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2023-2024人教版七年级数学下册第八章《二元一次方程组》
单元综合测试（原卷版）
选择题
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（ ）
A． B． C． D．
3．如果方程组 的解为 ，那么“口”和“△”所表示的数分别是（ ）
A．14，4 B．11，1 C．9，-1 D．6，-4
4．《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器5个、小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小容器5个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？”设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积y斛，则根据题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
5．若方程x-y=3与下列方程中的一个组成的方程组的解为 则这个方程可以是（ ）
A．3x-4y=16 B． x+2y=5 C．- x+3y=8 D．2（x-y）=6y
6．若关于 的方程组 的解满足 ，则 的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
7．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根高出水面的长度是它的 ，另一根高出水面的长度是它的.若两根铁棒长度之和为110cm，则此时木桶中水的深度为 （ ）
A．60cm B．50cm C．40 cm D．30cm
9．已知关于，的方程组，以下结论：当时，方程组的解也是方程的解；存在实数，使得；不论取什么实数，的值始终不变；若，则其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④
10．将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m．则m的最大值是（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
二、填空题
11．已知方程 ，用含 的代数式表示 ，那么 ＝ 。
12．若方程组 ，则 的值是 ．
13．已知关于x，y的二元一次方程组有下列说法：①当x与y相等时，解得；②当x与y互为相反数时，解得；③若，则；④无论k为何值，x与y的值一定满足关系式，其中正确的序号是 ．
14．我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图是一个简单的二阶幻圆模型，若内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则 ； ．
15．如图，长方形ABCD中放入一个边长为10的的正方形AEFG，和两个边长都为5的正方形CHIJ及正方形DKMN. ， ， 表示对应阴影部分的面积，若 ，且AD，AB的长为整数，则 的值是 ．
三、解答题
16．列方程组解应用题
5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨.进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月份减少了15%，乙工厂用水量比5月份减少了10%，两个工厂6月份用水量共为174吨，求两个工厂5月份的用水量各是多少
17．若(3a+2b-c)2与 互为相反数，求a、b、c的值．
18．小明同学解方程组 的过程如下：
解：①×2，得2x﹣6y＝2③③﹣②，得﹣6y﹣y＝2﹣7﹣7y＝﹣5，y＝ ；把y＝ 代入①，得x﹣3× ＝1，x＝ 所以这个方程组的解是
你认为他的解法是否正确？若正确，请写出每一步的依据；若错误，请写出正确的解题过程．
19．某中学七年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜25元．
（1）求篮球和排球的单价各是多少；
（2）商店里搞活动，有两种套餐，①套餐打折：五个篮球和五个排球为一套餐，套餐打八折；②满减活动：满999减100，满1999减200；两种活动不重复参与，学校打算购买14个篮球，12个排球，请问如何安排更划算？
20．已知关于x，y的二元一次方程组
（1）请直接写出方程2x+y-6=0的所有正整数解.
（2）若方程组的解满足x-y=0，求m的值.
（3）若方程组无解，求m的值.
（4）无论实数m取何值，方程2x-2y+my+8=0总有一个固定的解，请求出这个解.
21．某企业在“蜀南竹海”收购毛竹，直接销售，每吨可获利100元，进行粗加工，每天可加工8吨，每吨可获利800元；如果对毛竹进行精加工，每天可加工1吨，每吨可获利4000元．由于受条件限制，每天只能采用一种方式加工，要求将在一月内（30天）将这批毛竹93吨全部销售．为此企业厂长召集职工开会，让职工讨论如何加工销售更合算．
甲说：将毛竹全部进行粗加工后销售；
乙说：30天都进行精加工，未加工的毛竹直接销售；
丙说：30天中可用几天粗加工，再用几天精加工后销售；
请问厂长应采用哪位说的方案做，获利最大？
22．李老师让全班同学们解关于x、y的方程组 （其中a和b代表确定的数），甲、乙两人解错了，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错了②中的b，解得 ，请你求出这个方程组的符合题意解．
23．某地汛期来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图1，灯A射线自AM 顺时针旋转至AN 便立即回转，灯 B 射线自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯 A 转动的速度是a°/秒，灯 B转动的速度是b°/秒，且a，b满足|a-3b|+(a+b-4) =0.假定这一带江堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°.
（1）求a，b的值.
（2）若灯 B射线先转动30秒，灯A 射线才开始转动，在灯 B射线到达BQ 之前，灯 A 转动几秒，两灯的光束互相平行
（3）如图2，两灯同时转动，在灯 A 射线到达AN 之前，若两灯射出的光束相交于点C，过点C作CD⊥AC，交 PQ 于点 D，则在转动过程中，∠BCD：∠BAC的值是否发生变化 若不变，请求出该值；若改变，请求出其取值范围.
