19.2 菱形 第1课时 课件(共25张PPT) 2023-2024学年数学华师大版八年级下册

(共25张PPT)
19.2 菱形
第1课时 菱形的性质
学 习 目 标
1.理解菱形的概念，体会菱形与平行四边形的区别与联系，理解一般与特殊的关系.
2.理解并运用菱形的性质定理进行计算和证明.（重点）
3.菱形性质定理的理解及灵活应用.（难点）
情 境 导 入
你见过以下图形吗？你知道它们是什么形状吗？
这些是平行四边形吗？它们有什么特点？你还能举出几个例子吗
小组活动：将一张矩形的纸对折，再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形？
菱形是特殊的平行四边形.平行四边形不一定是菱形.
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
A
B
C
D
做一做
思考
作为一种特殊的平行四边形，菱形具有平行四边形的一般性质，同时也具有一些特殊的性质，观察图示的菱形，将你的发现填入下表.
对称性 边 角 对角线
平行四边形的一般性质 中心对称
菱形的特殊性质
中心对称、轴对称
对角线互相平分
对边平行且相等
对角相等
对边平行，四边相等
对角相等
对角线垂直平分
菱形有几条对称轴？对称中心在哪里？
知 识 讲 解
知识点1 菱形的性质
菱形具有平行四边形的一切性质，同时还具有一些特殊性质：
菱形性质定理1：菱形的四条边都相等.
菱形性质定理2：菱形的对角线互相垂直.
你能证明吗？
证明：由定义，菱形的邻边相等，
设AD=DC，AB=CB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=CB，AB=DC，
∴AD=CB=AB=DC.
即菱形ABCD四条边都相等.
A
B
C
D
对于性质定理1，如图，怎样根据菱形的定义和平行四边形边的性质加以证明？
对于性质定理2，如图，怎样根据菱形的定义和等腰三角形的性质加以证明？
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC，AO=OC，
∴△ADC是等腰三角形，且DO是△ADC底边的中线.
根据等腰三角形中“三线合一”，
∴DO也是△ADC底边的高.
∴DO⊥AC，即AC⊥BD.
A
B
C
O
D
在性质定理2的证明过程中，你还能发现菱形对角线什么性质？
根据等腰三角形“三线合一”，对角线也是菱形内角的角平分线.
A
B
C
O
D
在菱形ABCD中，对角线AC、BD相互垂直且平分，而对角线AC、BD也是四个内角的角平分线，因此，易证得：
对角线AC、BD将菱形ABCD分成的四个三角形，是全等的直角三角形.
思考
性质拓展：
菱形的一条对角线平分一组对角.
例 1
例 题 精 讲
如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B.试求出∠B的大小，并说明△ABC是等边三角形.
解：在菱形ABCD中，
∵∠B+∠BAD=180°，∠BAD=2∠B，
∴∠B=60°.
在菱形ABCD中，
∵AB=BC(菱形的四条边都相等)，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形.
随 堂 练 习
1.如图，在菱形ABCD中，AB=5，OA=4.求菱形的周长与两条对角线的长度.
解：在菱形ABCD中，
有AB=BC=CD=DA，AC与BD互相垂直且平分.
∴菱形周长为4×5=20，
∵OA=4，
∴AC=8，
Rt△ABO中，由勾股定理可知BO=3，∴BD=6.
2.试说明菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半.
A
B
C
O
D
解：如图，在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直，
∴S△ABC= AC×BO ，
同理，S△ADC= AC×DO，
∴S菱形ABCD=S△ABC+S△ADC= AC×(BO+DO)= AC×BD.
∴菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半.
拓展：
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半.
3.如图，在菱形ABCD中，AB=10，BD=12.求该菱形的面积.
A
B
C
O
D
解：在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直且平分，
∴△ABO中，AB=10，BO= BD=6.
根据勾股定理，得AO=8，
∴AC=16，
∴S菱形ABCD= AC×BD= ×16×12=96.
例 2
例 题 精 讲
如图，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD=120°，对角线AC、BD相交于点O.试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长.(结果保留根号)
解：∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD，AB=AD（菱形的四条边相等）.
