18.2 平行四边形的判定 第2课时 课件 (共21张PPT) 2023-2024学年数学华师版八年级下册

(共21张PPT)
18.2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定定理3
学 习 目 标
1.探索并证明平行四边形的判定定理3.（重点）
2.灵活运用平行四边形的判定定理3，解决平行四边形的有关计算和证明问题.（难点）
3.综合运用平行四边形的性质与判定，解决平行四边形的有关计算和证明问题.（难点）
前面我们已经学过平行四边形的哪些判定定理？
情 境 导 入
复
习
回
顾
判定 文字语言 图形语言 符号语言
定义 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AD∥BC，
∴…是平行四边形.
判定１ 两组对边分别相等的四边形是平等四边形 ∵AB=CD，AD= BC ， ∴…是平行四边形.
判定2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 ∵AB∥CD，AB=CD， ∴…是平行四边形.
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
除了两组对边分别平行且相等，还可以从哪些角度讨论平行四边形性质？
平行四边形的对角相等.
平行四边形的对角线互相平分.
对角线：
角：
我们得到的这些逆命题是否都成立？这节课我们一起探讨一下吧.
上面的两条性质的逆命题各是什么？
2.两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
1.对角线互相平分的四边形是平行四边形.
问题1
问题2
思考
A
B
C
D
O
已知：四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
证明：
在△AOB和△COD中,
OA=OC (已知)，
OB=OD (已知)，
∠AOB=∠COD (对顶角相等)，
∴△AOB≌△COD(SAS)，
∴ ∠ ABO=∠CDO，AB=CD，
∴AB∥ CD .
∴四边形ABCD是平行四边形.
你还有其他的证明方法吗？请同桌之间互相讨论.
逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形
知 识 讲 解
知识点1 平行四边形的判定定理
平行四边形的判定定理3：
几何语言描述：
在四边形ABCD中，
∵AO=CO，DO=BO，
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
O
D
A
C
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
例 2
例 题 精 讲
如图，在□ABCD 中，点E，F 是对角线 AC 上的两点，且 AE = CF. 求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
证明：连接BD ，交AC于点O.
∴ AO = CO，BO = DO.
∵AE = CF，
∴ AO - AE = CO - CF，即 EO = OF.
又∵BO = DO，
∴四边形 BFDE 是平行四边形.
B
D
A
C
E
F
O
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
随 堂 变 式
解：四边形 BMDN 是平行四边形．
理由如下：连接 BD 交 AC 于 O．
∵ BM⊥AC 于 M，DN⊥AC 于 N，
∴∠AND = ∠CMB = 90°．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OB = OD，AO = CO，
AD = BC，AD∥BC，∴∠DAN = ∠BCM.
∴△ADN≌△CBM. ∴ AN = CM. ∴OA -AN = OC-CM，
即 ON = OM. ∴四边形 BMDN 是平行四边形．
O
1.如图，AC 是平行四边形 ABCD 的一条对角线，BM⊥AC 于 M，DN⊥AC 于 N，四边形 BMDN 是平行四边形吗？说说你的理由．
例 3
例 题 精 讲
如图，在□ABCD中，点F，H分别在边AB，CD上，且BF = DH.求证：AC和HF互相平分.
A
B
C
D
H
F
证明：分别连结AH，CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB // CD（平行四边形的对边平行），
AB = CD（平行四边形的对边相等）.
又∵BF=DH，
∴AB- BF= CD - DH，
即AF = CH，
∴四边形AFCH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴AC和HF互相平分（平行四边形的对角线互相平分）.
已知：四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，
求证：四边形ABCD是平行四边形.
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
∴2∠α+2∠β=360°，
即∠α+∠β=180°，
∴ AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
同理得 AB∥ CD，
证明：
A
B
C
D
逆命题：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
总结归纳
平行四边形的判定（拓展）：
几何语言描述：
在四边形ABCD中，
∵∠A=∠C，∠B=∠D,
∴四边形ABCD是平行四边形.
