重庆市开州区文峰教育集团2023-2024学年八年级下学期数学入学考试试卷
1．（2024八下·开州开学考）下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
2．（2024八下·开州开学考）已知下图中的两个三角形全等，则∠1 的度数是（ ）
A．76° B．50° C．54 D．60°
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：第一个三角形中、之间的夹角为，
是、之间的夹角．
两个三角形全等，
．
故答案为：B
【分析】先根据题意求出第一个三角形中、之间的夹角，进而根据三角形全等的性质即可求解。
3．（2024八下·开州开学考）若分式有意义，则a的取值范围是( )
A．a=0 B．a=1 C．a≠-1 D．a≠0
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【分析】先根据分式有意义的条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
【解答】∵分式有意义，
∴a+1≠0，解得a≠-1．
故答案为：a≠-1．选C
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
4．（2024八下·开州开学考） 下列运算正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：．，计算错误，A不符合题意；
．，计算错误，B不符合题意；
．，计算错误，C不符合题意；
．，计算正确，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据整式的混合运算结合题意对选项逐一分析，进而即可求解。
5．（2024八下·开州开学考） 一种病毒的直径约为 0.0000252 米， 0.0000252 米用科学记数法表示是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意得 0.0000252 米用科学记数法表示是
故答案为：C
【分析】根据科学记数法表示数据 0.0000252 米即可求解。
6．（2024八下·开州开学考）直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄，欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离之和最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于，如图所示：
∴选项D铺设的管道，所需管道最短．
故答案为：D
【分析】根据轴对称-最短距离问题结合题意作点关于直线的对称点，连接交直线于，进而即可求解。
7．（2024八下·开州开学考）下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的高都在三角形内部
B．三角形的一个外角大于任意一个内角
C．等腰三角形的角平分线、中线、高相互重合
D．三角形三条角平分线交于一点且交点到三角形三边距离相等
【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：、中钝角三角形中有两条高在三角形外部，不符合题意；
、三角形的一个外角大于与它不相邻的内角，而不是任意一个内角，不符合题意；
、等腰三角形只有顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，不符合题意；
、三角形三条角平分线交于一点并且交点到三边距离相等，符合题意．
故答案为：D
【分析】根据等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质结合题意对选项逐一分析，进而即可求解。
8．（2024八下·开州开学考）如图， 在 Rt 中， 的平分线 A E 交 B C 于点 于点， 若 的周长为 12 ， 则 的周长为 4 ， 则 A C 为 （ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵在中，，的平分线交于点，于点，
，
的周长为4，
，
，
的周长为12，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：B
【分析】先根据角平分线的性质得到，进而即可得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解。
9．（2024八下·开州开学考）若关于 的一元一次不等式组 无解， 且关于 的分式方程 的解为整数，则所有满足条件的整数 的值之和是 （ ）
A．6 B．8 C．13 D．15
【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：，
不等式组整理得：，
由不等式组无解，
，
分式方程，
去分母得：，
解得：，
由分式方程解为整数，且，
，，，，
可取的值为0，2，3，，4，，，
，
整数可取的值为0，2，3，，4，
则满足题意的值和为，
故答案为：B
【分析】先根据解不等式，进而根据不等式无解得到，再解分式方程得到，从而根据题意即可求解。
10．（2024八下·开州开学考）有 个依次排列的整式， 第一个整式为， 第二个整式为， 第二个整式减去第一个整式的差记为， 将 记为， 将第二个整式加上 作为第三个整式， 将 记为， 将第三个整式与 相加记为第四个整式， 以此类推. 以下结论正确的个数是（ ）
①；②当 时， 第四个整式的值为 81 ；③若第三个整式与第二个整式的差为 21 ， 则；④第 2024 个整式为.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：第一个整式为，第二个整式为，第二个整式减去第一个整式的差记为，
，
记为，
，
记为，
，故①正确；
以此类推：
同理可得：，
，
，
．
，
由于第一个整式为，第二个整式为，
第二个整式加上作为第三个整式，
第三个整式为：，
第三个整式加上作为第四个整式，
第四个整式为：，
当时，，故②正确；
第三个整式与第二个整式的差为：，
解得：，
故③正确；
根据题意，第五个整式为：第四个整式加，
第五个整式为，
同理第六个整式为，
第七个整式为，
第八个整式为，
．
第2023个整式为，
第2024个整式为，故④正确，
故答案为：D
【分析】根据整式的混合运算结合题意找规律，进而即可求解。
11．（2024八下·开州开学考）计算：
【答案】
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：，
故答案为：
【分析】根据实数的混合运算结合题意进行计算，进而即可求解。
12．（2024八下·开州开学考）因式分解： .
