黄石月考）如图，，，若，则的度数为（ ）
A．90° B．60° C．70° D．80°
3．（2019七下·朝阳期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180° B．360° C．270° D．540°
4．（2024八上·播州期末）如图，、、，是六边形的四个外角，延长交于点若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．已知n边形的每个内角都相等，则使得n边形的每个内角的度数都是整数的n的值有（ ）
A．18个 B．20个 C．22个 D．无数个
6．（2023八上·大岭山期中）一副三角尺如图所示摆放，则与的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021八上·太和月考）将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（ ）
A．360° B．540° C．720° D．730°
8．（2020九下·宁晋开学考）如图，在边长为1的正六边形 中，M是边 上一点，则线段 的长可以是（ ）
A．1.4 B．1.6 C．1.8 D．2.2
二、填空题
9．（2023·沛县模拟）如图由内角分别相等的四边形、五边形、六边形组合而成的图形中，，则的度数为 度．
10．（2022七下·井研期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为 ．
11．（2022七下·金湖期末）如图，，E、F分别是AB、CD上的点，EH、FH分别是∠AEG和∠CFG的角平分线.若∠G＝110°，则∠H＝ °.
12．（2022七下·姜堰期中）如图，正n边形A1A2A3……An（每条边相等，每个内角都相等）竖立于地面，一边与地面重合，一束太阳光平行照射在正n边形上，若∠1-∠2=36°，则n= ．
三、解答题
13．（2023八上·临海期中）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，下图是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．
（1）将下面的表格补充完整：
正多边形的边数 3 4 5 6 …… n
∠α的度数 60° ……
（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝16°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
14．（2022七下·资阳期末）已知：如图，边形.
（1）求证：边形的内角和等于；
（2）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻的外角的3倍还大20°，求这个多边形的内角和；
（3）粗心的小明在计算一个多边形的内角和时，误把一个外角也加进去了，得其和为1180°，这个多加的外角度数为 ，多边形的边数为 .
15．
（1）如图1，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= °.
（2）若将图1中星形的一个角截去，如图2，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= °.
（3）若再将图2中图形的角截去，如图3，则由(2)中所得的方法或规律，猜想∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠F+∠H+∠M+∠N= °.
16．（2024七下·恩施月考）已知，的平分线与的平分线相交于点F．
（1）在图1中，求证：
①；
②；
（2）如图2，当，时，请你写出与之间的关系，并加以证明；
（3）当，，且时，请你直接写出的度数（用含m，n的式子表示）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠B=90°，
∴正多边形的一个外角为，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据题意得到正多边形的一个外角为45°，进而可以得到多边形的边数.
2．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，过F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴
，
即，
解得：，即的度数为90°.
故答案为：A.
【分析】过F作，根据平行公理得到，得到内错角相等，即，，再利用角的倍数关系以及多边形内角和进行代换，可得关于的方程，解之即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】如图，设AF、ED相交于点O，延长AF交DC于点G．
由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得：∠DOF=∠E+∠OFE，∠OGC=∠DOF+∠D．
由等量代换，得：∠OGC=∠E+∠OFE+∠D，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠OFE=∠A+∠B+∠OGC+∠C=（4﹣2）×180°=360°．
故答案为：B．
【分析】根据三角形外角的性质，可得∠DOF与∠E、∠OFE的关系，∠DOF、∠OGC、∠D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案．
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和恒为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠HAB+∠ABH=360°，
∵，
∴∠HAB+∠ABH=360°-()=360°-224°=136° ，
∵∠AHB+∠HAB+∠ABH=180°，
∴∠AHB=44°.
故答案为：C.
【分析】先利用多边形的外角和求出∠HAB+∠ABH的度数，再利用三角形的内角和定理得结论.
5．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正n边形的每个内角为180°-，且是整数度，n≥3，
又∵360=23×32×5，
∴n=3，4，5，6，8，9，10，12，15，18，20，24，30，36，40，45，60，72，90，120，180，360共22个.
故答案为：C.
