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人教版八年级数学下册课件
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
（2课时）
第1课时 认识二次根式
自主学习
自主导学
1.二次根式的概念：一般地，我们把形如___________的式子叫做二次根式.
2.二次根式含有二次根号“”，被开方数或者式子 必须是______的，
二次根式 才有意义.
非负
典例分享
例 已知.求 的立方根.
[答案] 解 ，
解得 .
.
.
的立方根是 .
方法感悟
1.被开方数要为非负数，二次根式才有意义.
2.二次根式的值为0时，被开方数也为0.
轻松达标
1.下列式子一定是二次根式的是( ) .
A
A. B. C. D.
2.若是二次根式，则 的值可能是( ) .
D
A. B. C. D.2
3.当时，二次根式 的值是( ) .
A
A.3 B.2 C.1 D.
4.若式子在实数范围内有意义，则 的取值范围是( ) .
A
A. B. C. D.
5.要使二次根式在实数范围内有意义，则 的取值范围在数轴上
表示为( ) .
A. B. C. D.
D
6.下列各式中，无意义的是( ) .
C
A. B. C. D.
7.下列各式一定有意义的是( ) .
C
A. B. C. D.
8.若式子有意义，则 的取值范围是( ) .
C
A. B. C.且 D.且
9.若，满足 ，则在平面直角坐标系中，点
所在的象限是( ) .
D
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
10.二次根式 的最小值为( ) .
A
A.0 B.1 C. D.不能确定
11.若是整数，则正整数 的最小值是( ) .
B
A.3 B.7 C.9 D.63
12.（易错题）已知，求 的值.
[答案] 2 024
能力提升
13.请认真阅读下列这道例题的解法并填空.
例：已知，求， 的值.
解：由
得 ______，
______.
2 023
2 024
（1）尝试应用：若，为实数，且 ，化简
.
[答案]
（2）拓展创新：已知，求 的值.
[答案]
中考链接
14.（2023·永州）已知为正整数，写出一个使 在实数范围内没有
意义的 值是_________________.
1（答案不唯一）
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第十六章 二次根式
16.3 二次根式的加减
（2课时）
第2课时 二次根式的混合运算
自主学习
自主导学
1.在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内依然成立.
2.在二次根式的运算中，多项式乘法______和乘法______仍然适用.
法则
公式
典例分享
例 已知为实数，化简： .
[答案] 解 原式
.
方法感悟
1.二次根式的混合运算，顺序与有理数的混合运算遵循的顺序一致.
2.注意运算的最后结果一定要化为最简的形式.
轻松达标
1.下列运算正确的是( ) .
B
A. B.
C. D.
2.下列各式正确的是( ) .
B
A.
B.
C.
D.
3.老师设计了一个接力游戏，用合作的方式完成二次根式运算，规则是：
每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一
人，最后完成化简.过程如图16.3-1所示：
在这个接力游戏中，自己负责的一步出现错误的是( ) .
A
图16.3-1
A.只有乙 B.甲和丁
C.乙和丙 D.乙和丁
4.最简二次根式与在二次根式加减运算中可以合并，则
的值为___.
5.计算 的结果是___.
6.计算： ___.
7.计算 的值是___.
8.计算 的结果是_______.
9.若，则___， _____.
5
9
1
4
3
10.符号“*”表示一种新的运算，规定：，则 的
值为____.
11.若，当，，均为正整数时，则 的值为
______.
9或6
12.观察下列等式并填空.
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
……
仿照上面等式，写出第 个等式为___________________________.
请计算： ___________.
能力提升
13.因为是无理数，且无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分不
能全部写出来，但是根据 的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，
差就是小数部分，所以它的小数部分可以写成 .请解决下面问题.
（1） 的整数部分是___，小数部分是_________.
4
（2）如果的小数部分是，的整数部分是，求 的值.
[答案] 7
提示：，
（3）若，其中是整数，且，求 的值.
[答案] ，其中是整数，且， ，
14.请阅读下列材料.
问题：已知，求代数式 的值.
小敏的做法是：根据得， ，
得.把作为整体代入，得 .
即把已知条件适当变形，再整体代入解决问题.
请你用上述方法解决下列问题.
（1）已知，求代数式 的值.
[答案] ，
（2）已知，求代数式 的值.
[答案] ， .
中考链接
15.［2021·泰州（改编）］下列各组二次根式中，化简后可以进行合并
的是( ) .