【答案】a(a+3)(a-3)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=a(a2-9)=a(a+3)(a-3).
故答案为a(a+3)(a-3).
【分析】先提取公因式a，再用平方差公式分解即可.
13．（2024八下·开州开学考）若一个正 边形的每个内角为， 则这个正 边形的边数是
【答案】十
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，
故答案为：十．
【分析】根据多边形内角的计算公式结合题意计算出n即可求解。
14．（2024八下·开州开学考）若， 则 的值为
【答案】
【知识点】分式的约分；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：
【分析】先根据题意得到，进而代回化简分式即可求解。
15．（2024八下·开州开学考）如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是 .
【答案】4
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于CD的对称点H，
∵CD是△ABC的角平分线，
点H一定在BC上，
过H作 HF⊥AC于F，交CD于E，此时AE+EF的值最小，为HF
过A作AG⊥BC 于G ，
∵△ABC的面积为12， BC长为6，
，
∵CD垂直平分AH ，
，
，
，
的最小值是4.
故答案为：4.
【分析】作A关于CD的对称点H，过H作HF⊥AC于F，交CD于E，此时AE+EF的值最小，为HF，过A作AG⊥BC于G，根据三角形的面积公式可得AG，根据垂直平分线的性质可得AC=CH，根据△ACH的面积公式可得HF=AG=4，据此求解.
16．（2024八下·开州开学考）如图， 将长方形纸片 A B C D 沿着 D E 翻折， 使得点 落在 A D 边上的点 处， 在第一次翻折的基础上再次将纸片沿着 A E 翻折， 使得点 落在点 处. 若， 则
【答案】
【知识点】一元一次方程的其他应用；平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设，
四边形是矩形，
，，
由折叠的性质得：，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】设，先根据矩形的性质得到，，进而根据折叠的性质得到，，，再结合题意进行角的运算得到，从而得到，进而运用平行线的性质得到，从而即可列出一元一次方程，解方程即可求解。
17．（2024八下·开州开学考）在 轴上有点， 在 轴上有点， 点 在坐标轴上， 若 为等腰三角形， 则满足条件的点 最多有 个.
【答案】7
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：分三种情况考虑：
①以为底，在原点；
②以为腰，且为顶点，点有3种可能位置；
③以为腰，且为顶点，点有3种可能位置；
则满足条件的点最多有7个，
故答案为：7
【分析】根据等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形结合题意画出隐圆，进而即可求解。
18．（2024八下·开州开学考）若一个四位正整数满足， 我们就称该数是 “振兴数” ， 则最小的 “振兴数” 是若一个 “振兴数” 满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被 5 整除. 则满足条件的 “振兴数” 的最小值为
【答案】4114
【知识点】因式分解的应用；定义新运算
【解析】【解答】解：，且，，，，
当，，，时，四位数最小，
故答案为：1001．
根据题意，得，，是正整数，
，，
，，
解得：，，
，
，，
，，
，，
，，
，，
解得：，，
故，，或，，，，
故当时，，或，
当时，，或，
当时，或，
当时，，
最小，
，，，
根据，
故，
故最小数是4114，
故答案为：4114
【分析】根据题意因式分解，进而分类讨论，从而即可求解。
19．（2024八下·开州开学考） 计算：
（1）.
