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17.3 一次函数
第3课时 一次函数的性质
学 习 目 标
1.理解一次函数的性质.
2.能够利用一次函数的性质解决简单的实际问题.(重、难点)
3.学会利用一次函数的图象解决一次方程、一次不等式问题.(重、难点)
情 境 导 入
复
习
回
顾
1.你了解一次函数的图象吗?
2.想一想:如何根据一次函数y=kx+b中k,b符号,确定其在坐标系中的位置?
一次函数y=kx+b(k、b是常数,且k≠0)的图象都是一条直线,习惯上称为直线y=kx+b.特别地,正比例函数y=kx(k≠0)的图象是一条经过原点的直线
情 境 导 入
复
习
回
顾
判断下列各图中的函数k,b的符号.
o
k>0,b>0
k<0,b>0
k>0,b<0
k<0,b<0
k>0,b=0
k<0,b=0
o
o
o
o
o
O
x
y
O
x
y
y=3x-2
y= x +1
2
3
x 0 -1.5
y=x+1 1 0
x 0 1
y=3x-2 -2 1
在平面直角坐标系中,分别画出 和y=3x-2的图象 .
观察
-2
1
2
-3
-4
3
4
-1
5
y
6
-5
-6
1
2
3
4
5
O
-1
-2
-3
-4
x
6
-5
-6
y=3x-2
y= x +1
2
3
x增大
y增大
当k>0时,图象必过一、三象限,y随x的增大而增大,这时函数的图象从左到右上升;
函数y=3x-2的图象(右图中虚线)是否也有这种现象呢?
在函数 的图象中,我们看到:当一个点在直线上从左向右移动,自变量x与函数y的值有什么变化?
y= x +1
2
3
自变量x从小变大(从左到右)时, 函数y的值也从小变大(从低到高)
探索
-2
1
2
-3
-4
3
4
-1
5
y
6
-5
-6
1
2
3
4
5
O
-1
-2
-3
-4
x
6
-5
-6
y=-x+2
y=- x-1
3
2
x增大
y减小
当k<0时,图象必过二、四象限,y随x的增大而减小,这时函数的图象从左到右下降.
再观察函数y=-x+2 的图象中,我们看到: 当一个点在直线上从左向右移动,自变量x与函数y的值有什么变化?
自变量x从小变大(从左到右)时, 函数y的值从大变小(从高到低)
函数 的图象(右图中虚线)是否也有这种现象呢?
知 识 讲 解
知识点1 一次函数的性质
在一次函数 y = kx + b (k, b 为常数, k ≠ 0) 中,
当 k>0 时,y 随x 的增大而增大,这时函数的图象从左到右上升;
当 k<0 时,y 随 x 值的增大而 ,这时函数的图象从左到右 .
减小
下降
例 1
例 题 精 讲
P1(-1,y1),P2(3,y2)是一次函数y=-0.5x+3图象上的两点,下列判断中,正确的是( )
A. y1>y2 B. y1<y2
C.y1=y2 D.无法判断
A
解析:方法一:直接代入x的值求y比较;
方法二:根据一次函数的性质: 当k<0时,y随x的增大而减小.
随 堂 练 习
1.下列函数中,y的值随x值的增大而增大的函数是( )
A.y=-2x B.y=-2x+1 C.y=x-2 D.y=-x-2
C
2.一次函数y=2x-3的图象经过( )
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
C
3.已知一次函数y=kx+b的大致图象如右图
所示,则 ( )
A.k>0,b>0 B.k>0,b<0
C.k<0,b>0 D.k<0,b<0
y
x
0
4.一次函数y=kx+b中,kb>0,且y随x的增大而减小,则它的图象大致为( )
y
x
0
D
y
x
0
A
y
x
0
C
y
x
0
B
C
B
做一做
-2
1
2
-3
-4
3
4
-1
5
y
6
-5
-6
1
2
3
4
5
O
-1
-2
-3
-4
x
6
-5
-6
当k<0时,y随x的增大而_____,这时函数的图象从左到右_____.
减小
下降
解:
①列表
②描点
③连线
2
y=-2x+2
1
(1) 这个函数中,随着x的增大,y减小,它的图象从左到右下降.
(2) 由图象可知:当 x=1时 y=0,当 y=2时 x =0 .
(3) 由图象可知:
当 x<1 时 y>0.
x 0
y 0
画出函数y=-2x+2的图象,结合图象回答下列问题:
(1)这个函数中,随着自变量x的增大,函数值y将增大还是减小?它的图象从左到右怎样变化?
(2)当x取何值时,y=0?
(3)当x取何值时,y>0?
总结归纳
对于一次函数y=kx+b(k≠0),图象与x轴交点的横坐标就是方程
kx+b=0的解;
图象位于x轴上方部分对应的x的取值范围就是不等式kx+b>0的
解集;
图象位于x轴下方部分对应的x的取值范围就是不等式kx+b<0的
解集.
随 堂 练 习
1.已知函数y=2x-3,结合图象回答下列问题:
(1)函数的图象经过哪个象限?
(2)这个函数中,随着x的减小,y将增大还是减小?它的图象从右到左怎样变化?
(3)当x取何值时,y=0?当y取何值时,x=0?
(4)当x>0时,y取何值?当y<0时,x取何值?
一、三、四
减小、下降
y>-3,x<1.5
-2
1
2
-3
-4
3
4
-1
5
y
6
-5
-6
1
2
3
4
5
O
-1
-2
-3
-4
x
6
-5
-6
●
●
x=1.5,y=-3
当 堂 检 测
1.下列函数中,y 的值随 x 值的增大而增大的函数是 ( )
A.y = -2x B.y = -2x+1 C.y = x-2 D.y = -x-2
C
2. 一次函数y = (m2+1)x-2的大致图象可能为( )
C
A B C D
4.已知一次函数y=(2m-1)x+m+5,当 m 是什么数时,函数值 y 随 x 的增大而增大?
∴当 时,函数值 y 随 x 的增大而增大.
3.点 A (-1,y1),B(3,y2)是直线 y = kx+b (k<0)上的两点,则y1-y2 0(填“>”或“<”).
解:由题意得:2m-1>0,解得
>
5.函数y=2x – 5的图象如右图所示,观察图象回答下列问题:
x
y
O
-1
-5
-4
-3
-2
-1
4
2
3
1
6
5
4
2
1
3
(1)x取何值时,2x – 5=0?
y=2x – 5
x=2.5
(2)x取哪些值时,2x – 5>0?
x>2.5
(3)x取哪些值时,2x – 5<0?
x<2.5
(4)x取哪些值时,2x – 5>1?
对应一次函数的函数值>1时x的取值范围.
在图像中表示为直线y=1下方的部分所对应的自变量取值范围.
y=1
x>3
①当k>0,b>0时,函数图象过一、二、三象限,y随x的增大而增大;
②当k>0,b<0时,函数图象过一、三、四象限,y随x的增大而增大;
③当k>0,b=0时,函数图象过一、三象限,y随x的增大而增大;
④当k<0,b>0时,函数图象过一、二、四象限,y随x的增大而减小;
⑤当k<0,b<0时,函数图象过二、三、四象限,y随x的增大而减小;
⑥当k<0,b=0时,函数图象过二、四象限,y随x的增大而减小.
课 堂 小 结
一次函数的性质:
一次函数与一次方程、一次不等式的关系
①对于一次函数y=kx+b(k≠0),图象与x轴交点的横坐标就是方程kx+b=0的解;
②图象位于x轴上方部分对应的x的取值范围就是不等式kx+b>0的解集;
③图象位于x轴下方部分对应的x的取值范围就是不等式kx+b<0的解集.