D
A.与 B.与 C.与 D.与
16.（2021·梧州）下列计算正确的是( ) .
D
A. B.
C. D.
图16.3-2
17.（2019·淄博）如图16.3-2，长方形内有两个相
邻的正方形，其面积分别为2和8，则图中阴影部
分的面积为( ) .
B
A. B.2 C. D.6
18.（2023·潍坊）从，， 中任意选择两个数，分别填在算式
里面的“”与“ ”中，计算该算式的结果是
_ ___________________________.（只需写出一种结果）
（答案不唯一）
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第十六章 二次根式
16.2 二次根式的乘除
（2课时）
第1课时 二次根式的乘法
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1.二次根式的乘法法则：
___0，___0
2.二次根式化简：
___0，___0
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例 下列各式中，从左到右的变形正确的是( ) .
C
A.
B.
C.
D.
[解析] 解 ，A选项不符合题意；当 时，
，B选项不符合题意；
，C选项符合题意；
，
，D选项
不符合题意．故选C.
方法感悟
1.二次根式的乘法，可以将被开方数先相乘，再进行开方.
2.二次根式的化简，可以将被开方数中开得尽方的因数和因式先开方，
再把最后的结果相乘.
轻松达标
1.计算 ( ) .
B
A. B. C. D.
2.下列各式中，与 的乘积为有理数的是( ) .
C
A. B. C. D.
3.下列运算正确的是( ) .
D
A. B.
C. D.
4.下列计算正确的是( ) .
B
A. B.
C. D.
5.计算 的结果是( ) .
A
A. B. C. D.
6.若，，则 ( ) .
C
A. B. C. D.
7.如果成立，那么 的取值范围是( ) .
A
A. B. C. D. 为任意实数
8.当时，化简 的结果是( ) .
C
A. B. C. D.
9.下列各式中，一定成立的有( ) .
A
； ；
； .
A.① B.①④ C.①③④ D.①②③④
11.，则 ____.
10.已知，则 ___.
能力提升
12.（1）用“ ”“ ”或“”填空：___，___ .
（2）猜想与 的大小.
[答案]
如图16.2-1
（3）请利用上述结论解决下面问题：
某园林设计师要对园林的一个区域进行设计改
造，将该区域用篱笆围成长方形的花圃.如图16.2-1所
[答案] 设花圃的长为，宽为，则，， ，
根据（2）的结论可得， 篱笆至
少需要
示，花圃恰好可以借用一段墙体，为了围成面积为 的花圃，所用
的篱笆至少需要多少米？
中考链接
13.（2023·衡阳）对于二次根式的乘法运算，一般地，有 .
该运算法则成立的条件是( ) .
D
A.， B.， C.， D.，
14.（2023·益阳）计算： ____.
10
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第十六章 二次根式
16.2 二次根式的乘除
（2课时）
第2课时 二次根式的除法
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自主导学
1.二次根式的除法法则：
___0，___
2.二次根式化简:
___0，___
3.最简二次根式:
（1）被开方数不含______.
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
（3）分母中不含二次根式.
分母
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例 如果， ，那么下列各式中正确的是( ) .
B
A. B.
C. D.
[解析] 解 ，，，， 无意义.
选项的结论不正确．， 选项的结论正确.
， 选项的结论不正确.
， 选项的结论不正确.故选B.
方法感悟
1.二次根式的除法运算可以先把被开方数相除，再化简.
2.二次根式化简可以将被开方数中的分子分母分别开方，再把结果
相除.
3.计算的最后结果要化为最简二次根式（即要满足最简二次根式的
条件）.
轻松达标
1.计算 的结果为( ) .
C
A. B. C.2 D.
2.化简 的结果是( ) .
B
A. B. C. D.7
3.等式成立时 的取值范围在数轴上可表示为( ) .
B
A. B. C. D.
4.下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) .
C
A. B. C. D.
5.去掉分母中的根号后， 变形得( ) .
D
A. B. C. D.
6.下列运算正确的是( ) .
B
A.
B.
C.
D.
7.我们把形如（，为有理数， 为最简二次根式）的数叫做
型无理数，如是型无理数，则 是( ) .
B
A.型无理数 B.型无理数 C.型无理数 D. 型无理数
8.（易错题）已知，，那么与 的关系为( ) .
B
A.互为相反数 B.互为倒数 C.相等 D.绝对值相等
能力提升
9.【材料阅读】把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫
做分母有理化.
例：化简 .
解： .
上述化简过程，就是进行分母有理化.