【分析】每个内角=180°-相邻外角=180°-，求出其是整数度且n≥3的整数n值即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，四边形ABCD中，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，
∵∠ABC=∠α，∠ADC=∠β，∠A=90°，∠C=45°，
∴90°+∠α＋45°+∠β=360°
∴∠α＋∠β=360°-90°-45°=225°.
故答案为：B.
【分析】四边形ABCD的内角和为360°，根据对顶角相等可得∠ABC=∠α，∠ADC=∠β，再结合∠A、∠C的度数，可推导出结论。
7．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：①将长方形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和：180°+180°=360°；
②将长方形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540°；
③将长方形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：180°+540°=720°，
④将长方形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个五边形，其内角和为：180°+540°=720°，
故答案为：D.
【分析】分四种情况：①将长方形沿对角线剪开，得到两个三角形；②将长方形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形；③将长方形沿一组对边剪开，得到两个四边形；④将长方形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个五边形，据此分别求解再判断即可.
8．【答案】C
【知识点】勾股定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：连接AE，AD，过点F作FH⊥AE于点H，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AFE=∠DEF=(6-2) ×180°÷6=120°，
∴∠FEH=30°，∠AEM=90°，
∴HF= AF= ，
∴AH= ，
∴AE=2AH= ，
∴AD= =2，
∴ ＜AM＜2，
故答案为：C．
【分析】过点F作FH⊥AE于点H，根据AM在AE和AD之间，分别求出AE和AD的长度，继而得到答案即可。
9．【答案】102
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
四边形、五边形、六边形得各内角相等，
四边形的内角为90°，五边形的内角为108°，六边形的内角为120°，
，
，
，
，
，
.
故答案为：102.
【分析】由多边形内角和定理：（n≥3且n为整数）定理，求出内角分别相等的四边形、五边形、六边形的内角度数即可求解.
10．【答案】540°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，连接BF，
∵∠AOG=∠BOF，
∴∠A+∠G=∠OBF+∠OFB，
在五边形BCDEF中，
∵∠FBC+∠C+∠D+∠E+∠EFB=540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
故答案为：540°.
【分析】如图，连接BF，由∠AOG=∠BOF得∠A+∠G=∠OBF+∠OFB，在五边形BCDEF中，由五边形内角和得∠FBC+∠C+∠D+∠E+∠EFB=540°，由角等量代换得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
11．【答案】135
【知识点】平行线的判定与性质；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，过点作
即
EH、FH分别是∠AEG和∠CFG的角平分线
在四边形中，
故答案为：135.
【分析】过点作，可得，由平行线的性质可得，，即得，从而求出，由角平分线的定义可得，利用四边形内角和可得，据此即得结论.
12．【答案】5
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】如图，作，
，，
=36°，
，
设正多边形的内角为x，则，
，
，
，
，
解得°，
，
这个多边形的边数为，
故答案为：5．
【分析】作，可推出，设正多边形的内角为x，则，，再根据∠3=∠4列出方程可求出x值，即得外角∠4的度数，利用多边形的外角和360°除以外角的度数，即得边数.
13．【答案】（1）60°；45°；36°；30°；
（2）解：因为180°÷16=11.25，n不为正整数，
所以不存在一个正n边形，使其中的∠α＝16°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）如图，
等边三角形：2∠α=外角==120°，则∠α=60°；
正方形：2∠α=外角==90°，则∠α=45°；
正五边形：2∠α=外角==72°，则∠α=36°；
正六边形：2∠α=外角==60°，则∠α=30°；
正n边形：2∠α=外角=，则∠α= ；
【分析】（1）根据计算和观察，可发现规律：正多边形的外角=2∠α，即可求得；
（2）直接利用（1）得到的规律，将 ∠α＝16° 代入，若能找到正整数n，则存在，否则不存在.