（2）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】整式的混合运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据整式的混合运算结合题意进行运算即可求解；
（2）根据分式的混合运算结合题意进行运算即可求解。
20．（2024八下·开州开学考） 解分式方程：
（1）；
（2）
【答案】（1）解：原方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为；
（2）解：原方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
则是分式方程的增根，
故原方程无解．
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】（1）根据题意解分式方程即可求解；
（2）根据题意解分式方程即可求解。
21．（2024八下·开州开学考）如图， 在 中，为BC上的一点，AD平分，且.
（1）求证：；
（2）若， 求 的度数.
【答案】（1）证明：如图，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：，，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的性质得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，再结合题意进行角的运算，从而结合等腰三角形的性质即可求解；
（2）先根据等腰三角形的性质得到，从而即可求解。
22．（2024八下·开州开学考）化简求值， 其中 是绝对值不大于 2 的整数.
【答案】解：
，
要使分式有意义，必须且，
所以不能为0，，，1，
是绝对值不大于2的整数，
取，
原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值；求有理数的绝对值的方法
【解析】【分析】先根据分式的混合运算进行化简，进而根据分式有意义的条件结合化简有理数的绝对值即可得到x的值，从而代入即可求解。
23．（2024八下·开州开学考）如图， 在 中，， 点 在边 A B 上，.
（1）作的平分线， 交AC于点 （尺规作图， 保留痕迹， 不写作法）；
（2）在 （1）的条件下， 连接 C D， D E. 求证： B E 垂直平分 C D.
证明： 为 的平分线，
▲
在 和 中
（ ）
▲
▲两点都在 CD 的垂直平分线上，
垂直平分 CD.
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：为的平分线，
．
，，
在和中，
，
．
．
，两点都在的垂直平分线上．
垂直平分．
故答案为：，，，，、．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据作图-角平分线结合题意画图即可求解；
（2）先根据角平分线的性质得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，从而根据垂直平分线的判定即可求解。
24．（2024八下·开州开学考）开州区某校为举行六十周年校庆活动， 特定制了系列文创产品， 其中花费了 312000 元购进纪念画册和保温杯若干. 已知纪念画册总费用占保温杯总费用的.
（1）求纪念画册和保温杯的总费用各是多少元？
（2）若每本纪念画册的进价比每个保温杯的进价多， 而保温杯数量比纪念画册数量的 3 倍多 1200 个. 求每本纪念画册和每个保温杯的进价各是多少元？
【答案】（1）解：设纪念画册的总费用是元，保温杯的总费用是元，
由题意得：，
解得：，
答：纪念画册的总费用是72000元，保温杯的总费用是240000元；
（2）解：设每个保温杯的进价是元，则每本纪念画册的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：每本纪念画册的进价是60元，每个保温杯的进价是50元．
【知识点】分式方程的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设纪念画册的总费用是元，保温杯的总费用是元，进而根据“其中花费了 312000 元购进纪念画册和保温杯若干. 已知纪念画册总费用占保温杯总费用的”即可列出二元一次方程组，从而即可求解；
（2）设每个保温杯的进价是元，则每本纪念画册的进价是元，根据题意即可列出分式方程，从而即可求解。
25．（2024八下·开州开学考）定义： 在一个三角形中， 如果有一个角是另一个角的， 我们称这两个角互为 “和谐角”， 这个三角形叫做 “和谐三角形” .
例如： 在 中， 如果， 那么 与 互为 “和谐角”， 为 “和谐三角形”.