（1）化简 的结果为_______.
（2）猜想：若是正整数，则 进行分母有理化的结果为
____________.
（3）若有理数，满足，求， 的值.
[答案] ，
【问题解决】
中考链接
10.（2021·桂林）下列根式中，是最简二次根式的是( ) .
D
A. B. C. D.
11.（2022·随州）已知为正整数，若 是整数，则根据
可知有最小值.设 为
正整数，若
是大于1的整数，则 的最小值为___，最大值为____.
3
75
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第十六章 二次根式
16.1 二次根式
（2课时）
第2课时 算术平方根及化简
自主学习
自主导学
1.二次根式表示求的算术平方根，所以 计算化简后的结果
也是非负数，即 .
2.二次根式的性质：
（1）当时， ___.
（2）____
典例分享
例 实数，， 在数轴上的位置如图16.1-1所示，化简：
.
图16.1-1
[答案] 解 由图16.1-1可知，，， ，所以
， .
所以，， .
所以 .
方法感悟
可以直接化简为，再根据 的取值去掉绝对值符号.
轻松达标
1. ( ) .
C
A. B. C.1.5 D.2.25
2.计算 的结果是( ) .
B
A. B.3 C. D.9
3.当时， ( ) .
B
A. B. C. D.
4.下列各式成立的是( ) .
B
A. B. C. D.
5.若成立，则 的取值范围是( ) .
C
A. B. C. D.
6.对于实数，，如果 ，那么以下结论正确的是
( ) .
C
A. B. C. D.
7.当时，代数式 的值是( ) .
A
A.1 B. C. D.
8.计算：
（1） ___.
（2） ___.
（3） ____.
（4） ____.
6
5
0.5
（5） __.
（6） ___.
（7） _______.
（8） __________.
5
9.（易错题）实数，， 在数轴上的位置如图16.1-2所示.
图16.1-2
（1）判断正负，用“ ”或“ ”填空：___0，___0， ___0.
（2）化简： .
[答案]
能力提升
10.阅读下列解题过程.
例：若代数式，求 的取值.
解：原式 ，
当时，原式，解得
（舍去）；
当时，原式 ，等式恒成立；
当时，原式，解得 .
所以的取值范围是 .
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解
答问题.
（1）当时，化简： ___.
（2）请直接写出满足的 的取值范围：
__________.
4
（3）若，求 的取值.
[答案] 或4
中考链接
11.（2023·泰州）计算 等于( ) .
B
A. B.2 C.4 D.
12.（2023·上海）下列运算正确的是( ) .
A
A. B. C. D.
13.（2020·攀枝花）实数， 在数轴上的位置如图16.1-3所示，化简
的结果是( ) .
图16.1-3
A. B.0 C. D.
A
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第十六章 二次根式
第十六章 二次根式
知识梳理、真题剖析
单元练习
知识梳理
二 次 根 式 二次根 式的定 义与性 质 1.二次根式的定义：形如 的式子叫做二次根式.
2.二次根式的性质：具有双重非负性，一方面， 可以
是数或代数式，但必须都是非负的，即 ；另一方
面，表示的算术平方根，那么 .
二 次 根 式 二次根 式的乘 除 1.二次根式的乘除： ；
.公式可以正向使用，也可以逆向使
用，请注意此时， 的符号要求.
2.最简二次根式：
①被开方数不含______________；
②被开方数中不含____________________________；
③分母中不含二次根式.
续表
二 次 根 式 二次根 式的 加 减 二次根式的加减法：先将二次根式化成最简二次根式，再
将__________相同的二次根式进行合并.二次根式的加减
法运算结果应写成________的形式.
续表
真题剖析
考点1 二次根式的化简
图1
例1 （2022·内蒙古）实数 在数轴上的对应位置如图1
所示，则 的化简结果是( ) .
B
A.1 B.2 C. D.
[解析] 根据数轴得，， 原式
.故选B.
考点1 变式
（2022·遂宁）实数， 在数轴上的位置如图2所示，化简
___.
图2
2
考点2 二次根式的运算
例2 （2020·荆州）若为实数，在“”的“ ”中添上一种运算
符号（在“，， ， ”中选择）后，其运算的结果为有理数，则
不可能是( ) .
C
A. B. C. D.
[解析] 对于A， ，结果为有理数；对于B，
，结果为有理数；对于C，
， ，
， ，结果都不是有理
数；对于D， ，结果为有理数．故选C.
考点2 变式
（2022·湖北）下列各式计算正确的是( ) .