B
D
A
C
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
例 4
例 题 精 讲
如图，四边形 ABCD 中，∠A = ∠C，∠B = ∠D，
求证：四边形 ABCD 是平行四边形.
A
B
C
D
又∵∠A = ∠C，∠B = ∠D，
证明：∵∠A +∠C +∠B +∠D = 360°，
∴2∠A + 2∠B = 360°，
即∠A +∠B = 180°.
∴ AD∥BC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
同理可得 AB∥CD.
随 堂 练 习
1.如图，四边形 ABCD 中，AB∥DC，∠B ＝ 55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1) 求 ∠D 的度数；
(2) 求证：四边形 ABCD 是平行四边形．
(1) 解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°.
(2) 证明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB.
∴∠DAB＝∠1＋∠CAB＝125°.
∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，
∴∠DCB＝∠DAB＝125°.
又∵∠D＝∠B＝ 55°，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
例 5
例 题 精 讲
平行四边形的性质与判定综合
A
B
C
D
E
F
证明：∵四边形 AEFD 和 EBCF都是平行四边形，
∴AD EF，EF BC.
∴AD BC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
//
=
//
=
//
=
四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，求证四边形 ABCD 是平行四边形.
随 堂 练 习
1.如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD相交于点O，E、F 是对角线 AC 上的两点，给出下列四个条件：①AE = CF；②DE = BF；③∠ADE = ∠CBF；④∠ABE = ∠CDF．其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有（　　）
A．0 个 B．1 个
C．2 个 D．3 个
B
2. 如图，△ABC 中，AB = AC = 10，D 是 BC 边上的任意一点，分别作 DF∥AB 交 AC 于 F，DE∥AC 交 AB 于 E，求 DE + DF 的值．
解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形 AEDF 是平行四边形.
∴DE = AF.
又∵AB = AC = 10，∴∠B = ∠C.
∵DF∥AB，
∴∠CDF = ∠B. ∴∠CDF = ∠C.
∴DF = CF.
∴DE + DF = AF + FC = AC = 10．
1. 根据下列条件，不能判定四边形为平行四边形的是( )
A. 两组对边分别相等 B. 两条对角线互相平分
C. 两条对角线相等 D. 两组对边分别平行
2. 如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O.
如果 AC = 8 cm，BD = 10 cm，
那么当 AO =____cm，BO =___cm 时，
四边形 ABCD 是平行四边形.
B
O
D
A
C
C
4
5
当 堂 检 测
2.如图，AB、CD 相交于点 O，AC∥DB，AO＝BO，E、F 分别是 OC、OD 的中点．求证：
(1) △AOC≌△BOD；
(2) 四边形 AFBE 是平行四边形．
证明：(1) ∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.
又∵∠COA＝∠DOB，AO＝BO ，
∴△AOC≌△BOD(AAS)；
(2) ∵△AOC≌△BOD，∴CO＝DO.
∵E、F 分别是 OC、OD 的中点，
∴EO＝FO.又∵AO＝BO，
∴四边形 AFBE 是平行四边形．
4. 如图，在□ABCD 中，E、F 分别为边 AD、BC 的中点，对角线 AC 分别交 BE，DF 于点 G、H．
求证：AG = CH．
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC.
∴∠ADF =∠CFH，∠EAG =∠FCH.
∵ E、F 分别为 AD、BC 边的中点，
∴ AE = DE = AD，CF = BF = BC.
∴ DE∥BF，DE = BF.
∴ 四边形 BFDE 是平行四边形.
∴ BE∥DF.
∴∠AEG =∠ADF. ∴∠AEG =∠CFH.
在△AEG 和△CFH 中，
∠EAG＝∠FCH，
AE＝CF，
∠AEG＝∠CFH，
∴△AEG≌△CFH（A.S.A.）.
∴ AG = CH．
课 堂 小 结
平行四边形的判定方法
从边考虑
两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理 2)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(判定定理 1）
从角考虑
从对角线考虑
两组对角分别相等的四边形是平行四边形(定义拓展)
对角线互相平分的四边形是平行四边形(判定定理 3)