17.1 变量与函数 课件 (共36张PPT) 2023-2024学年数学华师版八年级下册

(共36张PPT)
17.1 变量与函数
学 习 目 标
1.探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义.（重点）
2.结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能用适当的函数表示法表示简单实际问题中变量之间的关系.（重点）
3.能确定简单实际问题中自变量的取值范围,并会求出函数值.
（难点）
情 境 导 入
我们所处的世界时刻都在发生着变化：
数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化.
问题1
下图是某地一天内的气温变化图.
你能从图中看到哪些信息？
(1)这天的6时的气温为 ℃；10时的气温为 ℃；14时的气温为 ℃；
-1
5
-4
2
5
(2)最高气温为 ℃；最低气温为 ℃.
(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？
这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高；0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低． 　
从图中我们还可以看到，随着时间 t(时)的变化，相应地，气温T(℃)也随之变化． 　
这张图展示了各时刻的气温，并可以看出一天的气温变化规律.
问题2
小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重(kg)，如下表：
周 岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
体重 7.9 12.2 15.6 18.4 20.7 23.0 25.6 28.5 31.2 34.0 37.6 41.2 44.9
观察上表，说一说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加较快？
随着年龄的增长，体重也随着增长；且在1-2周岁体重增加较快.
问题3
收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.
下面是一些对应的数值.
波长λ（m） 300 500 600 1 000 1 500
频率f（kHz） 1 000 600 500 300 200
观察上表回答：
(1)波长 λ和频率 f 数值之间有什么关系
(2)波长λ越大，频率f 就_____．
λ与 f 的乘积是一个定值，即λf＝300 000，或者
300 000
λ
f =
越小
问题4
圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r表示圆的半径，S表示圆的面积，则S与r之间满足下列关系：S＝____.
利用这个关系式，试求出半径为1cm、1.5cm、2cm、2.6cm、3.2cm时圆的面积，并将结果填入下表：
πr2
半径r(cm) 1 1.5 2 2.6 3.2 ...
圆面积S(cm2) ...
π
2.25π
4π
6.76π
10.24π
由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就______．
越大
在上述4个问题中，都是一些变化的过程，出现了各种各样的数量，你认为可以怎样分类？
数值发生变化的量
变量
数值始终不变的量
常量
问题1中的时间t、气温T；
问题3中的300 000；
问题4中的π.
问题2中的周岁、体重；
问题3中的波长λ、频率f；
问题4中的圆面积S、半径r.
思考
知 识 讲 解
知识点1 变量与函数
变量：
在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量.即数值发生变化的量为变量.
常量：
在某一变化过程中，取值始终保持不变的量，叫做常量.即数值始终不变的量为常量.
例 1
例 题 精 讲
A
随 堂 练 习
A
B
上述三个问题有什么共同之处？
1.“票房收入问题”中有几个变量？
当售出电影票数x确定时，有多少个票房收入值y与之对应？
2.“行程问题”中有几个变量？
当行驶时间t确定时，有多少个行驶里程s与之对应？
3.“温度变化问题”中有几个变量？
当时间t确定时，有多少个温度T与之对应？
思考
知识点2 自变量、因变量函数
知 识 讲 解
如果在某一变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，也称y是x的函数(因变量是自变量的函数).
例 1
例 题 精 讲
D
下列关系式当中，y 不是 x 的函数的是 ( )
A. y = 2x - 3
B. y = x2 + 3
C. y = 2|x| + 3
D. y2 - 3x = 0
判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应.
随 堂 练 习
C
C
图象法
列表法
解析式法
波长λ（m） 300 500 600 1000 1500
频率f（kHz） 1000 600 500 300 200
S=πr2
300000
λ
f =
我们可以怎么表示函数的关系呢？
想一想
知识点3 函数三种表示方法
知 识 讲 解
解析式法 列表法 图象法
定义
实例
优点
通过列出自变量的值，与对应函数值的表格表示函数关系的方法
问题2、3
具体反映了函数随自变量变化的数值对应关系
用数学式子表示函数关系的方法
问题1
准确反映了函数随自变量变化的数量关系
用图象表示两个变量间的函数关系的方法
问题3、4
直观地反映了函数随自变量的变化而变化的规律
思考
问题1-4中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？
问题1：下图是某地一天内的气温变化图.
思考
问题1-4中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？
问题2：小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重(kg)，如下表：
周 岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
体重 7.9 12.2 15.6 18.4 20.7 23.0 25.6 28.5 31.2 34.0 37.6 41.2 44.9
思考
问题1-4中，要使函数有意义，自变量能取哪些值？
问题3：收音机刻度盘上的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位
标刻的.下面是一些对应的数值.
