19.1 矩形 第1课时 课件 (共22张PPT) 2023-2024学年数学华师版八年级下册

(共22张PPT)
19.1 矩形
第1课时 矩形的性质
学 习 目 标
1.体会矩形与平行四边形的区别与联系，理解一般与特殊的关系.
2.认识矩形，理解并运用矩形的性质定理进行计算和证明.（重点）
3.矩形性质定理的理解及灵活应用.（难点）
情 境 导 入
观察下面图形，长方形在生活中无处不在.
长方形跟我们前面学行四边形有什么关系？
你还能举出其他的例子吗？
思考
试一试
长方形
（也叫矩形）
利用一个活动的平行四边形教具演示，使平行四边形的一个内角变化，请同学们注意观察.
知 识 讲 解
知识点1 矩形的定义
平行四边形
矩形
有一个角
是直角
矩形是特殊的平行四边形；
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，
也叫做长方形.
平行四边形不一定是矩形.
思考
A
B
C
D
O
作为一种特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的一般性质，同时也具有一些特殊的性质.观察如图所示的矩形，将你的发现填入下表.
对称性 边 角 对角线
平行四边形的一般性质 中心对称
矩形的特殊性质
对角线互相平分
对边平行且相等
对角相等
中心对称、轴对称
对边平行且相等
四个角都是90°
相等、互相平分
知识点2 矩形的性质
知 识 讲 解
矩形具有平行四边形的一切性质，同时还具有一些特殊性质：
矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角.
矩形性质定理2：矩形的对角线相等.
你能证明吗？
例 1
例 题 精 讲
如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形周长的和是86 cm，矩形的对角线长是13 cm，那么该矩形的周长是多少
A
B
C
D
O
解：∵△AOB、 △BOC、△COD和△AOD 四个小三角形周长的和为86cm，
∴AB+BC+CD+DA+2(OA+OB+OC+OD)
=AB +BC + CD +DA +2(AC + BD)= 86.
又∵ AC= BD = 13（矩形的对角线相等），
∴AB+BC+CD+DA=86-2（AC+BD）
=86-4×13=34（cm），
即矩形ABCD的周长等于34 cm.
1.在矩形ABCD中
(1)若AB=8㎝，AD=6㎝，
则AC＝ ㎝，OB= ㎝；
(2)已知∠CAB=40°，则∠OCB= ，∠OBA= ，
∠AOB= ，∠AOD= ；
(3)若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝ ㎝，
矩形的面积＝ ㎝2.
5
10
50°
100°
40°
80°
48
28
D
A
B
C
O
随 堂 练 习
随 堂 练 习
2.如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线 AC，BD 相交于点 O，∠AOB = 60°，AB = 4 ，求对角线的长.
A
B
C
D
O
解：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD，OA = OC = AC，OB = OD = BD.
∴ OA = OB.
又∵∠AOB = 60°，
∴△OAB 是等边三角形.
∴ OA = AB = 4.
∴ AC = BD = 2OA = 8.
例 2
例 题 精 讲
如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，BE⊥AC，垂足为点E.
试求BE的长.
解：∵ 在矩形 ABCD 中，
∴ AC ===5.
又∵S△ABC=AB·BC=AC·BE，
∴BE===2.4.
例 3
例 题 精 讲
如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， AE垂直且平分线段BO，垂足为点E，BD=15 cm.求AC，AB的长.
A
B
C
D
O
E
解：四边形ABCD是矩形，
∴AC = BD = 15（矩形的对角线相等），
∴AO = AC= 7.5.
∵AE垂直平分BO，
∴AB=AO=7.5.
即AC的长为15cm，AB的长为7.5 cm.
随 堂 练 习
1．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，且∠ADE：∠EDC＝3：2，则∠BDE为(　　)
A．36° B．9° C．27° D．18°
D
A
3.如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，AE = AD，DF⊥AE，垂足为 F. 求证：DF = DC.
证明：连接 DE.
∵AD = AE，∴∠AED =∠ADE.
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AD∥BC，∠C = 90°.
∴∠ADE =∠CED.
∴∠CED =∠AED.
又∵ DF⊥AE，
∴ DF = DC.
A
B
C
D
E
F
1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A. 对角线相等 B. 对边相等
C. 对角相等 D. 对角线互相平分
2. 若直角三角形的两条直角边分别 5 和 12，则斜边上的中线长为 ( )
A. 13 B. 6 C. 6.5 D. 不能确定
3. 若矩形的一条对角线与一边的夹角为 40°，则两条对角线相交的锐角是 ( )
A. 20° B. 40° C. 80° D. 10°
A
C
C
当 堂 检 测
4. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于 点 O，下列说法错误的是（　　）
A．AB∥DC B．AC = BD
C．AC⊥BD D．OA = OB
A
B
C
D
O
C
5. 如图，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB、CD 于 E、F，那么阴影部分的面积是矩形 ABCD 面积的______.
　　　　　　　　　　　　　
当 堂 检 测
6.如图，将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点 C 落在 C′ 处，BC′ 交 AD 于点 E，AD = 8，AB = 4，求△BED 的面积．
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AD∥BC，∠A＝90°，∴∠2＝∠3.
又由折叠知∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，∴BE＝DE.
设 BE＝DE＝x，则 AE＝8－x.
∵ 在Rt△ABE中，AB2＋AE2＝BE2，
∴ 42 ＋ (8－x)2 ＝ x2，解得 x＝5，即DE＝5.
∴ S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10.
5. 如图，四边形 ABCD 是矩形，对角线 AC，BD 相交于点 O，BE∥AC 交 DC 的延长线于点 E.
（1）求证：BD = BE；
（2）若∠DBC = 30°，BO = 4，求四边形 ABED 的面积.
A
B
C
D
O
E
(1) 证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD，AB∥CD.
又∵ BE∥AC，
∴四边形 ABEC 是平行四边形.
∴ AC = BE.
∴ BD = BE.
A
B
C
D
O
E
(2) 解：在矩形 ABCD 中，∵ BO = 4，
∴ BD = 2BO = 2×4 = 8.
∵∠DBC = 30°，
∴ CD = BD = ×8 = 4，
∴ AB = CD = 4，DE = CD + CE = CD + AB = 8.
在 Rt△BCD 中，
BC =
∴ 四边形 ABED 的面积为 ×(4+8)× = .
课 堂 小 结
矩形的相关概念及性质
具有平行四边形的一切性质
四个内角都是直角，
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
对称轴为通过对边中点的直线
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
课 后 作 业
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.