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17.3 一次函数
第1课时 一次函数
学 习 目 标
1.结合具体情境,体会一次函数的意义,体会正比例函数的意义.(重点)
2.了解一次函数与正比例函数的联系与区别.(重点)
3.能根据实际问题确定一次函数的表达式.(难点)
情 境 导 入
什么叫函数
在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,y都有唯一的值与之相应,那么我们称y是x的函数,其中x是自变量,y是因变量.
函数有图象、表格、关系式三种表达方式.
复
习
回
顾
问题1
小明暑假第一次去北京.汽车驶上A地的高速公路后,小明观察里程碑,发现汽车的速度是95千米/时.已知A地直达北京的高速公路全程为570千米,小明想知道汽车从A地驶出后,距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系,以便根据时间估计自己距北京的路程.
s=570-95t
分析:汽车距北京的路程随着行车时间的变化而变化.要想找出这两个变化着的量之间的关系,并据此得出相应的值,显然,应该探究这两个变量之间的函数关系式.为此,我们设汽车在高速公路上的行驶时间为t小时,汽车距北京的路程为s千米,则不难得到s与t之间的函数关系式:
先找出问题中
的变量并用字母表示,再探求变量之间的函数关系式.
问题2
弹簧下端悬挂重物,弹簧会伸长.弹簧的长度y(厘米)是所挂重物质量x(千克)的函数.已知一根弹簧在不挂重物时长6厘米,在一定的弹性限度内,每挂1千克重物弹簧伸长0.3厘米.求这个函数关系式.
解:因为每挂1千克重物弹簧伸长0.3厘米,所以挂x千克重物时弹簧伸长0.3x厘米.又因不挂重物时弹簧的长度为6厘米,所以挂x千克重物时弹簧的长度为(0.3x +6)厘米,即有
其中自变量x的取值范围由问题的“弹性限度”确定.
y= 0.3x +6
思考
s=570-95t
y= 0.3x +6
问题1、2中得到的两个函数关系式有什么共同点
等号两边的代数式都是整式;
自变量的次数是一次;且一次项系数不为0
知 识 讲 解
知识点1 一次函数、正比例函数的定义
上述函数的关系式都是用自变量的一次整式表示的,我们称它们为一次函数.
一次函数通常可以表示为y = kx + b的形式,其中k,b是常数,k≠0.
特别地,当b = 0时,一次函数y = kx(常数k≠0)也叫做正比例函数.
正比例函数是特殊的一次函数.
例 1
例 题 精 讲
B
随 堂 练 习
1.下列y关于x的函数中,是正比例函数的是( )
A.y=x2 B.y= C.y= D.y=
C
一次函数:(2),(3),(5);正比例函数:(3),(5)
说出一次函数k,b的值.
总结归纳
判断某函数是否为一次函数的方法:
先看函数式是否为整式,再将函数式进行恒等变形,看它是否符合一次函数关系式y=kx+b的结构特征:
(1)k≠0;(2)自变量x的次数为1;(3)常数项b可以为任意实数.
例 2
例 题 精 讲
已知函数若它是一次函数,求的值;
解: 是一次函数,
,
,
.
,函数是一次函数.
该函数有没有可能是正比例函数?
随 堂 练 习
1.已知函数y = (m-1)x+1-m2
(1)当 m 为何值时,这个函数是一次函数
解:由题意可得
m-1 ≠ 0,解得m ≠ 1.
即m ≠ 1时,这个函数是一次函数.
(2)当 m 为何值时,这个函数是正比例函数
解:由题意可得
m-1 ≠ 0,1-m2 = 0,解得m = -1.
即m = -1时,这个函数是正比例函数.
例 3
例 题 精 讲
某地实行个人工资、薪金所得税征收办法规定:月收入低于 3500 元的部分不收税;月收入超过 3500元但低于 5000 元的部分征收 3% 的所得税. 如某人月收入 3860 元,他应缴个人工资、薪金所得税为:(3860 - 3500)×3% = 10.8 元.
(1) 当月收入大于 3500 元而又小于 5000 元时,写出应缴所得税 y (元) 与收入 x (元) 之间的关系式.
解:y = 0.03×(x - 3500) (3500<x<5000).
例 3
例 题 精 讲
解:当 x = 4160 时,y = 0.03×(4160-3500) = 19.8 (元).
答:他应缴所得税 19.8 元.
(2) 某人月收入为 4160 元,他应缴所得税多少元?
解:设此人本月工资是 x 元,则
19.2 = 0.03×( x - 3500 ),
解得 x = 4140.
答:此人本月工资是 4140 元.
(3) 如果某人本月应缴所得税 19.2 元,那么此人本月工资是多少元?
随 堂 练 习
(1)汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程(千米)与行驶时间(时)之间的关系;
(2)圆的面积()与它的半径()之间的关系;
(3)某水池有水立方米,现打开进水管进水,进水速度为立方米/时,小时后这个水池内有水立方米.
y=60x,是一次函数,也是正比例函数.
1.写出下列各题中与之间的函数关系式,并判断:是否为的一次函数?是否为正比例函数?
S=πr2,不是一次函数.
y=5x+15,是一次函数,不是正比例函数.
当 堂 检 测
1. 判断正误:
(1) y = 2.2x,y 是 x 的一次函数,也是 x 的正比例函数. ( )
(2) y = 80x + 100 ,y 是 x 的一次函数. ( )
√
√
2. 在函数 y = (m - 2)x + (m2 - 4) 中,当 m 时,y 是 x 的一次函数;当 m 时,y 是 x 的正比例函数.
≠2
= -2
3. 已知函数 y = (m - 1)x|m|+1 是一次函数,求 m 的值.
4. 若函数 y = (m + 3)x + m2 - 9 是正比例函数,求 m 的值.
解:根据题意,得∣m∣=1,
解得 m = ±1.
又∵ m - 1≠0,即 m≠1,
∴ m = -1.
解:根据题意,得 m2 - 9 = 0,
解得 m = ±3.
又∵ m + 3≠0,即 m≠-3,
∴ m = 3.
5. 某书店开设两种租书方式:一种是零星租书,每本收费 1 元,另一种是会员卡收费,卡费每月 12 元,租书每本 0.4 元,小彬经常来该店租书,若每月租书数量为x 本.
(1) 写出零星租书方式应付金额 y1 (元) 与租书数量 x (本) 之间的函数关系式;
(2) 写出会员卡租书方式应付金额 y2 (元) 与租书数量 x (本)之间的函数关系式;
(3) 小彬选择哪种租书方式更合算?为什么
y1 = x.
y2 = 0.4x + 12.
由 x = 0.4x + 12 知,当 x<20 时,零星租书方式合算;当 x = 20 时,两种租书方式一样;当 x>20 时,会员卡租书方式合算.
课 堂 小 结