D
A. B.
C. D.
单元练习
一、选择题
1.下列二次根式中，的取值范围是 的是( ) .
C
A. B. C. D.
2.下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) .
A
A. B. C. D.
3.下列二次根式中，不能与 合并的是( ) .
B
A. B. C. D.
4.若 ，则( ) .
B
A. B. C. D.
5.已知，，为三个整数，若， ，
，则，， 的大小关系是( ) .
D
A. B. C. D.
6.已知，则 的值为( ) .
A
A. B.15 C. D.
7.如果最简二次根式与能够合并，那么 的值为
( ) .
D
A.2 B.3 C.4 D.5
8.下列各式计算正确的是( ) .
C
A. B.
C. D.
9.已知是整数，则正整数 的最小值是( ) .
C
A.4 B.5 C.6 D.2
10.已知，，则 的值为( ) .
B
A.2 B.4 C.5 D.7
二、填空题
11.计算：____； ____.
12.若两个连续整数，满足，则 的值是___.
13.已知实数，满足，则以， 的值为两边长的
等腰三角形的周长是____.
14.已知一个正数的两个平方根分别是和，则 的值是___.
13
7
20
2
15.使用手机付款时，常常需要用到密码.嘉嘉学完二次根式后，突发奇想，
决定用“二次根式法”来产生密码.例如，对于二次根式 ，计算结果为
13，中间加一个大写字母，就得到一个六位密码“ ”.按照这种产
生密码的方法，则利用二次根式 产生的六位密码是________.
16.设的整数部分是，小数部分是，则 的值是____.
10
三、解答题
17.计算：
（1） ；
[答案]
（2） .
[答案]
18.先化简，再求值：，其中 .
[答案]
19.先观察“比较与 的大小”这个问题的解答过程，再解决
后面提出的问题.
解：， ，
， .
又 ，
.
（1）试用以上方法，比较与 的大小.
[答案] ，而 ，
，即
（2）填空：___.（填“ ”或“ ”）
20.阅读材料，解答下列问题.
材料：已知，求 的值.
小明同学是这样解答的：
，
由已知得 ，
.
这种解题方法称为“构造对偶式”.
问题：已知 .
（1）求 的值.
[答案] ，而 ，
（2）求 的值.
[答案] 由（1）得，又 ，
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第十六章 二次根式
16.3 二次根式的加减
（2课时）
第1课时 二次根式的加减
自主学习
自主导学
1.二次根式的加减法：一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化
成______二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行______.
2.二次根式进行合并的原理：先将二次根式化为______二次根式，再将
被开方数相同的二次根式进行______.
最简
合并
最简
合并
典例分享
例 计算： .
[答案] 解 .
方法感悟
1.在进行二次根式的加减运算前，必须先将二次根式化为最简二次
根式.
2.几个最简二次根式的被开方数相同时才能进行加减运算.
轻松达标
1.下列二次根式中，可以与 合并的是( ) .
B
A. B. C. D.
2.若，则 的值为( ) .
D
A. B.1 C.2 D.3
3.有下列二次根式：；；； .将它们都化为最简二
次根式后，可以进行合并的二次根式是( ) .
A
A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④
4.如果最简二次根式与可以进行合并，那么 的值是
( ) .
A.1 B.2 C.3 D.4
D
5.下列计算正确的是( ) .
A
A. B.
C. D.
6.下列计算正确的是( ) .
A
A. B.
C. D.
7.计算，则 ( ) .
A
A. B. C.2 D.5
8.有甲、乙两个算式：
甲： ；
乙： .
下列说法正确的是( ) .
D
A.甲对 B.乙对 C.甲、乙均对 D.甲、乙均不对
9.若，计算 的结果是( ) .
A
A. B. C.141.4 D.
10.计算：
（1） ;
[答案]
（2） ；
[答案]
（3） ；
[答案]
（4） .
[答案]
11.（易错题）已知长方形的长为，宽为，且， .
（1）求长方形的周长；
[答案]
（2）当时，求正方形的边长的值.（注： 表示面积）
[答案]
能力提升
12.若实数，，满足 .
（1）求，， ；
[答案] ，，
（2）若满足上式的， 为等腰三角形的两边，求这个等腰三角形的周长.
[答案] 或
中考链接
13.（2023·杭州）计算： _____.
14.（2022·荆州）若的整数部分为，小数部分为 ，则代数式
的值是___.
2
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感谢大家欣赏