14．【答案】（1）证明：如图：
∵从n边形的一个顶点可以作（n 3）条对角线，
∴（n 3）条对角线把n边形分成（n 2）个三角形，
∵这（n 2）个三角形的内角和都等于180°，
∴n边形的内角和是（n 2） 180°，
∴∠A1＋∠A2＋∠A3＋＋…＋∠An＝（n 2） 180°
（2）解：设多边形的一个外角为α°，则与其相邻的内角为（3α＋20）°，
由题意，得（3α＋20）＋α＝180，
解得α＝40，
即多边形的每个外角为40°，
∵多边形的外角和为360°，
∴多边形的边数为360°÷40°＝9，
内角和为（9 2）×180°＝1260°，
答：这个多边形的内角和为1260°；
（3）解：设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，则
（n 2） 180°＝1180° α，
∵1180°＝6×180°＋100°，内角和应是180°的倍数，
∴小明多加的一个外角为100°，
∴这是6＋2＝8边形的内角和．
答：这个外角的度数是100°，该多边形的边数是8．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）过n边形的一个顶点引对角线，可以将n边形可分割成（n-2）个三角形，那么n边形的内角和就等于（n-2）个三角形的内角和，利用三角形的内角和定理（三角形的内角和等于180°）得出n边形的内角和是（n 2） 180°；
（2）设多边形的一个外角为α°，则与其相邻的内角为（3α＋20）° ，根据内角与其相邻的外角的和是180°列出方程，求出α的值，再由多边形的外角和为360°求出此多边形的边数为360°÷α，然后根据多边形内角和公式求解；
（3）利用多边形内角和公式（n-2）×180°推断出内角和应是180°的倍数，进而计算出多加的外角度数为100°，再利用多边形内角和公式求出多边形的边数是8.
15．【答案】（1）180
（2）360
（3）1080
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）如图1，
∵∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D，∠A+∠C+∠1=180°，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ∠A+∠C+∠1=180°；
故答案为：180；
（2）如图2，∵∠2=∠1+∠F=∠B+∠E+∠F，∠A+∠C+∠2+∠D=360°，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ∠A+∠C+∠2+∠D=360°；
故答案为：360；
（3）由（1）（2）知：每截去一个角则增加180°，当截去5个角时，增加了180°×5的度数，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠F+∠H+∠M+∠N=180°+180°×5=1080°.
故答案为：1080.
【分析】（1）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质求解即可；
（2）根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°进行解答即可；
（3）由（1）（2）知：每截去一个角则增加180°，当截去5个角时，增加了180°×5的度数，据此即可求解.
16．【答案】（1）证明：①如图1，过点作
，
，
，
证明：②如图1，过点作
，
，
即；
（2）解：关系式为，
证明：设，
，时，且平分，平分，
，
由（1）得，
，
，
，
即，
，
（3）解：设则
，，
由（1）可得
，
，
，
，
，
即的度数（用含m，n的式子表示）表示为
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）①过点E作EN∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥CD∥EN，由二直线平行，同旁内角互补，得∠CDE+∠NED=180°，∠ABE+∠BEN=180°，然后将两个等式相加可得结论；
②过点F作FG∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，可得AB∥CD∥FG，根据二直线平行，内错角相等，可得∠CDF=∠GFD，∠ABF=∠BFG，进而根据角的和差及等量代换可得结论；
（2）∠M与∠E之间的关系为：∠E+6∠M=360°，理由如下：设∠ABM=x，∠CDM=y，由已知及角平分线定义得∠FBM=2x，∠EBF=3x，∠FDM=2y，∠EDF=3y，则∠EBM=5x，∠EDM=5y，根据（1）中①的结论的6x+6y+∠E=360°，根据四边形的内角和定理可推出∠M=x+y，从而可得结论∠E+6∠M=360°；
（3）设∠ABM=x，∠CDM=y，由已知及角平分线定义得∠FBM=(n-1)x，∠EBF=nx，∠FDM=(n-1)y，∠EDF=ny，根据（1）中①的结论的2nx+2ny+∠E=360°，则，进而结合四边形的内角和定理可得.
1 / 1【培优卷】2024年北师大版数学八（下）6.4多边形的内角与外角和 同步练习
一、选择题
1．（2024·竹山模拟）图中表示被撕掉一块的正n边形纸片，若（即延长a和b相交形成垂直），则n的值是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵ ，
∴∠B=90°，
∴正多边形的一个外角为，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据题意得到正多边形的一个外角为45°，进而可以得到多边形的边数.
