19.3 正方形 课件(共25张PPT) 2023-2024学年数学华师大版八年级下册

(共25张PPT)
19.3 正方形
学 习 目 标
1.理解并运用正方形的性质、判定进行计算和证明.（重点）
2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系，进一步发展学生的逻辑推理能力和表达能力.（难点）
情 境 导 入
观察下面图形，正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在.
你还能举出其他的例子吗？
矩 形
〃
〃
1.矩形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？
正方形
探索
正方形
2.菱形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现？
一组邻边相等
矩形
〃
〃
正方形
〃
〃
菱 形
一个角是直角
正方形
∟
知 识 讲 解
知识点 正方形的定义
正方形的定义：
有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.
矩形
菱形
正
方
形
平行四边形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系：
性质：
1. 正方形的四个角都是直角，四条边相等；
2. 正方形的对角线相等且互相垂直平分.
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形. 所以矩形、菱形有的性质，正方形都有.
四边形
正方形既是轴对称图形又是中心对称图形.
例 1
例 题 精 讲
如图，已知正方形ABCD.求∠ABD、∠DAC、∠DOC的大小.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∴OA=OC=OB=OD，∠DOC=∠AOD=∠AOB=90°.
∴△AOD与△AOB都是等腰直角三角形.
∴∠ABO=∠DAC=45°.
随 堂 练 习
1. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是 ( )
A. 四个角相等 B. 对角线互相垂直平分
C. 对角互补 D. 对角线相等
B
2.（1）边长为2cm 的正方形，对角线的长是______cm
A
B
C
D
O
（2）正方形的对角线长是8，面积是 .
（3）正方形的周长是32cm，对角线长是 .
32
3. 如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OA＝2，求该正方形的周长与面积．
解：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AC⊥BD，OA＝OD＝2.
在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得
∴ 该正方形的周长为 4AD＝ ，
面积为 AD2＝8.
探索
正方形的判定
准备一张矩形的纸片，按照下图折叠，然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
满足怎样条件的矩形是正方形？
矩形
正方形
一组邻边相等
对角线互相垂直
选择一个给予证明，并在小组内讨论分享.
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AO = CO = BO = DO，∠ADC = 90°.
∵ AC⊥DB，
∴ AD = AB = BC = CD.
∴ 四边形 ABCD 是正方形.
证明：对角线互相垂直的矩形是正方形.
A
B
C
D
O
已知：如图，在矩形 ABCD 中，AC，DB 是它的两条对角线，AC⊥DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状，量量看是不是正方形.
正方形
菱形
满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
对角线相等
证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥DB.
∵ AC = DB，
∴ AO = BO = CO = DO.
∴△AOD，△AOB，△COD，△BOC 是等腰直角三角形.
∴∠DAB =∠ABC =∠BCD =∠ADC = 90°.
∴ 四边形 ABCD 是正方形.
证明：对角线相等的菱形是正方形.
A
B
C
D
O
已知：如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC = DB.
求证：四边形 ABCD 是正方形.
知识点 正方形的判定
知 识 讲 解
1.一组邻边相等的矩形是正方形.
2.对角线互相垂直的矩形是正方形.
3.一个角是直角的菱形是正方形.
4.对角线相等的菱形是正方形.
① 对角线相等的菱形是正方形 ( )
② 对角线互相垂直的矩形是正方形 ( )
③ 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 ( )
④ 四条边都相等的四边形是正方形 ( )
⑤ 四个角都相等的四边形是正方形 ( )
⑥ 四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形.( )
1.判断对错
√
√
×
×
×
√
随 堂 练 习
2.在四边形 ABCD 中，O 是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC = BD，AB∥CD，AB = CD
B．AD∥BC，∠BAD =∠BCD
C．AO = BO = CO = DO，AC⊥BD
D．AO = CO，BO = DO，AB = BC
A
B
C
D
O
C
3.在正方形 ABCD 中，点 E、F、M、N 分别在各边上，且 AE = BF = CM = DN．求证：四边形 EFMN 是正方形．
证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB = BC = CD = DA，∠A =∠B =∠C =∠D = 90°.
∵ AE = BF = CM = DN，∴ AN = BE = CF = DM.
在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM 中，
AE = BF = CM = DN，
∠A =∠B =∠C =∠D，
AN = BE = CF = DM，
∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM.
∴ EN = FE = MF = NM，∠ANE =∠BEF.
∴ 四边形 EFMN 是菱形.
又∠NEF = 180° - (∠AEN +∠BEF )
= 180° - (∠AEN +∠ANE) = 180° - 90° = 90°.
∴ 四边形 EFMN 是正方形.
当 堂 检 测
2. 一个正方形的对角线长为 2 cm，则它的面积是 （　）
A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 6 cm2 D. 8 cm2
A
1. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
A
3. 在正方形 ABCD 中，∠ADB = °，∠DAC = °， ∠BOC = °.
4. 在正方形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，且 AE = AB，则∠EBC 的度数是 °.
A
D
B
C
O
A
D
B
C
O
E
45
90
22.5
第3题图
第4题图
45
5. 如图，四边形 ABCD 中，∠ABC = ∠BCD =∠CDA = 90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．
AB = BC (答案不唯一)
A
B
C
D
O
6. 已知四边形 ABCD 是平行四边形，再从①AB = BC，②∠ABC = 90°，③AC = BD，④AC⊥BD 四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形 ABCD 是正方形，其中错误的是_____________（只填写序号）．
②③或①④
7. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1 cm，AC 为对角线，AE 平分∠BAC，EF⊥AC，求 BE 的长．
解：∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1 cm.
∵ EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.
又∵∠ECF＝45°，
∴△EFC 是等腰直角三角形. ∴ EF＝FC.
∵∠B＝∠EFA＝90°，∠BAE＝∠FAE，AE＝AE，
∴△ABE≌△AFE.
∴ AB＝AF＝1 cm，BE＝EF. ∴ FC＝BE.
在 Rt△ABC 中，
∴ FC＝AC－AF＝( －1) cm. ∴ BE＝( －1) cm．
8. 如图，在正方形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，F 为BC 边延长线上一点，且 CE = CF. BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由.
解：BE = DF，且BE⊥DF.理由如下：
∵四边形 ABCD 是正方形.
∴BC = DC，∠BCE = 90° .
∴∠DCF = 180°-∠BCE = 90°.
∴∠BCE = ∠DCF.
又∵CE = CF.∴△BCE≌△DCF.∴BE = DF.
A
B
D
C
F
E
9. 如图，△ABC 中，D 是 BC 上任意一点，点 E，F 分别在 AB，AC 上，且 DE∥AC，DF∥AB．
（1）试说明四边形 AEDF 的形状，并说明理由；
（2）连结 AD，当 AD 满足什么条件时，四边形 AEDF
为菱形？为什么？
解：（1）∵ DE∥AC，DF∥AB，
∴ 四边形 AEDF 为平行四边形.
（2）AD 平分∠BAC. 理由如下：
当 AD 平分∠BAC 时，∠EAD =∠FAD.
∵ DE∥AC，∴∠EDA =∠FAD.
∴ ∠EAD =∠EDA. ∴ EA =ED.
∴ □AEDF 为菱形.
（3）在（2）的条件下，当△ABC 满足什么条件时，四边形 AEDF 为正方形？不必说明理由．
解：在（2）的条件下，四边形 AEDF 为菱形，
故只需 △ABC 满足∠BAC 为直角即可使四边形 AEDF 为正方形．
课 堂 小 结
1. 四个角都是直角
2. 四条边都相等
3. 对角线相等且互相垂直平分
正方形的性质
性质
定义
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形