第七章复数 达标练习（含解析）-2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册

第七章复数达标练习-2023-2024学年高中数学人教A版必修第二册
一、单选题
1．若实数，满足，则（ ）
A． B．3 C． D．1
2．已知满足，且在复平面内对应的点为，则（ ）
A． B．
C． D．
3．复数（为虚数单位）的虚部为（ ）
A．2 B．-2 C． D．
4．复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
5．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．若复数，则（ ）
A． B． C．5 D．25
7．已知为虚数单位，若为的共轭复数，则 （ ）
A．14 B．116 C． D．
8．已知，则在下列表达式中表示的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．对于复数，则下列结论中错误的是（ ）
A．若，则为纯虚数 B．若，则
C．若，则为实数 D．若，则不是复数
10．已知复数，则下列命题一定成立的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C． D．
11．下列说法中正确的是（ ）
A．若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限
B．已知复数z满足，则
C．是关于x的方程（m，n为实数）在复数集内的一个根，则实数n的值为26
D．若复数z满足若，且，则的最小值为4
三、填空题
12．已知复数满足，则的最大值是 .
13．设，复数.若复数是纯虚数，则 ；若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则 .
14．如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则 ．
四、解答题
15．已知复数满足.
(1)求；
(2)若是方程的一个根，求的值.
16．已知复数．
(1)当m为何值时，z为纯虚数
(2)当时，求．
17．在复数范围内有关于的方程.
(1)求该方程的根；
(2)求的值；
(3)有人观察到，得，试求的值.
18．已知复数，是实数．
(1)求复数；
(2)设，求；
(3)若复数在复平面内所表示的点在第二象限，求实数的取值范围．
19．已知复数为虚数单位，为纯虚数.
(1)求的值；
(2)在复平面内，复数满足对应的点组成集合，求集合对应图形的面积；
(3)已知，若是关于的实系数方程的一个根，求实数，的值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据复数相等的充要条件求出，的值，即可得解.
【详解】因为实数，满足，
所以，则.
故选：B
2．B
【分析】根据复数的模化简可解.
【详解】由题意，由，
即，
化简得.
故选：B．
3．B
【分析】根据虚部的定义求解即可.
【详解】复数的虚部为，即虚部为.
故选：B.
4．B
【分析】根据复数的除法运算和共轭复数定义计算即可
【详解】由题知，复数．
故选:B．
5．D
【分析】利用复数的运算，得到的形式，再由复数的几何意义得到对应复平面内的点，从而判断出所在象限.
【详解】由题得，
则在复平面内对应的点的坐标为，
所以在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D
6．C
【分析】根据，得到答案.
【详解】因为，所以．
故选：C．
7．B
【分析】根据相等复数建立方程组，解得，进而解出，结合共轭复数的概念与复数的乘法运算即可求解.
【详解】由，得，
所以，解得，
则，所以，
所以.
故选：B
8．A
【分析】根据题设的表达式求出的表达式，再代入选项逐一检验即得.
【详解】因，则，
对于A，，故A项正确；
对于B， ，故B项错误；
对于C，，故C项错误；
对于D，由B项知，，故D项错误.
故选：A.
9．ABD
【分析】A.由判断；B.由复数的实部和虚部判断；C.复数的分类判断；D.由复数的分类判断.
【详解】A.当时，为实数，故错误；
B.若，则，故错误；
C.若，则为实数，故正确；
D.若，则是实数，故错误；
故选：ABD
10．AC
【分析】根据共轭复数的概念和复数的四则运算，结合复数模的计算及性质，逐项判断即可.
【详解】设，则.
对于A：，
若，则，
所以，即，故A一定成立；
对于B：，若，则①，
，同理，
若，则需满足且，与①式不同，故B不一定成立；
选项C：，
，
所以，故C一定成立；
选项D：②，
，与②式不同，故D不一定成立.
故选：AC
11．BCD
【分析】对于A：求出复数的代数形式即可判断；对于B：求出复数的代数形式，然后求模即可；对于C：求出另一个根，然后利用韦达定理求解；对于D：利用复数的几何意义，转化为圆外的点到圆上的点的距离最小值来求解.
【详解】对于A：，则，其在复平面对应的点为，在第四象限，A错误
对于B：，
所以，B正确.
对于C：因为是关于x的方程（m，n为实数）在复数集内的一个根，则另一个根为，
则，解得，C正确.
对于D：由得复数在复平面对应的点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，
表示点到点的距离，
则最小值为，D正确；
故选：BCD.
12．6
【分析】根据复数的几何意义和目标式的几何意义，即可求得结果.
【详解】由题意，复数对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
而表示复数对应的点到点的距离，
最大的距离为，
即的最大值是.
故答案为：.
13． -1 1
【分析】由复数是纯虚数或实数的充要条件即可列式求解.
【详解】，对于第一空：若复数是纯虚数，则，解得；
对于第二空：若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则，解得.
故答案为：-1；1.
14．
【分析】根据复数的几何意义得到，，再由复数的乘法运算得到的值.
【详解】由图可知，所以，，所以，
所以.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据复数的除法得，再利用共轭复数概念即可；
（2）根据复数根的共轭关系结合韦达定理即可解出，则得到的值.
【详解】（1）由得：，
则.
（2）由（1）知： ，显然是方程的另一根，
，
解得：，
.
16．(1)或．
(2)90.
【分析】（1）先化简复数z，再利用复数的相关概念求解；
（2）先求得复数z和其共轭复数，再利用复数的乘法求解.
【详解】（1）解：由已知得，
若z为纯虚数，则解得或．
（2）当时，，，
所以．
17．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据求根公式即可求解复数根.
（2）对目标式子变形，代入即可求值.
（3）由于，结合，即可求解.
【详解】（1）因为，
则在复数范围内由求根公式可得方程的根为，
则，.
（2）因为，所以，则，
由（1）知，故.
（3）因为，所以，
所以
.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由，可得，求解即可；
（2）由（1）可得，可求；
（3）由，可得，求解即可．
【详解】（1）因为，
所以 ，
因为是实数，所以，解得 ，
故．
（2）由(1)可知，，则，
.
（3）因为，
所以．
因为复数所表示的点在第二象限，
所以 ，解得：，
所以实数的取值范围是．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用纯虚数的概念可求；
（2）结合（1）可得，利用复数的几何意义可求图形的面积；
（3）结合（1）可得，代入方程，利用左右恒等可得，求解即可.
【详解】（1）由已知得，所以，
所以，解得；
（2）由（1）可知，可得，
所以对应的点组成集合是复平面内夹在半径为1的圆与半径为的圆之间的圆环，
所以集合对应图形的面积为；
（3）由（1）可知，可得，
所以，所以，
所以，解得.
答案第1页，共2页
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