2．（2024七下·黄石月考）如图，，，若，则的度数为（ ）
A．90° B．60° C．70° D．80°
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，过F作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴
，
即，
解得：，即的度数为90°.
故答案为：A.
【分析】过F作，根据平行公理得到，得到内错角相等，即，，再利用角的倍数关系以及多边形内角和进行代换，可得关于的方程，解之即可.
3．（2019七下·朝阳期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180° B．360° C．270° D．540°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】如图，设AF、ED相交于点O，延长AF交DC于点G．
由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得：∠DOF=∠E+∠OFE，∠OGC=∠DOF+∠D．
由等量代换，得：∠OGC=∠E+∠OFE+∠D，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠OFE=∠A+∠B+∠OGC+∠C=（4﹣2）×180°=360°．
故答案为：B．
【分析】根据三角形外角的性质，可得∠DOF与∠E、∠OFE的关系，∠DOF、∠OGC、∠D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案．
4．（2024八上·播州期末）如图，、、，是六边形的四个外角，延长交于点若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和恒为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠HAB+∠ABH=360°，
∵，
∴∠HAB+∠ABH=360°-()=360°-224°=136° ，
∵∠AHB+∠HAB+∠ABH=180°，
∴∠AHB=44°.
故答案为：C.
【分析】先利用多边形的外角和求出∠HAB+∠ABH的度数，再利用三角形的内角和定理得结论.
5．已知n边形的每个内角都相等，则使得n边形的每个内角的度数都是整数的n的值有（ ）
A．18个 B．20个 C．22个 D．无数个
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正n边形的每个内角为180°-，且是整数度，n≥3，
又∵360=23×32×5，
∴n=3，4，5，6，8，9，10，12，15，18，20，24，30，36，40，45，60，72，90，120，180，360共22个.
故答案为：C.
【分析】每个内角=180°-相邻外角=180°-，求出其是整数度且n≥3的整数n值即可.
6．（2023八上·大岭山期中）一副三角尺如图所示摆放，则与的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，四边形ABCD中，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，
∵∠ABC=∠α，∠ADC=∠β，∠A=90°，∠C=45°，
∴90°+∠α＋45°+∠β=360°
∴∠α＋∠β=360°-90°-45°=225°.
故答案为：B.
【分析】四边形ABCD的内角和为360°，根据对顶角相等可得∠ABC=∠α，∠ADC=∠β，再结合∠A、∠C的度数，可推导出结论。
7．（2021八上·太和月考）将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（ ）
A．360° B．540° C．720° D．730°
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：①将长方形沿对角线剪开，得到两个三角形，两个多边形的内角和：180°+180°=360°；
②将长方形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540°；
③将长方形沿一组对边剪开，得到两个四边形，两个多边形的内角和为：180°+540°=720°，
④将长方形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个五边形，其内角和为：180°+540°=720°，
故答案为：D.
【分析】分四种情况：①将长方形沿对角线剪开，得到两个三角形；②将长方形从一顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形；③将长方形沿一组对边剪开，得到两个四边形；④将长方形沿一组邻边剪开，得到一个三角形和一个五边形，据此分别求解再判断即可.
8．（2020九下·宁晋开学考）如图，在边长为1的正六边形 中，M是边 上一点，则线段 的长可以是（ ）
A．1.4 B．1.6 C．1.8 D．2.2
【答案】C
【知识点】勾股定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：连接AE，AD，过点F作FH⊥AE于点H，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AFE=∠DEF=(6-2) ×180°÷6=120°，
∴∠FEH=30°，∠AEM=90°，
∴HF= AF= ，
∴AH= ，
∴AE=2AH= ，
∴AD= =2，
∴ ＜AM＜2，
故答案为：C．
【分析】过点F作FH⊥AE于点H，根据AM在AE和AD之间，分别求出AE和AD的长度，继而得到答案即可。
二、填空题
9．（2023·沛县模拟）如图由内角分别相等的四边形、五边形、六边形组合而成的图形中，，则的度数为 度．
【答案】102
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
四边形、五边形、六边形得各内角相等，
四边形的内角为90°，五边形的内角为108°，六边形的内角为120°，
，
，
，
，
，
.