问题 1： 如图 1， 中，， 点 是线段 A BB 上一点（不与 A、B 重合），连接CD
（1）如图 1，△ABC 是“和谐三角形”吗？为什么？
（2）如图 1， 若， 则 是 “和谐三角形” 吗？ 为什么？
（3）问题 2：如图 2，△ABC 中，∠ACB＝60°，∠A＝80°，点 D 是线段 AB 上一点（不与 A、B 重合），连接 CD，若△ACD 是“和谐三角形”，求∠ACD 的度数．
【答案】（1）解：是“和谐三角形”，理由如下：
，，
，
，
是“和谐三角形”；
（2）解：、是“和谐三角形”，理由如下：
，，
，
，
，
，．
在中，
，，
，
为和谐三角形”；
在中，
，，
，
为和谐三角形”；
（3）解：若是“和谐三角形”，由于点是线段上一点（不与、重合），
则或．
当时，；
当时，，即，
．
综上，的度数为或．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再由“和谐三角形”的定义即可得出结论；
（2）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据垂直得到，从而进行角的运算即可求解；
（3）根据“和谐三角形”的定义可知则或，进而即可求解。
26．（2024八下·开州开学考）如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°．
（1）如图 1，当点 C 在 AD 上时，∠BAC＝90°，连接 CE，若∠ABC＝30°，求∠CED 的度数；
（2）如图 2，当点 C 在 AD 上时，∠BAC＝90°，延长 BC 交 DE 于 M，连接 AM，求证：AM 平分∠CME；
（3）如图 3，若∠BAC≠90°，连接 BE、CD，F 为 BE 中点，连接 AF，请猜想线段 AF、CD 之间的数量关 系，并证明你的猜想．
【答案】（1）解：，，
，
，，
，
，
，
，，
，
；
（2）证明：如图2：过点作于点，过点作于点，
由（1）知，
，，
，
，
平分；
（3）解：，理由如下：
如图3，延长到，使，连接，
，
为中点，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先根据三角形全等的判定与性质证明，进而得到，再结合题意进行角的运算即可求解；
（2）过点作于点，过点作于点，进而根据三角形全等的性质得到，，再根据三角形的面积结合角平分线的判定即可求解；
（3）延长到，使，连接，进而得到，再结合题意证明即可得到，，从而根据平行线的判定与性质得到，进而结合题意证明得到即可求解。
1 / 1重庆市开州区文峰教育集团2023-2024学年八年级下学期数学入学考试试卷
1．（2024八下·开州开学考）下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·开州开学考）已知下图中的两个三角形全等，则∠1 的度数是（ ）
A．76° B．50° C．54 D．60°
3．（2024八下·开州开学考）若分式有意义，则a的取值范围是( )
A．a=0 B．a=1 C．a≠-1 D．a≠0
4．（2024八下·开州开学考） 下列运算正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
5．（2024八下·开州开学考） 一种病毒的直径约为 0.0000252 米， 0.0000252 米用科学记数法表示是 （ ）
A． B．
C． D．
6．（2024八下·开州开学考）直线l是一条河，P，Q是在l同侧的两个村庄，欲在l上的M处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则M处到P，Q两地距离之和最短的方案是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024八下·开州开学考）下列说法中，正确的是（ ）
A．三角形的高都在三角形内部
B．三角形的一个外角大于任意一个内角
C．等腰三角形的角平分线、中线、高相互重合
D．三角形三条角平分线交于一点且交点到三角形三边距离相等
8．（2024八下·开州开学考）如图， 在 Rt 中， 的平分线 A E 交 B C 于点 于点， 若 的周长为 12 ， 则 的周长为 4 ， 则 A C 为 （ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
9．（2024八下·开州开学考）若关于 的一元一次不等式组 无解， 且关于 的分式方程 的解为整数，则所有满足条件的整数 的值之和是 （ ）
A．6 B．8 C．13 D．15
10．（2024八下·开州开学考）有 个依次排列的整式， 第一个整式为， 第二个整式为， 第二个整式减去第一个整式的差记为， 将 记为， 将第二个整式加上 作为第三个整式， 将 记为， 将第三个整式与 相加记为第四个整式， 以此类推. 以下结论正确的个数是（ ）
①；②当 时， 第四个整式的值为 81 ；③若第三个整式与第二个整式的差为 21 ， 则；④第 2024 个整式为.
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2024八下·开州开学考）计算：
12．（2024八下·开州开学考）因式分解： .
13．（2024八下·开州开学考）若一个正 边形的每个内角为， 则这个正 边形的边数是
14．（2024八下·开州开学考）若， 则 的值为
15．（2024八下·开州开学考）如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是 .