在△ABO和△ADO中，∵AB=AD，AO=AO，OB=OD，
∴△ABO≌△ADO（SSS).
∴∠BAO=∠DAO= ∠BAD = 60°.
∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=2.
在菱形ABCD中，∵AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），∴△AOB为直角三角形.
∴BO=
∴BD=2BO= (cm).
例 3
例 题 精 讲
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分CD，垂足为点E.求∠BCD的大小.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC=CB=BA(菱形的四条边都相等).
又∵AE垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴AC=AD=DC=CB=BA，
即△ADC与△ABC都为等边三角形，
∴∠ACD=∠ACB=60°.
∴∠BCD=120°
随 堂 练 习
1.如图，已知菱形ABCD的边AB长5cm，一条对角线AC长6cm.求这个菱形的周长和它的面积.
A
B
C
D
O
解：在菱形ABCD中，
有AB=BC=CD=DA，AC与BD互相垂直且平分
∴菱形周长为4×5=20(cm)
∵AC=6，∴OA=3
Rt△ABO中，由勾股定理可知BO=4，∴BD=8
∴菱形的面积为： ×6×8=24(cm2)
2.如图，已知菱形ABCD的一条对角线BD恰好与其边AB的长相等.求这个菱形各内角的大小.
解：在菱形ABCD中，
有AB=BC=CD=DA
∵BD=AB
∴三角形ABD为等边三角形
∴∠A=60°
∴∠C=∠A=60°
根据平行四边形相邻内角互补可知：
∠ADC=∠ABC=180°－60°=120°
3.如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=4.求：
(1)∠ABC的大小；
解：(1)在菱形ABCD中，有AB=BC=CD=DA=4
∵E是AB的中点
∴AE=2
∵DE⊥AB
∴三角形ADE是直角三角形
∴∠ADE=30°，∴∠DAE=90°－30°=60°
∴∠ABC=180°－60°=120°
(2)菱形ABCD的面积(精确到0.1)
解：Rt△ADE中，根据勾股定理，得
DE= .
连接BD，
∴S△ABD= ×AB×DE= ×4× ，
∴S菱形ABCD=2S△ABD=2× (cm2).
当 堂 检 测
1.如图，已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（　　）
A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm
B
2. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）
A. 对角相等 B. 对边相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等
C
3. 如图，在菱形 ABCD 中，AC = 8，BD = 6，则 △ABD的周长等于 （　　）
A. 18 B. 16
C. 15 D. 14
B
4. 根据下图填一填：
（1）已知菱形 ABCD 的周长是 12 cm，那么它的边长是 ____cm.
（2）在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°，则∠BAC＝_______.
（3）菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，则菱形的边长是______cm.
3
30°
A
B
C
O
D
5
(4) 菱形的一个内角为 120°，平分这个内角的对角线长为 11 cm，菱形的周长为______cm.
44
(5) 菱形的面积为 64 cm2，两条对角线的比为 1∶2 ， 那么菱形最短的那条对角线长为_____cm.
8
5.如图，四边形 ABCD 是边长为 13 cm 的菱形，其中对角线 BD 长 10 cm.
求：(1) 对角线 AC 的长度；
(2) 菱形 ABCD 的面积.
解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，
∴∠AED = 90°，
∴AC = 2AE = 2×12 = 24 (cm).
D
B
C
A
E
(2)菱形ABCD的面积
6. 如图，四边形 ABCD 是菱形，F 是 AB 上一点，DF 交 AC 于 E． 求证：∠AFD = ∠CBE．
A
D
C
B
F
E
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴CB = CD， CA 平分∠BCD．
∴∠BCE = ∠DCE．
又 CE = CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS）．
∴∠CBE = ∠CDE．
∵在菱形 ABCD 中，AB∥CD，
∴∠AFD = ∠EDC.
∴∠AFD = ∠CBE．
课 堂 小 结
菱形的性质
菱形的性质
有关计算
边
1.周长=边长的四倍
2.面积=底×高=两条对角线乘积的一半
角
对角线
1.两组对边平行且相等；
2.四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1.两条对角线互相垂直平分；
2.每一条对角线平分一组对角