波长λ（m） 300 500 600 1 000 1 500
频率f（kHz） 1 000 600 500 300 200
问题4：圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r表示圆的半径，
S表示圆的面积，则S与r之间满足下列关系：S＝πr2
试一试
1.填写如图所示10以内正整数的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么
1
1
2
3
4
5
6
7
12
8
10
11
9
2
3
4
5
6
7
12
8
10
11
9
5
6
2
＋
横向的加数与纵向的加数之和为10；
涂黑的格子在一条直线上.
2.如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，y是x的函数，那么y和x之间的函数关系式是 .
y=10-x
3.当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是___，当纵向的加数为6时，横向的加数是___.
7
4
1
1
2
3
4
5
6
7
12
8
10
11
9
2
3
4
5
6
7
12
8
10
11
9
5
6
2
＋
知识点4 自变量的取值范围与函数值
知 识 讲 解
1.在实际问题中，函数的自变量取值范围往往是有限制的，它必须符合实际意义.超出这个范围，函数没有实际意义，我们把这种自变量可以取的数值范围叫函数的自变量取值范围．
2.若y是x的函数，且当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．
例 1
例 题 精 讲
解：根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，可知
2x+y=180°,
有 y=180°-2x.
由于等腰三角形的底角只能是锐角，所以自变量的取值范围是0°等腰三角形顶角的度数y是底角度数x的函数，试写出这个函数关系式，并求出自变量x的取值范围.
y
x
例 2
例 题 精 讲
等腰直角三角形ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10 cm，CA与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．
(1)试写出重叠部分面积y(cm2)与线段MA长度x(cm)之间的函数关系式．
(2)当A点向右移动1 cm时，重叠部分的面积是多少
分析：(1)根据图形及题意所述可得出重叠部分是等腰直角三角形，从而根据MA的长度可得出y与x的关系；
(2)将x=1cm代入，可得出重叠部分的面积．
M
Q
N
P
A
B
C
x
x
解：(1)重叠部分面积 y与线段MA长度 x之间的函数关系式为
(2)点A向右移动1cm，即x=1，
所以当点A向右移动1cm时，重叠部分的面积为 cm2.
随 堂 练 习
1.汽车的油箱中有汽油 50L，如果不再加油，那么油箱中的油量 y (单位：L) 随行驶里程 x (单位：km) 的增加而减少，平均耗油量为 0.1L/km.
(1) 写出表示 y 与 x 的函数关系的式子；
解：(1) y = 50 - 0.1x
(2) 指出自变量 x 的取值范围；
(2)由题意知：50 - 0.1x ≥ 0，即 x≤500，
又∵ 汽车行驶里程 x ≥ 0
∴ 自变量的取值范围是 0 ≤ x ≤ 500.
（3）当 x = 200 时，函数 y 的值为
y = 50 - 0.1×200 = 30.
因此，当汽车行驶 200 km 时，油箱
中还有油 30 L.
(3) 汽车行驶 200 km 时，油箱中还有多少油？
当 堂 检 测
C
3.指出下列函数的常量、变量、自变量和函数：
D
4.一个游泳池内有水300 m3，现打开排水管以每小时25 m3的排出量排水.
(1)写出游泳池内剩余水量Q m3与排水时间t h间的函数关系式；
(2)写出自变量t的取值范围.
解:(1)排水后的剩水量Q是排水时间 t 的函数，函数表达式为
Q= 300 - 25t =-25t+300.
(2)由于池中共有300 m3水，每时排25 m3，全部排完只需300 ÷ 25 = 12 ( h)，故自变量 t 的取值范围是0 ≤t≤12.
(3)开始排水后的第5h末，游泳池中还有多少水？
(4)当游泳池中还剩150 m3水时，已经排水多长时间？
(3)当t=5时，代入函数表达式,得Q=-5 ×25 +300 = 175 ( m3)，即排水5h后，池中还有水 175 m3.
(4)当Q=150时，由 150 =- 25t+ 300 ,得t =6 (h)，即池中还剩水150 m3时，已经排水6 h.
在某一变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．
解析法，列表法和图象法
变量与函数的概
念及其表示方法
常量与变量
函数
一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，此时也称y是x的函数．
函数的表示方法
课 堂 小 结
符合实际意义
自变量的取值范围
若y是x的函数，且当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值．
函数值
课 后 作 业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.