16．（2024八下·开州开学考）如图， 将长方形纸片 A B C D 沿着 D E 翻折， 使得点 落在 A D 边上的点 处， 在第一次翻折的基础上再次将纸片沿着 A E 翻折， 使得点 落在点 处. 若， 则
17．（2024八下·开州开学考）在 轴上有点， 在 轴上有点， 点 在坐标轴上， 若 为等腰三角形， 则满足条件的点 最多有 个.
18．（2024八下·开州开学考）若一个四位正整数满足， 我们就称该数是 “振兴数” ， 则最小的 “振兴数” 是若一个 “振兴数” 满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被 5 整除. 则满足条件的 “振兴数” 的最小值为
19．（2024八下·开州开学考） 计算：
（1）.
（2）
20．（2024八下·开州开学考） 解分式方程：
（1）；
（2）
21．（2024八下·开州开学考）如图， 在 中，为BC上的一点，AD平分，且.
（1）求证：；
（2）若， 求 的度数.
22．（2024八下·开州开学考）化简求值， 其中 是绝对值不大于 2 的整数.
23．（2024八下·开州开学考）如图， 在 中，， 点 在边 A B 上，.
（1）作的平分线， 交AC于点 （尺规作图， 保留痕迹， 不写作法）；
（2）在 （1）的条件下， 连接 C D， D E. 求证： B E 垂直平分 C D.
证明： 为 的平分线，
▲
在 和 中
（ ）
▲
▲两点都在 CD 的垂直平分线上，
垂直平分 CD.
24．（2024八下·开州开学考）开州区某校为举行六十周年校庆活动， 特定制了系列文创产品， 其中花费了 312000 元购进纪念画册和保温杯若干. 已知纪念画册总费用占保温杯总费用的.
（1）求纪念画册和保温杯的总费用各是多少元？
（2）若每本纪念画册的进价比每个保温杯的进价多， 而保温杯数量比纪念画册数量的 3 倍多 1200 个. 求每本纪念画册和每个保温杯的进价各是多少元？
25．（2024八下·开州开学考）定义： 在一个三角形中， 如果有一个角是另一个角的， 我们称这两个角互为 “和谐角”， 这个三角形叫做 “和谐三角形” .
例如： 在 中， 如果， 那么 与 互为 “和谐角”， 为 “和谐三角形”.
问题 1： 如图 1， 中，， 点 是线段 A BB 上一点（不与 A、B 重合），连接CD
（1）如图 1，△ABC 是“和谐三角形”吗？为什么？
（2）如图 1， 若， 则 是 “和谐三角形” 吗？ 为什么？
（3）问题 2：如图 2，△ABC 中，∠ACB＝60°，∠A＝80°，点 D 是线段 AB 上一点（不与 A、B 重合），连接 CD，若△ACD 是“和谐三角形”，求∠ACD 的度数．
26．（2024八下·开州开学考）如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°．
（1）如图 1，当点 C 在 AD 上时，∠BAC＝90°，连接 CE，若∠ABC＝30°，求∠CED 的度数；
（2）如图 2，当点 C 在 AD 上时，∠BAC＝90°，延长 BC 交 DE 于 M，连接 AM，求证：AM 平分∠CME；
（3）如图 3，若∠BAC≠90°，连接 BE、CD，F 为 BE 中点，连接 AF，请猜想线段 AF、CD 之间的数量关 系，并证明你的猜想．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：第一个三角形中、之间的夹角为，
是、之间的夹角．
两个三角形全等，
．
故答案为：B
【分析】先根据题意求出第一个三角形中、之间的夹角，进而根据三角形全等的性质即可求解。
3．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【分析】先根据分式有意义的条件列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．
【解答】∵分式有意义，
∴a+1≠0，解得a≠-1．
故答案为：a≠-1．选C
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
4．【答案】D
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：．，计算错误，A不符合题意；
．，计算错误，B不符合题意；
．，计算错误，C不符合题意；
．，计算正确，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据整式的混合运算结合题意对选项逐一分析，进而即可求解。
5．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由题意得 0.0000252 米用科学记数法表示是
