19.2 第2课时 菱形的判定 课件 (共23张PPT) 2023-2024学年数学华师版八年级下册

(共23张PPT)
19.2 菱形
第2课时 菱形的判定
学 习 目 标
1.探索并理解菱形的判定定理.（重点）
2.灵活运用菱形的判定定理，解决菱形的有关计算和证明问题.（难点）
3.综合运用菱形的性质与判定，解决菱形的有关计算和证明问题.（难点）
情 境 导 入
复
习
回
顾
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
平行四边形
菱形的性质
菱形
两组对边平行
四条边相等
两组对角分别相等
邻角互补
两条对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一组对角
边
角
对角线
1.菱形的定义是什么？性质有哪些？
这些性质，对我们寻找判定菱形的方法有什么启示？
试一试
菱形具有“四条边都相等”的性质，如果一个四边形的四条边都相等，那么它是一个菱形吗？
步骤:
1.画两条相等的线段AB、AD；
2.分别以点B和点D为圆心、AB长为半径画弧，两弧相交于点C；
3. 连结BC、CD，即得一个四条边都相等的四边形ABCD.
作一个四条边都相等的四边形.
观察你所画的图形,它是菱形吗 你能证明一下吗？
C
A
B
D
证明：∵ AB = BC = CD = AD，
∴ AB = CD，BC = AD.
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
又∵ AB = BC，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
知 识 讲 解
知识点 菱形的判定定理
AB = BC = CD = AD
几何语言描述：
在四边形 ABCD 中，
∵ AB = BC = CD = AD，
∴ 四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形 ABCD
菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形.
四边形 ABCD
A
B
C
D
例 4
例 题 精 讲
如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是四条边的中点，试问四边形EFGH是什么图形 并说明理由.
G
F
E
H
D
C
B
A
解：∵四边形 ABCD 为矩形，
∴AB = CD，AD = BC，
∴四边形 EFGH 是菱形.
∵点 E，F，G，H 为各边中点，
∴易证△AEH≌△BEF≌△CGF≌△DGH，
∴EH = EF = GF = GH.
∴AE = EB=CG = GD，AH = HD=BF = FC.
∠A = ∠C = 90°，
1. 如图，将△ABC 沿 BC 方向平移得到 △DCE，连接 AD，增加下列条件能够判定四边形 ACED 为菱形的是（　　）
A．AB = BC B．AC = BC
C．∠B = 60° D．∠ACB = 60°
B
解析：∵ 将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DCE，
∴ AC∥DE，AC = DE.
∴ 四边形 ACED 为平行四边形.
当 AC = BC 时，
平行四边形 ACED 是菱形．
故选 B．
随 堂 练 习
证明：∵∠1 =∠2，AE = AC，AD = AD，
∴ △ACD≌△AED (S.A.S.).
同理，△ACF≌△AEF.
∴ CD = ED，CF = EF.
又∵ EF = ED，
∴ CD = ED = CF = EF.
∴ 四边形 CDEF 是菱形.
2.如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，点 E、F 分别在 AB、AD 上，且 AE = AC，EF = ED.求证：四边形 CDEF 是菱形.
2
A
C
B
E
D
F
1
菱形还具有“对角线互相垂直”的性质，类比矩形的判定，如果一个平行四边形的对角线互相垂直，那么它是一个菱形吗？
探索
除了定义和判定定理1，还有其他方法判定菱形吗？
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
如图，取两根长度不等的细木棒，让两个木棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线.我们知道，这样得到的四边形是一个平行四边形.转动其中一根木棒,重复上面的做法，当两根木棒之间的夹角等于90°时，得到的是什么图形呢
步骤:
1.作两条互相垂直的直线m，n，记交点为点O；
2.以点O为圆心，适当长为半径画弧，在直线m上截取相等的两条线段OA、OC；
3.以点O为圆心、另一适当长为半径画弧，在直线n上截取相等的两条线段OB、OD；
4.顺次连结所得的四点，即得一个对角线互相垂直且平分的四边形ABCD，显然，它是一个对角线互相垂直的平行四边形.
试一试
作一个两条对角线互相垂直的平行四边形.
和你的同伴交流一下，看看它是否也是一个菱形.
n
m
D
C
B
A
O
你能证明一下吗？
证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OA = OC.