故答案为：102.
【分析】由多边形内角和定理：（n≥3且n为整数）定理，求出内角分别相等的四边形、五边形、六边形的内角度数即可求解.
10．（2022七下·井研期末）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数为 ．
【答案】540°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，连接BF，
∵∠AOG=∠BOF，
∴∠A+∠G=∠OBF+∠OFB，
在五边形BCDEF中，
∵∠FBC+∠C+∠D+∠E+∠EFB=540°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
故答案为：540°.
【分析】如图，连接BF，由∠AOG=∠BOF得∠A+∠G=∠OBF+∠OFB，在五边形BCDEF中，由五边形内角和得∠FBC+∠C+∠D+∠E+∠EFB=540°，由角等量代换得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.
11．（2022七下·金湖期末）如图，，E、F分别是AB、CD上的点，EH、FH分别是∠AEG和∠CFG的角平分线.若∠G＝110°，则∠H＝ °.
【答案】135
【知识点】平行线的判定与性质；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，过点作
即
EH、FH分别是∠AEG和∠CFG的角平分线
在四边形中，
故答案为：135.
【分析】过点作，可得，由平行线的性质可得，，即得，从而求出，由角平分线的定义可得，利用四边形内角和可得，据此即得结论.
12．（2022七下·姜堰期中）如图，正n边形A1A2A3……An（每条边相等，每个内角都相等）竖立于地面，一边与地面重合，一束太阳光平行照射在正n边形上，若∠1-∠2=36°，则n= ．
【答案】5
【知识点】平行线的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】如图，作，
，，
=36°，
，
设正多边形的内角为x，则，
，
，
，
，
解得°，
，
这个多边形的边数为，
故答案为：5．
【分析】作，可推出，设正多边形的内角为x，则，，再根据∠3=∠4列出方程可求出x值，即得外角∠4的度数，利用多边形的外角和360°除以外角的度数，即得边数.
三、解答题
13．（2023八上·临海期中）如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，下图是一组正多边形，观察每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题．
（1）将下面的表格补充完整：
正多边形的边数 3 4 5 6 …… n
∠α的度数 60° ……
（2）根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝16°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）60°；45°；36°；30°；
（2）解：因为180°÷16=11.25，n不为正整数，
所以不存在一个正n边形，使其中的∠α＝16°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）如图，
等边三角形：2∠α=外角==120°，则∠α=60°；
正方形：2∠α=外角==90°，则∠α=45°；
正五边形：2∠α=外角==72°，则∠α=36°；
正六边形：2∠α=外角==60°，则∠α=30°；
正n边形：2∠α=外角=，则∠α= ；
【分析】（1）根据计算和观察，可发现规律：正多边形的外角=2∠α，即可求得；
（2）直接利用（1）得到的规律，将 ∠α＝16° 代入，若能找到正整数n，则存在，否则不存在.
14．（2022七下·资阳期末）已知：如图，边形.
（1）求证：边形的内角和等于；
（2）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻的外角的3倍还大20°，求这个多边形的内角和；
（3）粗心的小明在计算一个多边形的内角和时，误把一个外角也加进去了，得其和为1180°，这个多加的外角度数为 ，多边形的边数为 .
