(共13张PPT)
6.4.1 平面几何中的向量方法
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，达到 直观想象核心素养水平一的要求.
2.掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，达 到逻辑推理核心素养水平一的要求.
学习目标
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等 、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此，平面几何中的许多问题都可以用向量运算的方法加以解决.
几何元素及其表示 向量及其运算
平行
垂直
长度
夹角
问题1：平面几何问题与平面向量之间的对应关系如何？完成下表.
环节一：创设情境，引入课题
前面我们学面向量的概念和运算，并通过平面向量基本定理，把向量的运算化归为实数的运算本节我们将学习运用向量方法解决平面几何、物理中的问题，感受向量在解决数学和实际问题中的作用．同时我们还将借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题．环节二：观察分析，感知概念
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。
向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。
【解析】因为DE是△ABC的中位线，所以
【例1】如图6.4-1，DE是△ABC的中位线，用向量的方法证明：
DE∥BC， DE= BC．
环节三：抽象概括，形成概念
平面几何经常涉及距离（线段长度）和角度问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决某些几何问题.用向量方法解决几何问题时，通常先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素，然后通过向量的运算来研究点、线段等元素之间的关系，最后再把运算结果"翻译"成几何关系，便得到几何问题的结论.
你能总结一下利用向量法解决平面几何问题的基本思路吗？
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
简述：形到向量 向量的运算 向量和数到形
环节四：辨析理解，深化概念
【例2】如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？
第一步：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的
几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
第二步：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、
夹角等问题；
第三步：把运算结果“翻译”成几何关系.
平行四边形两对角线长的平方和
等于
各边长的平方和
环节五：课堂练习，巩固运用
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何元素。
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
环节六:归纳总结，反思提升
练习（第39页）
1．证明：等腰三角形的两个底角相等．
A
B
C
A
B
C
D
M
E
x
y
F
A
B
C
O
M
N(共16张PPT)
6.4.2 向量在物理中的应用举例
1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，达到 直观想象核心素养水平一的要求.
2.掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，达 到逻辑推理核心素养水平一的要求.
学习目标
1.用向量方法解决平面几何问题的基本思路是什么？
几何问题向量化 向量运算关系化 向量关系几何化.
环节一：创设情境，引入课题
2.向量概念源于物理中的矢量，物理中的力、位移、速度等都是向量，功是向量的数量积，从而使得向量与物理学建立了有机的内在联系，物理中具有矢量意义的问题也可以转化为向量问题来解决.
因此，在实际问题中，如何运用向量方法分析和解决物理问题，又是一个值得探讨的课题.
下面，我们来感受一下向量在物理中的应用。
力（Force）
速度（velocity）
例3 在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．你能从数学的角度解释这种现象吗
分析：不妨以两人共提旅行包为例，只要研究清楚两个拉力的合力、旅行包所受的重力以及两个拉力的夹角三者之间的关系，就可以获得问题的数学解释．
环节二：观察分析，感知概念
同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力．
环节三：抽象概括，形成概念
环节四：辨析理解，深化概念
分析：如果水是静止的，那么船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使航程最短，此时所用时间也是最短的．考虑到水的流速，要使航程最短，船的速度与水流速度的合速度必须垂直于河岸．
环节五：课堂练习，巩固运用
A
B
所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1 min
1.利用向量解决物理问题的基本步骤：
①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；
②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；
③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；
④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
环节六:归纳总结，反思提升
2.用向量知识解决物理问题时，要注意数形结合.一般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值.
练习（第41页）
O
A
B
M
P
Q
R
D
O
A
B
C
G(共16张PPT)
6.4.3余弦定理、 正弦定理 第1课时
余弦定理
1.借助向量的运算，推导余弦定理；
2.掌握余弦定理的几种变形公式及应用；
3.能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题.
学习目标
环节一：创设情境，引入课题一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系，例如，在初中，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系.对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS,SAS,ASA,AAS等判定三角形全等的方法，这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的。那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？下面我们利用向量方法研究这个问题．若已知三角形的两边及其夹角，如何求其他的边角呢？下面我们来研究一下这个问题。
C
A
B
a
b
C
A
B
a
b
c
我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.
在△ABC中，三个角A、B、C所对的边分别是a、b、c,怎样用a、b和C表示c？
环节二：观察分析，感知概念
问题：利用余弦定理可以解决三角形的哪类问题？
利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边.
余弦定理的定义
于是，我们得到了三角形中边角关系的一个重要定理：
余弦定理(law of cosines)三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．
即
你能用其他方法证明余弦定理吗？
余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？
由余弦定理，可得到如下推论：
问题：利用余弦定理的推论可以解决三角形的哪类问题？
利用余弦定理，可以由三角形的三条边直接算出三角形的三个角.
余弦定理及其推论把用“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画.