故答案为：C
【分析】根据科学记数法表示数据 0.0000252 米即可求解。
6．【答案】D
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于，如图所示：
∴选项D铺设的管道，所需管道最短．
故答案为：D
【分析】根据轴对称-最短距离问题结合题意作点关于直线的对称点，连接交直线于，进而即可求解。
7．【答案】D
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：、中钝角三角形中有两条高在三角形外部，不符合题意；
、三角形的一个外角大于与它不相邻的内角，而不是任意一个内角，不符合题意；
、等腰三角形只有顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，不符合题意；
、三角形三条角平分线交于一点并且交点到三边距离相等，符合题意．
故答案为：D
【分析】根据等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质结合题意对选项逐一分析，进而即可求解。
8．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵在中，，的平分线交于点，于点，
，
的周长为4，
，
，
的周长为12，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：B
【分析】先根据角平分线的性质得到，进而即可得到，再根据三角形全等的判定与性质证明即可求解。
9．【答案】B
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：，
不等式组整理得：，
由不等式组无解，
，
分式方程，
去分母得：，
解得：，
由分式方程解为整数，且，
，，，，
可取的值为0，2，3，，4，，，
，
整数可取的值为0，2，3，，4，
则满足题意的值和为，
故答案为：B
【分析】先根据解不等式，进而根据不等式无解得到，再解分式方程得到，从而根据题意即可求解。
10．【答案】D
【知识点】整式的混合运算；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：第一个整式为，第二个整式为，第二个整式减去第一个整式的差记为，
，
记为，
，
记为，
，故①正确；
以此类推：
同理可得：，
，
，
．
，
由于第一个整式为，第二个整式为，
第二个整式加上作为第三个整式，
第三个整式为：，
第三个整式加上作为第四个整式，
第四个整式为：，
当时，，故②正确；
第三个整式与第二个整式的差为：，
解得：，
故③正确；
根据题意，第五个整式为：第四个整式加，
第五个整式为，
同理第六个整式为，
第七个整式为，
第八个整式为，
．
第2023个整式为，
第2024个整式为，故④正确，
故答案为：D
【分析】根据整式的混合运算结合题意找规律，进而即可求解。
11．【答案】
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：，
故答案为：
【分析】根据实数的混合运算结合题意进行计算，进而即可求解。
12．【答案】a(a+3)(a-3)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=a(a2-9)=a(a+3)(a-3).
故答案为a(a+3)(a-3).
【分析】先提取公因式a，再用平方差公式分解即可.
13．【答案】十
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得，
解得，
故答案为：十．
【分析】根据多边形内角的计算公式结合题意计算出n即可求解。
14．【答案】
【知识点】分式的约分；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：
【分析】先根据题意得到，进而代回化简分式即可求解。
15．【答案】4
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作A关于CD的对称点H，
∵CD是△ABC的角平分线，
点H一定在BC上，
过H作 HF⊥AC于F，交CD于E，此时AE+EF的值最小，为HF
过A作AG⊥BC 于G ，
∵△ABC的面积为12， BC长为6，
，
∵CD垂直平分AH ，
，
，
，
的最小值是4.
故答案为：4.
【分析】作A关于CD的对称点H，过H作HF⊥AC于F，交CD于E，此时AE+EF的值最小，为HF，过A作AG⊥BC于G，根据三角形的面积公式可得AG，根据垂直平分线的性质可得AC=CH，根据△ACH的面积公式可得HF=AG=4，据此求解.