又∵ AC⊥BD，
∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线.
∴ BA = BC.
∴ □ABCD 是菱形（菱形的定义）.
A
B
C
O
D
已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD.
求证：□ABCD 是菱形.
知 识 讲 解
知识点 菱形的判定定理
菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
AC⊥BD
几何语言描述：
在 □ABCD 中，
∵AC⊥BD，
∴ □ABCD 是菱形.
A
B
C
D
菱形 ABCD
A
B
C
D
□ABCD
例 5
例 题 精 讲
如图，已知矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于点 E、F，求证：四边形 AFCE 是菱形.
A
B
C
D
E
F
O
1
2
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AE∥FC，∴∠1 =∠2.
∵ EF 垂直平分 AC，
∴ AO = OC.
又∠AOE =∠COF，
∴△AOE≌△COF. ∴EO = FO.
∴ 四边形 AFCE 是平行四边形.
又∵ EF⊥AC，∴ 四边形 AFCE 是菱形.
随 堂 练 习
1.在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形 ABCD 是菱形，则这个条件可以是（ 　 ）
A．∠ABC = 90°
B．AC⊥BD
C．AB = CD
D．AB∥CD
B
B
C
A
D
O
E
M
N
证明：∵ MN 是 AC 的垂直平分线，
∴ AE = CE，AD = CD，OA = OC，
∠AOD =∠EOC = 90°.
∵ CE∥AB，∴ ∠DAO =∠ECO.
∴ △ADO≌△CEO (ASA). ∴ AD = CE.
∴ 四边形 ADCE 是平行四边形.
又∵ DE⊥AC，
∴ 四边形 ADCE 是菱形.
2. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 O，CE∥AB 交 MN 于点 E，连结 AE、CD.求证：四边形 ADCE 是菱形.
当 堂 检 测
1.如图，四边形 ABCD 是平行四边形，延长 BA 到点 E，使 AE = AB，连接 ED、EC、AC．添加一个条件，能使四边形 ACDE 成为菱形的是（　　）
A．AB = AD B．AB = ED
C．CD = AE D．EC = AD
B
3. 一边长为 13 cm 的平行四边形的两条对角线的长分别为 24 cm 和 10 cm，则其面积为 cm2.
120
2. 判断下列说法是否正确：
(1) 对角线互相垂直的四边形是菱形；
(2) 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；
(3) 对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形；
(4) 两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形．
√
╳
╳
╳
4.如图，在 □ABCD 中，AC 平分∠DAB，AB = 2，求 □ABCD 的周长.
解：在 □ABCD 中，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAC =∠ACB，∠BAC =∠ACD.
∵ AC 平分∠DAB，
∴∠DAC =∠BAC.
∴∠DAC =∠ACD.
∴ AD = CD.
∴ 平行四边形 ABCD 为菱形.
∴ 菱形 ABCD 的周长为 4AB = 4×2 = 8.
5.如图，在平行四边形 ABCD 中，AC = 6，BD = 8，AD = 5. 求 AB 的长.
解: ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ △DAO是直角三角形.
∴ ∠DOA = 90°，即DB⊥AC.
∴ 平行四边形 ABCD 是菱形.
（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
∴
又∵ AD = 5，满足
∴ AB = AD = 5 .
证明：由尺规作∠BAF 的平分线的过程可得
AB = AF，∠BAE =∠FAE.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD∥BC. ∴∠FAE =∠AEB.
∴∠BAE =∠AEB. ∴ AB = BE.
∴ BE = FA.
∴ 四边形 ABEF 为平行四边形.
∵ AB = AF，∴ 四边形 ABEF 为菱形.
6.如图，在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线交 BC 于点 E，连接 EF．
（1）求证：四边形 ABEF 为菱形；
（2）AE，BF 相交于点 O，若 BF = 6，AB = 5，求 AE 的长．
解：∵ 四边形 ABEF 为菱形，
∴ AE⊥BF，BO = FB = 3，AE = 2AO．
在 Rt△AOB 中，由勾股定理得 AO = 4，
∴ AE = 2AO = 8．
课 堂 小 结
四条边都相等
菱形
一组邻边相等
对角线互相垂直
对角线互相平分
一组对边平行且相等
两组对边分别平行或相等
四边形
平行四边形
两组对角分别相等