【答案】（1）证明：如图：
∵从n边形的一个顶点可以作（n 3）条对角线，
∴（n 3）条对角线把n边形分成（n 2）个三角形，
∵这（n 2）个三角形的内角和都等于180°，
∴n边形的内角和是（n 2） 180°，
∴∠A1＋∠A2＋∠A3＋＋…＋∠An＝（n 2） 180°
（2）解：设多边形的一个外角为α°，则与其相邻的内角为（3α＋20）°，
由题意，得（3α＋20）＋α＝180，
解得α＝40，
即多边形的每个外角为40°，
∵多边形的外角和为360°，
∴多边形的边数为360°÷40°＝9，
内角和为（9 2）×180°＝1260°，
答：这个多边形的内角和为1260°；
（3）解：设多边形的边数为n，多加的外角度数为α，则
（n 2） 180°＝1180° α，
∵1180°＝6×180°＋100°，内角和应是180°的倍数，
∴小明多加的一个外角为100°，
∴这是6＋2＝8边形的内角和．
答：这个外角的度数是100°，该多边形的边数是8．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）过n边形的一个顶点引对角线，可以将n边形可分割成（n-2）个三角形，那么n边形的内角和就等于（n-2）个三角形的内角和，利用三角形的内角和定理（三角形的内角和等于180°）得出n边形的内角和是（n 2） 180°；
（2）设多边形的一个外角为α°，则与其相邻的内角为（3α＋20）° ，根据内角与其相邻的外角的和是180°列出方程，求出α的值，再由多边形的外角和为360°求出此多边形的边数为360°÷α，然后根据多边形内角和公式求解；
（3）利用多边形内角和公式（n-2）×180°推断出内角和应是180°的倍数，进而计算出多加的外角度数为100°，再利用多边形内角和公式求出多边形的边数是8.
15．
（1）如图1，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= °.
（2）若将图1中星形的一个角截去，如图2，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= °.
（3）若再将图2中图形的角截去，如图3，则由(2)中所得的方法或规律，猜想∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠F+∠H+∠M+∠N= °.
【答案】（1）180
（2）360
（3）1080
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）如图1，
∵∠1=∠2+∠D=∠B+∠E+∠D，∠A+∠C+∠1=180°，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ∠A+∠C+∠1=180°；
故答案为：180；
（2）如图2，∵∠2=∠1+∠F=∠B+∠E+∠F，∠A+∠C+∠2+∠D=360°，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ∠A+∠C+∠2+∠D=360°；
故答案为：360；
（3）由（1）（2）知：每截去一个角则增加180°，当截去5个角时，增加了180°×5的度数，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠F+∠H+∠M+∠N=180°+180°×5=1080°.
故答案为：1080.
【分析】（1）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质求解即可；
（2）根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°进行解答即可；
（3）由（1）（2）知：每截去一个角则增加180°，当截去5个角时，增加了180°×5的度数，据此即可求解.
16．（2024七下·恩施月考）已知，的平分线与的平分线相交于点F．
（1）在图1中，求证：
①；
②；
（2）如图2，当，时，请你写出与之间的关系，并加以证明；
（3）当，，且时，请你直接写出的度数（用含m，n的式子表示）
【答案】（1）证明：①如图1，过点作
，
，
，
证明：②如图1，过点作
，
，
即；
（2）解：关系式为，
证明：设，
，时，且平分，平分，
，
由（1）得，
，
，
，
即，
，
（3）解：设则
，，
由（1）可得
，
，
，
，
，
即的度数（用含m，n的式子表示）表示为
【知识点】平行公理及推论；平行线的性质；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）①过点E作EN∥AB，由平行于同一直线的两条直线互相平行，得AB∥CD∥EN，由二直线平行，同旁内角互补，得∠CDE+∠NED=180°，∠ABE+∠BEN=180°，然后将两个等式相加可得结论；
②过点F作FG∥AB，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，可得AB∥CD∥FG，根据二直线平行，内错角相等，可得∠CDF=∠GFD，∠ABF=∠BFG，进而根据角的和差及等量代换可得结论；
（2）∠M与∠E之间的关系为：∠E+6∠M=360°，理由如下：设∠ABM=x，∠CDM=y，由已知及角平分线定义得∠FBM=2x，∠EBF=3x，∠FDM=2y，∠EDF=3y，则∠EBM=5x，∠EDM=5y，根据（1）中①的结论的6x+6y+∠E=360°，根据四边形的内角和定理可推出∠M=x+y，从而可得结论∠E+6∠M=360°；
（3）设∠ABM=x，∠CDM=y，由已知及角平分线定义得∠FBM=(n-1)x，∠EBF=nx，∠FDM=(n-1)y，∠EDF=ny，根据（1）中①的结论的2nx+2ny+∠E=360°，则，进而结合四边形的内角和定理可得.
1 / 1
