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2不等式、向量、复数
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
5．（2022·全国·高考真题）已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2022·全国·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（2022·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A．-1 B．0 · C．1 D．2
9．（2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C．0 D．1
11．（2023·全国·高考真题）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．（2022·全国·高考真题）（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·全国·高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2022·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
16．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
17．（2021·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2021·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
19．（2021·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
20．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
21．（2023·全国·高考真题）已知向量，满足，，则 ．
22．（2022·全国·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
23．（2021·全国·高考真题）已知向量，，， ．
24．（2021·全国·高考真题）已知向量，若，则 ．
25．（2021·全国·高考真题）已知向量．若，则 ．
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2不等式、向量、复数
一、单选题
1．（2022·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知，再利用基本不等式，换底公式可得，，然后由指数函数的单调性即可解出．
【详解】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数，则，
令，解得，由知.
在 上单调递增，所以，即 ，
又因为，所以.
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
2．（2023·全国·高考真题）已知向量满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为,所以,
即,即,所以.
如图,设,
由题知,是等腰直角三角形,
AB边上的高,
所以,
,
.
故选:D.
3．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
4．（2022·全国·高考真题）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．5 D．6
【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解：,,即,解得,
故选：C
5．（2022·全国·高考真题）已知向量，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】先求得，然后求得.
【详解】因为，所以.
故选：D
6．（2022·全国·高考真题）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
7．（2022·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上，，所以，即，
所以．
故选：B．
8．（2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A．-1 B．0 · C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【详解】因为，
所以，解得：．
故选：C.
9．（2023·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
【详解】由题意可得，
则.
故选：B.
10．（2023·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．
【详解】因为，所以，即．
故选：A．
11．（2023·全国·高考真题）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
12．（2022·全国·高考真题）（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数的乘法可求.
【详解】，
故选：D.
13．（2022·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
故选 ：C
14．（2022·全国·高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】
由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，
得,即
故选:
15．（2022·全国·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用复数的除法可求，从而可求.
【详解】由题设有，故，故，
故选：D
16．（2021·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.
【详解】，所以该复数对应的点为，
该点在第一象限，
故选：A.
17．（2021·全国·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.
【详解】设，则，则，
所以，，解得，因此，.
故选：C.
18．（2021·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】，
.
故选：B.
19．（2021·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为，故，故
故选：C.
二、多选题
20．（2022·全国·高考真题）若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
三、填空题
21．（2023·全国·高考真题）已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
22．（2022·全国·高考真题）设向量，的夹角的余弦值为，且，，则 ．
【答案】
【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
23．（2021·全国·高考真题）已知向量，，， ．
【答案】
【分析】由已知可得，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得，
因此，.
故答案为：.
24．（2021·全国·高考真题）已知向量，若，则 ．
【答案】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
25．（2021·全国·高考真题）已知向量．若，则 ．
【答案】.
【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值
【详解】,
，解得,
故答案为：.
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量垂直的充分必要条件是其数量积.
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