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2023-2024人教版七年级数学下册第八章《二元一次方程组》
单元综合测试（答案解析版）
选择题
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的定义
【解析】【解答】解：A、x的次数是2，不是二元一次方程，错误；
B、y在分母上，不是整式方程，不是二元一次方程，错误；
C、方程含有三个未知数，不是二元一次方程，错误；
D、符合二元一次方程的定义，是二元一次方程，正确.
故答案为：D.
2．已知x，y满足方程组，则无论m取何值，x，y恒有关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
由②得，x=2y+m
代入①中可得3(2y+m)-y=5-2m，
∴5y=5-5m，
∴y=1-m
将y=1-m代入②中可得x-2(1-m)=m，
∴x=-m+2，
∴x-y=-m+2-(1-m)=1.
故答案为：C.
3．如果方程组 的解为 ，那么“口”和“△”所表示的数分别是（ ）
A．14，4 B．11，1 C．9，-1 D．6，-4
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】把x=5代入x-2y=3，得5-2y=3，解得：y=1，即△表示的数为1，
把x=5，y=1代入2x+y=口，得10+1=口，所以口=11，
故答案为：B.
4．《九章算术》中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”译文：“今有大容器5个、小容器1个，总容量为3斛；大容器1个、小容器5个，总容量为2斛．问大小容器的容积各是多少斛？”设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积y斛，则根据题意可列方程组（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解： 设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积y斛，由题意，
得.
故答案为：A.
5．若方程x-y=3与下列方程中的一个组成的方程组的解为 则这个方程可以是（ ）
A．3x-4y=16 B． x+2y=5 C．- x+3y=8 D．2（x-y）=6y
【答案】D
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：A、 3x-4y=3×4-4×1=8≠16 ，错误；
B、 x+2y=×4+2×1=1+2≠5 ，错误；
C、 - x+3y=- ×4+3×1=1≠8 ，错误；
D、 ∵2（x-y）=2×（4-1）=6，6y=6×1=6，∴ 2（x-y）=6y ，正确；
故答案为：D.
6．若关于 的方程组 的解满足 ，则 的值为（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解： ，
∴由①×7+②，得：18x=36k+42，
解得：x=2k+，
把x=2k+3代入①，解得：y=-k-，
又∵x+y=2022，
∴2k+-k-=2022，
∴k=2021.
故答案为：B.
7．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，则方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由 得，
∵的解为，
∴的解为：，
∴.
故答案为：B.
8．如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根高出水面的长度是它的 ，另一根高出水面的长度是它的.若两根铁棒长度之和为110cm，则此时木桶中水的深度为 （ ）
A．60cm B．50cm C．40 cm D．30cm
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设一根铁棒长度为x厘米，令一根铁棒长度为y厘米，
，
解得：，
∴此时木桶中水的深度为：，
故答案为：C.
9．已知关于，的方程组，以下结论：当时，方程组的解也是方程的解；存在实数，使得；不论取什么实数，的值始终不变；若，则其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，（方程①+）得：，将代入方程①得：，解得：.
①当时 ，，
，
∴当时 ，方程组的解也是方程 的解 ，∴结论①正确；
②∵，∴当时，，即，∴存在实数，使得；∴结论②正确；
③∵，∴不论取什么实数，的值始终不变 ，结论③正确；
④∵∴，解得：，结论④错误.
∴正确的结论有①②③.
故答案为：A.
10．将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m．则m的最大值是（ ）
A．23 B．24 C．25 D．26
【答案】B
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】 解：将1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这个10个自然数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于m，其总和为3m，其中居中的2个格子所填之数被相加了2次。
设：居中被相加2次的格子的数分别为x和y，依题意得：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+x+y=55+x+y
∴ 3m=55+x+y
当x和y最大时，m取得最大值；
x和y为9和10时满足题意；
∴m的最大值为24
故本题应选：B
二、填空题
11．已知方程 ，用含 的代数式表示 ，那么 ＝ 。
【答案】10y+40
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】
移项
系数化为1 .