16．【答案】
【知识点】一元一次方程的其他应用；平行线的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设，
四边形是矩形，
，，
由折叠的性质得：，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】设，先根据矩形的性质得到，，进而根据折叠的性质得到，，，再结合题意进行角的运算得到，从而得到，进而运用平行线的性质得到，从而即可列出一元一次方程，解方程即可求解。
17．【答案】7
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：分三种情况考虑：
①以为底，在原点；
②以为腰，且为顶点，点有3种可能位置；
③以为腰，且为顶点，点有3种可能位置；
则满足条件的点最多有7个，
故答案为：7
【分析】根据等腰三角形的性质，勾股定理，坐标与图形结合题意画出隐圆，进而即可求解。
18．【答案】4114
【知识点】因式分解的应用；定义新运算
【解析】【解答】解：，且，，，，
当，，，时，四位数最小，
故答案为：1001．
根据题意，得，，是正整数，
，，
，，
解得：，，
，
，，
，，
，，
，，
，，
解得：，，
故，，或，，，，
故当时，，或，
当时，，或，
当时，或，
当时，，
最小，
，，，
根据，
故，
故最小数是4114，
故答案为：4114
【分析】根据题意因式分解，进而分类讨论，从而即可求解。
19．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】整式的混合运算；分式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据整式的混合运算结合题意进行运算即可求解；
（2）根据分式的混合运算结合题意进行运算即可求解。
20．【答案】（1）解：原方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为；
（2）解：原方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
则是分式方程的增根，
故原方程无解．
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【分析】（1）根据题意解分式方程即可求解；
（2）根据题意解分式方程即可求解。
21．【答案】（1）证明：如图，
平分，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：，，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）先根据角平分线的性质得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，再结合题意进行角的运算，从而结合等腰三角形的性质即可求解；
（2）先根据等腰三角形的性质得到，从而即可求解。
22．【答案】解：
，
要使分式有意义，必须且，
所以不能为0，，，1，
是绝对值不大于2的整数，
取，
原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的混合运算；分式的化简求值；求有理数的绝对值的方法
【解析】【分析】先根据分式的混合运算进行化简，进而根据分式有意义的条件结合化简有理数的绝对值即可得到x的值，从而代入即可求解。
23．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：为的平分线，
．
，，
在和中，
，
．
．
，两点都在的垂直平分线上．
垂直平分．
故答案为：，，，，、．
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据作图-角平分线结合题意画图即可求解；
（2）先根据角平分线的性质得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明即可得到，从而根据垂直平分线的判定即可求解。
24．【答案】（1）解：设纪念画册的总费用是元，保温杯的总费用是元，
由题意得：，
解得：，
答：纪念画册的总费用是72000元，保温杯的总费用是240000元；
（2）解：设每个保温杯的进价是元，则每本纪念画册的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：每本纪念画册的进价是60元，每个保温杯的进价是50元．
【知识点】分式方程的实际应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设纪念画册的总费用是元，保温杯的总费用是元，进而根据“其中花费了 312000 元购进纪念画册和保温杯若干. 已知纪念画册总费用占保温杯总费用的”即可列出二元一次方程组，从而即可求解；
（2）设每个保温杯的进价是元，则每本纪念画册的进价是元，根据题意即可列出分式方程，从而即可求解。
25．【答案】（1）解：是“和谐三角形”，理由如下：
，，
，
，
是“和谐三角形”；
（2）解：、是“和谐三角形”，理由如下：
，，
，
，
，
，．
在中，
，，
，
为和谐三角形”；
在中，
，，
，
为和谐三角形”；
（3）解：若是“和谐三角形”，由于点是线段上一点（不与、重合），
则或．
当时，；
当时，，即，
．
综上，的度数为或．
【知识点】角的运算；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再由“和谐三角形”的定义即可得出结论；
（2）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据垂直得到，从而进行角的运算即可求解；
（3）根据“和谐三角形”的定义可知则或，进而即可求解。
26．【答案】（1）解：，，
，
，，
，
，
，
，，
，
；
（2）证明：如图2：过点作于点，过点作于点，
由（1）知，
，，
，
，
平分；
（3）解：，理由如下：
如图3，延长到，使，连接，
，
为中点，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
．
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等及其性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先根据三角形全等的判定与性质证明，进而得到，再结合题意进行角的运算即可求解；
（2）过点作于点，过点作于点，进而根据三角形全等的性质得到，，再根据三角形的面积结合角平分线的判定即可求解；
（3）延长到，使，连接，进而得到，再结合题意证明即可得到，，从而根据平行线的判定与性质得到，进而结合题意证明得到即可求解。
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