余弦定理的推论
环节三：抽象概括，形成概念
思考
余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系．应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢
余弦定理及其推论把用“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画．
利用推论，可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角．从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式．
A
C
B
a
b
c
思考勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系．你能说说这两个定理之间的关系吗
环节四：辨析理解，深化概念
环节五：课堂练习，巩固运用
一．余弦定理
平方
平方的和
余弦的积的两倍
b2＋c2－2bccosA
a2＋b2－2abcosC
a2＋c2－2accosB
1.已知两边及其夹角求第三边
2.已知三条边求三个角
3.判断三角形的形状
二．应用
环节六:归纳总结，反思提升
练习（第44页）(共29张PPT)
6.4.3 第2课时 正弦定理
1.掌握正弦定理的概念与公式，理解正弦定理的推导过程，学会正弦定理在实际生活中的应用；
2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题，达到数学运算与逻辑推理核心素养水平一的要求.
3.通过观察，讨论，概括总结等活动，提高推理论证、运算求解等能力，感受数形结合等数学思想，培养数学抽象，空间想象，数学运算等数学学科核心素养。
学习目标
小明的家坐落在河岸的一侧A处，河的对岸B处有一座电视塔，现在小明想测量他的家与电视塔的距离。但是他没有办法渡河，他的手边只有测角仪与皮尺，那么他有办法利用手边的工具测得A与B之间的距离么？
问题1：（1）在测量之前应该借助什么图形来研究？
（2）在构造出的三角形中，哪些条件是已知条件？
环节一：创设情境，引入课题
探究
余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式．如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？
在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论.实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系.从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为∶
在△ABC中，设A的对边为a，B的对边为b，求A，B，a，b之间的定量关系.如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决“在△ABC中，已知A，B，a，求b”的问题.
我们从熟悉的直角三角形的边、角关系的分析入手.根据锐角三角函数，在 Rt△ABC中（如图6.4-9），有
环节二：观察分析，感知概念
对锐角三角形和钝角三角形，以上关系是否任然成立？因为涉及三角形的边、角关系，所以任然采用向量的方法来研究.
我们希望获得△ABC中的边a，b，c与它们所对角A，B，C的正弦之间的关系式．在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来探究．
在直角三角形中，有
向量的数量积中出现的是角的余弦,而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？
由诱导公式 可知，我们可以通过构造角之间的互余关系，把边与角的余弦关系转化为正弦关系.
下面先研究锐角三角形的情形.
如图6.4-10，在锐角三角形ABC中，过点A作与 垂直的单位向量 ，则 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 .
B
A
C
环节三：抽象概括，形成概念
当△ABC为钝角三角形时，不妨设A为钝角.
如图6.4-11，过点A作与 垂直的单位向量 ，则 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 .
如图，在△ABC中，有
所以
同理可得
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即
问题：正弦定理有几个等式，每个等式中有几个元素？
问题：利用正弦定理可以解决三角形的哪类问题？
正弦定理中有三个等式，每个等式中有四个元素（两角及其对边）.
利用正弦定理，我们可以解已知“两角和一边”和“两边和其中一边的对角”的三角形.
环节四：辨析理解，深化概念
【解析】由三角形内角和定理可得，C = 180°- (A+B) = 120°
【例7】在△ABC中，已知A=15°，B=45°， ，解这个三角形．
由正弦定理可得，
环节五：课堂练习，巩固运用
解“已知两角及和一边”的三角形
（1）已知两角及其中一角的对边，如A，B，a.
①由A＋B＋C＝180°，求出C；
②根据正弦定理 和 ，分别求出边b，c.
（2）已知两角及另外一角的对边，如A，B，c.
①由A＋B＋C＝180°，求出C；
②根据正弦定理 和 ，分别求出边a，b.
分析：这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题，可以利用正弦定理．
为什么角C有两个值？
已知三角形中的三个元素解三角形：
（1）已知两边及其夹角（SAS）；
（2）已知三条边（SSS）；
（3）已知两边及一边对角（SSA）；
（4）已知两角和一边；
注：已知两边或三边的用余弦定理求解；
已知两角的用正弦定理求解.
--- 用余弦定理求解
--- 用余弦定理求解
--- 用正、余弦定理都可解
--- 用正弦定理求解
A
A
B
B
C
C
a
a
b
b
A
B
C
a
b
A
B1
B2
C
a
a
b
A
B
C
b
a=bsinA
A
B
C
b
a若A为锐角时:
若A为直角或钝角时:
考试中解答题不能直接用, 需要给出证明
A
B
C
a
b
c
A
B
C
a
b
c
D
A
B
C
a
b
c
D
证法四：图形证明
2.正弦定理的外在形式是公式，它由三个等式组成即
每个等式都表示三角形的两个角和它们的对边的关系.
1.三角形的三个内角及其对边叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
环节六:归纳总结，反思提升
3.利用正弦定理可以解决两类解三角形的问题：一类是已知两角和一边解三角形；另一类是已知两边和其中一边的对角解三角形.对于第二类问题，要注意确定解的个数.
已知三角形中的三个元素解三角形：
（1）已知两边及其夹角（SAS）；
（2）已知三条边（SSS）；
（3）已知两边及一边对角（SSA）；
（4）已知两角和一边；
注：已知两边或三边的用余弦定理求解；
已知两角的用正弦定理求解.
--- 用余弦定理求解
--- 用余弦定理求解
--- 用正、余弦定理都可解
--- 用正弦定理求解
练习（第48页）