12．若方程组 ，则 的值是 ．
【答案】24
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
∵ ，
∴ ．
故答案为：24．
13．已知关于x，y的二元一次方程组有下列说法：①当x与y相等时，解得；②当x与y互为相反数时，解得；③若，则；④无论k为何值，x与y的值一定满足关系式，其中正确的序号是 ．
【答案】①②③④
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】 ①当x与y相等时， 原方程组变形为：，解这个方程组得：k=-4，所以①正确；
②当x与y互为相反数时， 原方程组变形为：，解这个方程组得：k=3，所以 ② 正确；
③若 ，则22x.23y=25所以2x+3y=5，解方程组得：7x=6k-5，解方程组得：7x=5k+6，所以6k-5=5k+6，解得：k=11，所以 ③ 正确；
④ 原方程组变形为：，消去k，得x+5y+12=0，所以④正确。
故第1空答案为： ①②③④
14．我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．如图是一个简单的二阶幻圆模型，若内外两个圆周上四个数字之和以及外圆两直径上的四个数字之和都相等，则 ； ．
【答案】；
【知识点】三元一次方程组解法及应用
【解析】【解答】解：由题意得：
化简得：
由②得：9+a=18
∴a=9
把a=9代入①得：14+c=18+b
∴b-c=14-18=-4
故答案为：9；-4.
15．如图，长方形ABCD中放入一个边长为10的的正方形AEFG，和两个边长都为5的正方形CHIJ及正方形DKMN. ， ， 表示对应阴影部分的面积，若 ，且AD，AB的长为整数，则 的值是 ．
【答案】2或3
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解 ：设
则
当 时，
当 时，
综上述，
三、解答题
16．列方程组解应用题
5月份，甲、乙两个工厂用水量共为200吨.进入夏季用水高峰期后，两工厂积极响应国家号召，采取节水措施.6月份，甲工厂用水量比5月份减少了15%，乙工厂用水量比5月份减少了10%，两个工厂6月份用水量共为174吨，求两个工厂5月份的用水量各是多少
【答案】解：设甲工厂5月份用水量为x吨，乙工厂5月份用水量为y吨，
根据题意得： ，
解得： ，
∴甲工厂5月份用水量为120吨, 乙工厂5月份用水量为80吨.
若(3a+2b-c)2与 互为相反数，求a、b、c的值．
【答案】解：依题可得：(3a+2b-c)2+ | 2 a + b | + | 2 b + c |=0，
∴，
（1）+（3）得：
3a+4b=0（4），
（2）×4-（4）得：
a=0，
∴b=c=0，
∴a=b=c=0.
【知识点】三元一次方程组解法及应用；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【分析】根据互为相反数的和为0可得：(3a+2b-c)2+ | 2 a + b | + | 2 b + c |=0，再由绝对值和平方的非负性得一个关于a、b、c的三元一次方程组，解之即可得出答案.
18．小明同学解方程组 的过程如下：
解：①×2，得2x﹣6y＝2③③﹣②，得﹣6y﹣y＝2﹣7﹣7y＝﹣5，y＝ ；把y＝ 代入①，得x﹣3× ＝1，x＝ 所以这个方程组的解是
你认为他的解法是否正确？若正确，请写出每一步的依据；若错误，请写出正确的解题过程．
【答案】解：错误
①×2，得 2x-6y=2 ③，
③-②，得-6y+y=2-7
-5y=-5
y=1
把y=1代入①得x-3×1=1
x=4
所以这个方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】由题意可知此题错在运用加减消元法时符号错误了，将“-”改为“+”即可.
19．某中学七年级（1）班去体育用品商店买一些篮球和排球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个排球，花570元，并且每个排球比篮球便宜25元．
（1）求篮球和排球的单价各是多少；
（2）商店里搞活动，有两种套餐，①套餐打折：五个篮球和五个排球为一套餐，套餐打八折；②满减活动：满999减100，满1999减200；两种活动不重复参与，学校打算购买14个篮球，12个排球，请问如何安排更划算？
【答案】（1）解：设篮球单价为每个 元，排球单价为每个 元，
由题意可得 ，
解方程组得 ，
答：篮球每个90元，排球每个65元；
（2）解：若按照①套餐打折购买费用为： （元 ，
若参加②满减活动购买费用为： （元 ，
又 ，
所以 （元 ．
而 ，所以选择套餐①所花费用比选择套餐②所花费用低．
答：选用套餐①购买更划算．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】（1）设篮球单价为每个x元，排球单价为每个y 元，根据题意列出方程组，解方程组求出x，y的值，即可得出答案；
（2）分别求出方案①和方案②购买的费用，再进行比较，即可得出答案.
20．已知关于x，y的二元一次方程组
（1）请直接写出方程2x+y-6=0的所有正整数解.
（2）若方程组的解满足x-y=0，求m的值.
（3）若方程组无解，求m的值.
（4）无论实数m取何值，方程2x-2y+my+8=0总有一个固定的解，请求出这个解.
【答案】（1）解：或
（2）解：若方程组的解满足x-y=0，则
由方程2x+y-6=0和x-y=0组方程组得：
解得：
把代入2x-2y+my+8=0中得：m=-4.
∴m的值为-4.
（3）解：关于x、y的二元一次方程组可整理为
①-②得：（3-m）y=14，
∴当m=3时，方程组无解
（4）解：∵2x-2y+my+8=2x+（m-2）y+8=0，
∴当y=0时，x=-4，
∴无论实数m取何值，方程总有一个固定的解为
【知识点】二元一次方程组的解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）由方程2x+y-6=0得：2x=6-y.由题意得，x、y都是正整数，
∴y为偶数且6-y>0.
∴当y=2时，x=2；当y=4时，x=1；
∴方程2x+y-6=0的正整数解为：
或
21．某企业在“蜀南竹海”收购毛竹，直接销售，每吨可获利100元，进行粗加工，每天可加工8吨，每吨可获利800元；如果对毛竹进行精加工，每天可加工1吨，每吨可获利4000元．由于受条件限制，每天只能采用一种方式加工，要求将在一月内（30天）将这批毛竹93吨全部销售．为此企业厂长召集职工开会，让职工讨论如何加工销售更合算．
甲说：将毛竹全部进行粗加工后销售；
乙说：30天都进行精加工，未加工的毛竹直接销售；
丙说：30天中可用几天粗加工，再用几天精加工后销售；
请问厂长应采用哪位说的方案做，获利最大？
【答案】解：（1）若将毛竹全部进行粗加工后销售，则可以获利93×800=74 400元；（2）30天都进行精加工，可加工数量为30吨，此时获利30×4000=120 000元，
未加工的毛竹63吨直接销售可获利63×100=6300元，
因此共获利30×4000+63×100=126300元；（3）设x天粗加工，y天精加工，则
， 解之得
所以9天粗加工数量为9×8=72吨，可获利72×800=57600元，
21天精加工数量为21吨可获利21×4000=84000，因此共获利141600，
所以（3）＞（2）＞（1）， 即第三种方案获利最大．
点睛：此题关键是把实际问题抽象到解方程组中，利用方程组来解决问题，属于基础题型．得出等量关系是解题的关键．
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】(1)、若将毛竹全部进行粗加工后销售，则获利为93×800元；(2)、30天都进行精加工，则可加工30吨，可获利30×4000，未加工的毛竹63吨直接销售可获利63×100，因此共获利30×4000+63×100；(3)、30天中可用几天粗加工，再用几天精加工后销售，则可根据“时间30天”，“共93吨”列方程组进行解答．
22．李老师让全班同学们解关于x、y的方程组 （其中a和b代表确定的数），甲、乙两人解错了，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错了②中的b，解得 ，请你求出这个方程组的符合题意解．
【答案】解：由题意可知，
把 代入方程②中，得b+4=7，解得b=3；
把 代入方程①中，得-2+a=1，解得a=3；
把 代入方程组，可得 ，
解得： ，
∴原方程组的解应为 ．
【知识点】解二元一次方程组
【解析】【分析】把甲的解代入方程②求出b的值，把乙的解代入①求出a的值，确定出方程组，求出正确的解即可．
23．某地汛期来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况.如图1，灯A射线自AM 顺时针旋转至AN 便立即回转，灯 B 射线自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯 A 转动的速度是a°/秒，灯 B转动的速度是b°/秒，且a，b满足|a-3b|+(a+b-4) =0.假定这一带江堤是平行的，即PQ∥MN，且∠BAN=45°.
（1）求a，b的值.
（2）若灯 B射线先转动30秒，灯A 射线才开始转动，在灯 B射线到达BQ 之前，灯 A 转动几秒，两灯的光束互相平行
（3）如图2，两灯同时转动，在灯 A 射线到达AN 之前，若两灯射出的光束相交于点C，过点C作CD⊥AC，交 PQ 于点 D，则在转动过程中，∠BCD：∠BAC的值是否发生变化 若不变，请求出该值；若改变，请求出其取值范围.
【答案】（1）解：∵
∴
∴
（2）解：设灯A转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当时，
解得：
②当时，
解得：
③当时，
解得：，则舍去，
综上所述，灯A转动15秒或82.5秒时， 两灯的光束互相平
（3）解：不变，
设灯A转动t秒，
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据非负数之和为0，则两个非负数均为0，据此即可求解；
（2）设灯A转动t秒，两灯的光束互相平行，分三种情况讨论，①当时，②当时，③当时，分别列出方程即可求解；
（3）设灯A转动t秒，用含t的式子表示出∠BAC和∠BCD，进而即可求解.
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